[摘要]对矩阵的对角化求其可逆矩阵，一般用求特征根所对应的特征向量的方法，但对于矩阵若当化可逆矩阵就很复杂，本文就此改进了这一方法，使其计算更加简洁
　　[关键词]特征根 若当链 矩阵方程组
　　
　　我们知道[1]，若λi是n×n矩阵A的ki重特征根，则有齐次线性方程组
　　 （A-λiI）=0
　　所决定的线性无关特征向量的个数ri．一般将小于或等于特征根λi的重数ki．那么，当ri=ki时，矩阵A所对应的若尔当标准型将呈现对角阵;当ri＜ki时，由线性代数知识，此时也可以求出ki个线性无关的特征向量，通常称为广义特征向量．这些特征向量作为可逆矩阵 的列向量，可将矩阵A化成若尔当标准型．
　　
　　一、引理[2]
　　设T=(T1,T2,...,Tki)，λi是n×n矩阵A的ki重特征根，则有
　　(A-λiI)T1=T2,(A-λiI)T2=T3,...,(A-λiI)Tki-1=Tki,(A-λiI)Tki=0
　　满足上式的T1,T2,...,Tki称为λi所对应的一个若当链．
　　显然，求出这样的所有若当链，就可以得变换方阵T，使T-1AT为若当型;若矩阵A有k个特征根，那么矩阵A就有k个若当链．
　　二、定理
　　若λi是n×n矩阵A的ki重特征根，则λi所对应的若当链满足矩阵方程组
　　
　　
　　所确定．取遍所有的λi(i=1,2,...k)，则得到可逆矩阵T．
　　证明 由引理可知 所对应的若当链满足
　　(A-λiI)T1=T2,(A-λiI)T2=T3,...,(A-λiI)Tki-1=Tki,(A-λiI)Tki=0
　　把上式从右端开始，第二式代入第一式，得
　　(A-λiI)2Tki-1=0
　　再把第三式代入由第二式代入第一式所得的结果中，得
　　(A-λiI)3Tki-2=0
　　依次代入下去，即可得出矩阵方程组
　　
　　对于每个λi可得到ki个列向量，取遍所有的λi，可得到 个列向量，即为可逆矩阵T的列向量．
　　注: 1、对λi所对应的若当链T=(T1,T2,...,Tki)的顺序问题，由矩阵方程(A-λiI)kiT=0解得的向量T中所对应的向量应为T的第一个列向量，(A-λiI)的指数顺序与若当链 的列向量顺序相反．
　　2、对于任意一个n阶方阵A是满秩的，即ki=1(i=1,2,...k)时，则A可以对角化;若A为非满秩的，那么存在可逆矩阵T，可使矩阵A若当化，而可逆矩阵T使由矩阵A所有特征根所对应的若当链组成．
　　[参考文献]
　　[1]东北师范大学微分方程教研室.常微分方程[M]（第二版）.北京：高等教育出版社,2007．
　　[2]张贤科,许甫华.高等代数学.北京：清华大学出版社.2004.
　　（作者单位：湖南凤凰县两林学区 湖南凤凰）
　　
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