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摘要：随着大跨预应力混凝土梁桥的迅速发展，促使桥梁收缩和徐变影响的分析和计算成为结构设计人员越来越关心的问题，因此徐变计算理论和方法得到了不断发展。本文综述了徐变的各种分析方法以及现在常用的各种方法，并对这些方法进行了简要评述，随后讨论了徐变计算的发展方向。
关键词：预应力混凝土梁桥，混凝土，收缩徐变，分析方法
中图分类号：TU375 文献标识码：A 文章编号：
收缩徐变效应分析方法的基本假定
由混凝土徐变引起的结构徐变变形和结构次内力计算，因各种客观因素的复杂性，要精确分析是十分困难的，特别是对于处于自然环境中的实际桥梁的收缩徐变效应分析，甚至可以说是不可能的，因此在实际的桥梁设计阶段，分析中一般采用以下基本假定：
不考虑结构内配筋的影响，把结构当作是素混凝土，这对预应力混凝土结构含筋率较小的情况下是适用的；
混凝土的弹性模量假定为常值，试验证明，混凝土的弹性模量随时间变化而变化，一般可增加10-15％，但考虑到徐变系数的计算值中已部分包括了这一因素，可取常值计算；
应力的数值低于混凝土强度的40~50％左右，或者是说在工作应力范围之内，采用徐变线性理论，即徐变应变与应力成正比关系的假定，由此“力的独立作用原理”和“应力与应变的叠加原理”等均在此适用。
在叠加原理和线性徐变假设条件下，总应变可表示为：
（1）
式中：为初始预应力的张拉时刻和干燥开始的时刻；为预应力发生变化的时刻，在和之间。上式中的第一项为初始预应力的弹性应变和徐变应变，第二项为在每一个时间段内由于预应力的变化和外加荷载引起的弹性应变和徐变应变，第三项为收缩应变和温度应变。
经典徐变分析方法
最早的徐变计算方法是McMillan于1916年提出有效模量法，后来的研究者在此基础上不断提出了几种更加复杂的方法。这些方法基本是通过使用柔度函数的简化形式进行结构的徐变分析，如徐变率法、流动率法等多种方法，随后Bazant和Panula基于当时大量的徐变数据对徐变计算方法进行了系统分析，认为前面提到的几种方法总体上不如有效模量法准确，当时提出这些方法的主要目的是将徐变求解的积分方程转化为代数线性方程TPTP。随着计算机技术的进步，许多研究者也将这些方法应用到逐步计算法中去，使这些方法焕发了新的生命力。
现代徐变分析方法
Bazant在2001年简要总结了现代常用的三种徐变计算方法TP：
基于龄期调整的有效模量法一步近似求解方法；基于叠加原理的积分型徐变定律的逐步计算法；基于Kelvin 或者Maxwell 模型的率型徐变模型的逐步计算法。
3.1按龄期调整的有效模量法
1967年H.Trost引入了老化系数概念，建立了考虑徐变的混凝土应力、应变的代数方程式，既简化了计算又提高了精度。混凝土的有效模量为：
（2a）
或：
（2b）
式中：为松弛函数，为老化系数。
1972年Bazant对H.Trost公式进行了严格的论证，并将之推广运用于变化的弹性模量和无限界的徐变系数。按龄期调整的有效模量法求解时关键问题是如何准确确定（或）。AEMM是目前徐变效应分析的主流方法，但严格来讲，只有在下列条件之一满足时，AEMM才能给出精确解：一为应变变化与徐变系数成线性关系，二为应力变化与松弛函数成线性关系。
1981年，我国建筑科学研究院陈永春等讲混凝土的应力、应变关系的积分方程用中值定理转化为全量形式的代数方程，1987年又作了改进，1991年又通过数值法直接求解积分方程，求得中值系数，可用于分析满足积分中值定理条件的混凝土徐变问题：
（3）
式中：、为中值系数，表示徐变系数的变化，表示弹性模量的变化，而AEMM或T-B方程中仅用来表示，即表示了徐变系数的变化，又表示了弹性模量的变化。
1990年，同济大学范立础等基于应力、应变关系的积分方程，用中值定理推导了增量形式的代数方程：
（4）
式中：下表“S”表示徐变引起的变化量，、为中值系数。利用该方法可计算各种施工情况下的徐变效应。
3.2基于叠加原理的积分型徐变定律的逐步计算法
分时步徐变叠加法以线性徐变理论和叠加原理为基础，在应力递增的徐变分析中给出了相当高的精度，由于徐变有滞后变形的性质，在应力递减的徐变分析中叠加法将高估徐变恢复的影响。高政国（2001）等提出了混凝土结构徐变应力分析的全量方法，以应力全量的形式进行徐变应力分析。全量理论的基本原理是把荷载全部作用于结构，然后逐级调整位移，直到平衡条件得到满足。全量法是将非线性求解问题转化为一系列线性计算过程。他还通过使用指数函数形式的徐变函数，避免存储应力历史。在一般的大型混凝土结构的徐变应力过程分析中，尤其是在大体积混凝土坝应力场仿真分析中应用比较好。
3.3基于率型徐变模型的逐步计算法
如果积分型徐变定律能转换为一阶微分方程组给出的率型徐变定律，就可以不储存和应用全部应力或应变历史。首先将Dirichlet级数应用于柔量方程的是McHenry等，尽管他们的目的是将结构问题中的积分问题转换成微分方程问题，而不是在逐步分析法中避免储存应力历史，退化核的后一个优点首先是被Selna、Bresler和Selna应用，但他们的算法中并没有允许时间步长从一个较小的延迟时间逐渐增大。Zienkiewicz、Watson等、Goudreau和Mukaddam首次提出了用于非老化材料的允许任意时间步长的指数算法。Bazant提出了用于老化材料基于退化核形式的指数算法，并应用于小型的有限元分析。
Dirichlet级数仅仅是出于对计算方便的考虑，才对真实的徐变定律作出近似的处理，级数中包含了较多的经验参数，这样做是不精确的，但是其精度在要求范围之内，关键在于对徐变模型中积分方程的内核进行近似处理，即所谓的退化核，其一般形式为：
（5）
式中：，是时间的函数。如果应用式，那么上式可改写为：
（6）
一般退化核中的对比时间的选择仍然在研究中，似乎一个更合适的表达式为：
（7）
式中为大于零的常数，选择有助于表示由于混凝土的老化引起的徐变率的下降。
基于指数函数形式及Dishinger级数表示的徐变度，Zienkiewicz和Waston、Taylor等曾提出了等步长的显式解法，中国水利水电科学研究院朱伯芳改进了此算法，使之适用于变步长的情况。
小结
目前桥梁结构分析中，采用比较多的徐变分析方法是AEMM 法、SSM 法，而微分方程方法在实际大结构分析中，由于比较难以与有限元结合，已较少采用。
基于叠加法的逐步计算法（SSM 法）是与实验最为吻合的方法。在特大跨桥梁結构和核反应堆外壳的计算中，Bazant 推荐使用这种方法。由于需要考虑应力历史，这种方法计算量比较大。考虑到计算机存储需求，目前研究热点是不考虑应力历史的逐步计算法，目前广泛采用的方法是在计算中采用徐变指数函数表达式，即利用指数函数的特点，建立徐变应变增量的递推公式，以避免记录应力历史，前面总结的用积分退化核的形式或者率型本构的形式，实际上都是基于指数函数的形式。随着计算机技术的进一步发展，这个问题将不成为关键问题，基于叠加法的逐步计算法将向计算更准确的方向发展。基于叠加法的逐步计算法基于线性徐变假设，对非线形徐变问题则需要考虑采用新的方法。目前，从收缩、徐变的数学模型到结构分析的理论和方法，国内外的学者和学术团体都在进行研究改进的工作，例如根据统计学的原理对混凝土结构的收缩、徐变问题进行“不定性”分析的研究，对于卸载时徐变恢复的非线性问题的研究等，徐变计算理论和方法将得到进一步发展。
参考文献
高政国，赵国藩。混凝土徐变分析的双功能函数表达。建筑材料学报，2001
王书庆。徐变自动增量分析方法及其实现。同济大学学报，2000
关键词：预应力混凝土梁桥，混凝土，收缩徐变，分析方法
中图分类号：TU375 文献标识码：A 文章编号：
收缩徐变效应分析方法的基本假定
由混凝土徐变引起的结构徐变变形和结构次内力计算，因各种客观因素的复杂性，要精确分析是十分困难的，特别是对于处于自然环境中的实际桥梁的收缩徐变效应分析，甚至可以说是不可能的，因此在实际的桥梁设计阶段，分析中一般采用以下基本假定：
不考虑结构内配筋的影响，把结构当作是素混凝土，这对预应力混凝土结构含筋率较小的情况下是适用的；
混凝土的弹性模量假定为常值，试验证明，混凝土的弹性模量随时间变化而变化，一般可增加10-15％，但考虑到徐变系数的计算值中已部分包括了这一因素，可取常值计算；
应力的数值低于混凝土强度的40~50％左右，或者是说在工作应力范围之内，采用徐变线性理论，即徐变应变与应力成正比关系的假定，由此“力的独立作用原理”和“应力与应变的叠加原理”等均在此适用。
在叠加原理和线性徐变假设条件下，总应变可表示为：
（1）
式中：为初始预应力的张拉时刻和干燥开始的时刻；为预应力发生变化的时刻，在和之间。上式中的第一项为初始预应力的弹性应变和徐变应变，第二项为在每一个时间段内由于预应力的变化和外加荷载引起的弹性应变和徐变应变，第三项为收缩应变和温度应变。
经典徐变分析方法
最早的徐变计算方法是McMillan于1916年提出有效模量法，后来的研究者在此基础上不断提出了几种更加复杂的方法。这些方法基本是通过使用柔度函数的简化形式进行结构的徐变分析，如徐变率法、流动率法等多种方法，随后Bazant和Panula基于当时大量的徐变数据对徐变计算方法进行了系统分析，认为前面提到的几种方法总体上不如有效模量法准确，当时提出这些方法的主要目的是将徐变求解的积分方程转化为代数线性方程TPTP。随着计算机技术的进步，许多研究者也将这些方法应用到逐步计算法中去，使这些方法焕发了新的生命力。
现代徐变分析方法
Bazant在2001年简要总结了现代常用的三种徐变计算方法TP：
基于龄期调整的有效模量法一步近似求解方法；基于叠加原理的积分型徐变定律的逐步计算法；基于Kelvin 或者Maxwell 模型的率型徐变模型的逐步计算法。
3.1按龄期调整的有效模量法
1967年H.Trost引入了老化系数概念，建立了考虑徐变的混凝土应力、应变的代数方程式，既简化了计算又提高了精度。混凝土的有效模量为：
（2a）
或：
（2b）
式中：为松弛函数，为老化系数。
1972年Bazant对H.Trost公式进行了严格的论证，并将之推广运用于变化的弹性模量和无限界的徐变系数。按龄期调整的有效模量法求解时关键问题是如何准确确定（或）。AEMM是目前徐变效应分析的主流方法，但严格来讲，只有在下列条件之一满足时，AEMM才能给出精确解：一为应变变化与徐变系数成线性关系，二为应力变化与松弛函数成线性关系。
1981年，我国建筑科学研究院陈永春等讲混凝土的应力、应变关系的积分方程用中值定理转化为全量形式的代数方程，1987年又作了改进，1991年又通过数值法直接求解积分方程，求得中值系数，可用于分析满足积分中值定理条件的混凝土徐变问题：
（3）
式中：、为中值系数，表示徐变系数的变化，表示弹性模量的变化，而AEMM或T-B方程中仅用来表示，即表示了徐变系数的变化，又表示了弹性模量的变化。
1990年，同济大学范立础等基于应力、应变关系的积分方程，用中值定理推导了增量形式的代数方程：
（4）
式中：下表“S”表示徐变引起的变化量，、为中值系数。利用该方法可计算各种施工情况下的徐变效应。
3.2基于叠加原理的积分型徐变定律的逐步计算法
分时步徐变叠加法以线性徐变理论和叠加原理为基础，在应力递增的徐变分析中给出了相当高的精度，由于徐变有滞后变形的性质，在应力递减的徐变分析中叠加法将高估徐变恢复的影响。高政国（2001）等提出了混凝土结构徐变应力分析的全量方法，以应力全量的形式进行徐变应力分析。全量理论的基本原理是把荷载全部作用于结构，然后逐级调整位移，直到平衡条件得到满足。全量法是将非线性求解问题转化为一系列线性计算过程。他还通过使用指数函数形式的徐变函数，避免存储应力历史。在一般的大型混凝土结构的徐变应力过程分析中，尤其是在大体积混凝土坝应力场仿真分析中应用比较好。
3.3基于率型徐变模型的逐步计算法
如果积分型徐变定律能转换为一阶微分方程组给出的率型徐变定律，就可以不储存和应用全部应力或应变历史。首先将Dirichlet级数应用于柔量方程的是McHenry等，尽管他们的目的是将结构问题中的积分问题转换成微分方程问题，而不是在逐步分析法中避免储存应力历史，退化核的后一个优点首先是被Selna、Bresler和Selna应用，但他们的算法中并没有允许时间步长从一个较小的延迟时间逐渐增大。Zienkiewicz、Watson等、Goudreau和Mukaddam首次提出了用于非老化材料的允许任意时间步长的指数算法。Bazant提出了用于老化材料基于退化核形式的指数算法，并应用于小型的有限元分析。
Dirichlet级数仅仅是出于对计算方便的考虑，才对真实的徐变定律作出近似的处理，级数中包含了较多的经验参数，这样做是不精确的，但是其精度在要求范围之内，关键在于对徐变模型中积分方程的内核进行近似处理，即所谓的退化核，其一般形式为：
（5）
式中：，是时间的函数。如果应用式，那么上式可改写为：
（6）
一般退化核中的对比时间的选择仍然在研究中，似乎一个更合适的表达式为：
（7）
式中为大于零的常数，选择有助于表示由于混凝土的老化引起的徐变率的下降。
基于指数函数形式及Dishinger级数表示的徐变度，Zienkiewicz和Waston、Taylor等曾提出了等步长的显式解法，中国水利水电科学研究院朱伯芳改进了此算法，使之适用于变步长的情况。
小结
目前桥梁结构分析中，采用比较多的徐变分析方法是AEMM 法、SSM 法，而微分方程方法在实际大结构分析中，由于比较难以与有限元结合，已较少采用。
基于叠加法的逐步计算法（SSM 法）是与实验最为吻合的方法。在特大跨桥梁結构和核反应堆外壳的计算中，Bazant 推荐使用这种方法。由于需要考虑应力历史，这种方法计算量比较大。考虑到计算机存储需求，目前研究热点是不考虑应力历史的逐步计算法，目前广泛采用的方法是在计算中采用徐变指数函数表达式，即利用指数函数的特点，建立徐变应变增量的递推公式，以避免记录应力历史，前面总结的用积分退化核的形式或者率型本构的形式，实际上都是基于指数函数的形式。随着计算机技术的进一步发展，这个问题将不成为关键问题，基于叠加法的逐步计算法将向计算更准确的方向发展。基于叠加法的逐步计算法基于线性徐变假设，对非线形徐变问题则需要考虑采用新的方法。目前，从收缩、徐变的数学模型到结构分析的理论和方法，国内外的学者和学术团体都在进行研究改进的工作，例如根据统计学的原理对混凝土结构的收缩、徐变问题进行“不定性”分析的研究，对于卸载时徐变恢复的非线性问题的研究等，徐变计算理论和方法将得到进一步发展。
参考文献
高政国，赵国藩。混凝土徐变分析的双功能函数表达。建筑材料学报，2001
王书庆。徐变自动增量分析方法及其实现。同济大学学报，2000