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【摘要】折叠问题是初中数学教学中一类非常重要的问题，对学生空间想象力、思维能力以及动手操作能力等具有较高要求，同时讲究技巧性与规律性，增加了学生的解题难度，所以传授给他们正确的折叠问题求解思路与方法显得尤为关键.本文在对折叠问题特征与求解思路进行阐述的基础上，结合具体例题，对常见的几种折叠问题求解方法进行了重点探析，以期可以帮助初中生顺利突破这部分数学学习难关.
【关键词】初中;数学;折叠问题;对称;解题方法
在新课标下，初中数学更加侧重考查学生的思维能力，如发散思维、辩证思维、抽象思维等等，同时也越多地侧重考查学生的数学关键能力，如推理论证能力、空间想象力等等.其中折叠问题是一类综合考查学生空间想象力、思维认知能力等众多关键能力的数学问题，对学生的问题求解能力具有较高要求.因此，为了帮助初中生顺利地攻克这部分学习难点，必须要注意系统化指导他们掌握求解该类问题的思路与常用方法.
一、新课程下初中数学折叠问题的求解思路
折叠问题的本质是图形轴对称变换问题，求解的核心主要是有效地运用轴对称的相关性质与思想，如基于轴对称性质对图形折叠前后的变量与不变量进行有效确定，配合三角形的相似性、全等性以及方程知识等来构建有关角度和线段之间的相关性.与此同时，在求解折叠问题的过程中还需要灵活地借助背景图形性质以及轴对称方面的相关性质来判断折叠图形的相关共性规律与特征（找到其中涉及的关键变量与不变量），如折叠图形的折线本身是对称轴、折线两边的折叠图形保持全等状态;折叠图形上面任意两个对称点相連构成的直线和折线之间保持垂直状态;对应的折叠图形边线之间保持相互平行状态或者交点处于对称轴上.在求解折叠问题的过程中要综合运用上述的各种数学结论，并在此基础上有效地运用构造辅助线的方式构造出直角三角形，然后利用锐角三角函数、相似形、方程思想等有关图形和函数方面的知识来对折叠问题进行系统化求解，借助这一求解思路可以逐步简化折叠问题的求解过程，有利于提高解题的简洁性和清晰性.
二、新课程下初中数学教学中常见的折叠问题及解题方法
2.1 以基本图形要素为考点的折叠问题及解题方法
在新课程下初中数学教学中涉及的常见折叠问题首先体现在平面图形不同基本要素的折叠，即以“点”“线”和“面”为基本单位的图形折叠问题，它们对应的求解方法如下：
（1）“点”的折叠问题及求解方法.在“点”的折叠问题中主要涉及对折线的“中点”，这就涉及轴对称，并且会相应地生成相等的角和线段，这样更有助于集中有关的解题条件.如果题目当中涉及直角，那么可以将相应的解题条件集中于比较小的直角三角形当中，之后用勾股定理方面的数学知识进行求解即可.
例1 如图1，某一次函数与坐标轴分别交于A点和B点，将△AOB沿着AB进行翻折，那么可以得到△ACB.如果已知C点坐标为3[]2，32，那么试确定相应一次函数的解析式.
解析 本题以△AOB为主体，折叠变换之后所得到的△ACB和原△AOB保持全等，这时候可以借助对称性和三角函数关系来求解出AO和CO的边长，之后可以分别求出点A和点B的相应坐标，配合待定系数法的应用可以快速确定直线AB的解析式.
（2）“线”的折叠问题及求解方法.“线”的折叠问题，主要是以某条线为基准进行翻折，相应问题求解中需要对图形折叠前后的图形形状以及相应线条的对应位置进行确定，之后再运用轴对称性质与特征的相关知识来求解.
（3）“面”的折叠问题及求解方法.在求解折叠问题时，如果可以灵活地运用“面”的对称性特征可以相应地得到相等的角和面积以及全等的对折图形.如果可以抓住对折图形中的变量和不变量，挖掘其中几何图形性质以及相关的数量关系之后可以快速求解相应的折叠问题.
例3 如图3，△OAB是一等边三角形，边长为2.其中O为直角坐标系的坐标原点，点B位于y轴上，将该三角形进行折叠操作后使A点落于边OB上并交于A′点，相应折叠的折痕为边EF.假定A′在边OB上面进行移动但是不交于点B和点O，试求能否使所形成的△A′EF为一个直角三角形？
解析 鉴于该道折叠问题中涉及动点A′，所以在求解的过程中需要进行分类讨论，即可以首先确定所形成的直角顶点不可能存在A′处，之后分别假定所形成直角三角形的直角顶点位于F点或E点处进行分析，看是否可行.
解 假定△A′EF的直角顶点位于F点，那么可以结合翻折图形的轴对称性质得到∠A′FE=∠AFE=90°，此时点A′和点B保持重合，不满足已知条件，所以此时不成立;假定△A′EF的直角顶点位于E点，那么可以结合翻折图形的轴对称性质得到∠A′EF=∠AEF=90°，此时点A′和点O保持重合，不满足已知条件，所以此时也不成立.由此可知，在A′位于线段OB上进行移动期间不可能存在使△A′EF为直角三角形的位置.
综上所述，在求解折叠问题的过程中要对折叠问题的实质进行把握，抓住折叠图形折叠前后的位置关系变化，从“点”“线”和“面”三个方面出发来确定翻折前后图形的变量与不变量，挖掘其中涉及的图形参数数量关系，最后利用方程思想对数量关系进行表达，最终可以解决相应的数学问题.
2.2 以折叠后不同视角为考点的折叠问题及解题方法
虽然折叠问题的求解基本上都是以“点”“线”与“面”几个基本元素为基准，但是在实际的折叠问题求解中会涉及不同的视角，如求解点坐标、角度、周长与最小值等等，具体的典型折叠题目类型及解题方法如下：
（1）求点坐标.
例4 如图4，已知B点和C点的坐标分别为（1，3）和（1，0），过点B的直线y=x k交x轴于A点.沿着直线AB折叠△ABC后可以得到△ABD，试求A点与D点的坐标.
解析 此题以直角坐标系为基础，主要考查函数图像折叠之后“点”的变化，在实际的求解中可以综合运用函数解析式、数形结合与轴对称等数学知识进行求解. 解 B点在直线上，代入求得直线解析式为y=x 2，得到A点坐标为（-2，0）.由折叠图形的对称性可知，AC=AD=3，故D点的坐标是（-2，3）.
（2）求角度.
例5 如图5，小红在某次班级折纸活动中制作了一个△ABC纸板，其中边AB和边AC上分别分布有D点和E点.沿着DE将△ABC折叠压平之后使得A点落在A′点.如果∠A=70°，那么∠1 ∠2=.
解析 针对这一道折叠问题的求解，首先要结合三角形折叠的基本性质，明确其中的不变量——角，之后运用三角形内角和、补角等来确定其中包含的等量关系，最后再运用代数方法求出角度.
解 由折叠图形的对称性可知∠ADE=∠A′DE;
∴∠1=180°-2∠AED，∠2=180°-2∠A′DE;
∴根據三角形内角和为180°可知，∠1 ∠2=360°-2（∠AED ∠A′DE）=2∠A=140°.
（3）求周长.
例6 如图6，沿虚线①对折矩形纸张后再沿着虚线②剪开，可以剪出一个直角三角形，将其打开之后得到一个等腰三角形，那么其周长是多少？
解析 图形通过剪切折叠后可以得到轴对称图形，再借助勾股定理对相应直角三角形的边长进行求解，进而求得周长.该道折叠问题不仅考查了学生对轴对称图形性质等知识的理解，同时还考查了学生的想象力与动手实操能力.
解 ∵折叠矩形纸张之后，其长度变成了原来的一半，而宽度则保持不变;
∴剪下来的Rt△的两直角边长度分别为1和3，根据勾股定理求得其斜边长度为10.
∴在打开重叠的直角三角形后可以构成一个完整的等腰三角形（腰长为10，底边长度为2）;
∴可知剪下来的三角形周长为210 2.
除了上述几种折叠问题的求解题目之外，还有一些折叠题目会以折叠之后的线段长度、图形面积、函数解析式等为考点.无论求解何种折叠问题，都要注意对该类题型的性质与规律进行深入把握，灵活运用轴对称图形、相似图形等方面的数学知识，就可以顺利攻克这部分问题的求解难点.
总之，折叠问题是新课程下初中数学考试中常见的一类问题，对学生的逻辑思维能力、想象力具有较高要求.为了顺利地解决折叠问题，要注意指导学生对该类题型的本质及特征进行把握，从“点”“线”和“面”三个方面出发，找寻题目中折叠前后的变量与不变量，然后再综合运用轴对称图形、相似图形等方面的知识来进行求解，配合必要的解题训练，可以逐步使学生掌握解决折叠问题的思路与方法.
【参考文献】
[1] 金洁霞.异曲同工，万变归宗——基于初中数学折叠问题的教学思考[J].中学数学，2019（6）：90-91.
[2] 吴俊.关于初中数学教学中折叠问题的解题探讨[J].数学大世界，2019（4）：135-136.
[3] 吴凡.初中数学教学中有关折叠问题的解题思路探讨[J].理科爱好者（教育教学），2019（6）：114-115.
【关键词】初中;数学;折叠问题;对称;解题方法
在新课标下，初中数学更加侧重考查学生的思维能力，如发散思维、辩证思维、抽象思维等等，同时也越多地侧重考查学生的数学关键能力，如推理论证能力、空间想象力等等.其中折叠问题是一类综合考查学生空间想象力、思维认知能力等众多关键能力的数学问题，对学生的问题求解能力具有较高要求.因此，为了帮助初中生顺利地攻克这部分学习难点，必须要注意系统化指导他们掌握求解该类问题的思路与常用方法.
一、新课程下初中数学折叠问题的求解思路
折叠问题的本质是图形轴对称变换问题，求解的核心主要是有效地运用轴对称的相关性质与思想，如基于轴对称性质对图形折叠前后的变量与不变量进行有效确定，配合三角形的相似性、全等性以及方程知识等来构建有关角度和线段之间的相关性.与此同时，在求解折叠问题的过程中还需要灵活地借助背景图形性质以及轴对称方面的相关性质来判断折叠图形的相关共性规律与特征（找到其中涉及的关键变量与不变量），如折叠图形的折线本身是对称轴、折线两边的折叠图形保持全等状态;折叠图形上面任意两个对称点相連构成的直线和折线之间保持垂直状态;对应的折叠图形边线之间保持相互平行状态或者交点处于对称轴上.在求解折叠问题的过程中要综合运用上述的各种数学结论，并在此基础上有效地运用构造辅助线的方式构造出直角三角形，然后利用锐角三角函数、相似形、方程思想等有关图形和函数方面的知识来对折叠问题进行系统化求解，借助这一求解思路可以逐步简化折叠问题的求解过程，有利于提高解题的简洁性和清晰性.
二、新课程下初中数学教学中常见的折叠问题及解题方法
2.1 以基本图形要素为考点的折叠问题及解题方法
在新课程下初中数学教学中涉及的常见折叠问题首先体现在平面图形不同基本要素的折叠，即以“点”“线”和“面”为基本单位的图形折叠问题，它们对应的求解方法如下：
（1）“点”的折叠问题及求解方法.在“点”的折叠问题中主要涉及对折线的“中点”，这就涉及轴对称，并且会相应地生成相等的角和线段，这样更有助于集中有关的解题条件.如果题目当中涉及直角，那么可以将相应的解题条件集中于比较小的直角三角形当中，之后用勾股定理方面的数学知识进行求解即可.
例1 如图1，某一次函数与坐标轴分别交于A点和B点，将△AOB沿着AB进行翻折，那么可以得到△ACB.如果已知C点坐标为3[]2，32，那么试确定相应一次函数的解析式.
解析 本题以△AOB为主体，折叠变换之后所得到的△ACB和原△AOB保持全等，这时候可以借助对称性和三角函数关系来求解出AO和CO的边长，之后可以分别求出点A和点B的相应坐标，配合待定系数法的应用可以快速确定直线AB的解析式.
（2）“线”的折叠问题及求解方法.“线”的折叠问题，主要是以某条线为基准进行翻折，相应问题求解中需要对图形折叠前后的图形形状以及相应线条的对应位置进行确定，之后再运用轴对称性质与特征的相关知识来求解.
（3）“面”的折叠问题及求解方法.在求解折叠问题时，如果可以灵活地运用“面”的对称性特征可以相应地得到相等的角和面积以及全等的对折图形.如果可以抓住对折图形中的变量和不变量，挖掘其中几何图形性质以及相关的数量关系之后可以快速求解相应的折叠问题.
例3 如图3，△OAB是一等边三角形，边长为2.其中O为直角坐标系的坐标原点，点B位于y轴上，将该三角形进行折叠操作后使A点落于边OB上并交于A′点，相应折叠的折痕为边EF.假定A′在边OB上面进行移动但是不交于点B和点O，试求能否使所形成的△A′EF为一个直角三角形？
解析 鉴于该道折叠问题中涉及动点A′，所以在求解的过程中需要进行分类讨论，即可以首先确定所形成的直角顶点不可能存在A′处，之后分别假定所形成直角三角形的直角顶点位于F点或E点处进行分析，看是否可行.
解 假定△A′EF的直角顶点位于F点，那么可以结合翻折图形的轴对称性质得到∠A′FE=∠AFE=90°，此时点A′和点B保持重合，不满足已知条件，所以此时不成立;假定△A′EF的直角顶点位于E点，那么可以结合翻折图形的轴对称性质得到∠A′EF=∠AEF=90°，此时点A′和点O保持重合，不满足已知条件，所以此时也不成立.由此可知，在A′位于线段OB上进行移动期间不可能存在使△A′EF为直角三角形的位置.
综上所述，在求解折叠问题的过程中要对折叠问题的实质进行把握，抓住折叠图形折叠前后的位置关系变化，从“点”“线”和“面”三个方面出发来确定翻折前后图形的变量与不变量，挖掘其中涉及的图形参数数量关系，最后利用方程思想对数量关系进行表达，最终可以解决相应的数学问题.
2.2 以折叠后不同视角为考点的折叠问题及解题方法
虽然折叠问题的求解基本上都是以“点”“线”与“面”几个基本元素为基准，但是在实际的折叠问题求解中会涉及不同的视角，如求解点坐标、角度、周长与最小值等等，具体的典型折叠题目类型及解题方法如下：
（1）求点坐标.
例4 如图4，已知B点和C点的坐标分别为（1，3）和（1，0），过点B的直线y=x k交x轴于A点.沿着直线AB折叠△ABC后可以得到△ABD，试求A点与D点的坐标.
解析 此题以直角坐标系为基础，主要考查函数图像折叠之后“点”的变化，在实际的求解中可以综合运用函数解析式、数形结合与轴对称等数学知识进行求解. 解 B点在直线上，代入求得直线解析式为y=x 2，得到A点坐标为（-2，0）.由折叠图形的对称性可知，AC=AD=3，故D点的坐标是（-2，3）.
（2）求角度.
例5 如图5，小红在某次班级折纸活动中制作了一个△ABC纸板，其中边AB和边AC上分别分布有D点和E点.沿着DE将△ABC折叠压平之后使得A点落在A′点.如果∠A=70°，那么∠1 ∠2=.
解析 针对这一道折叠问题的求解，首先要结合三角形折叠的基本性质，明确其中的不变量——角，之后运用三角形内角和、补角等来确定其中包含的等量关系，最后再运用代数方法求出角度.
解 由折叠图形的对称性可知∠ADE=∠A′DE;
∴∠1=180°-2∠AED，∠2=180°-2∠A′DE;
∴根據三角形内角和为180°可知，∠1 ∠2=360°-2（∠AED ∠A′DE）=2∠A=140°.
（3）求周长.
例6 如图6，沿虚线①对折矩形纸张后再沿着虚线②剪开，可以剪出一个直角三角形，将其打开之后得到一个等腰三角形，那么其周长是多少？
解析 图形通过剪切折叠后可以得到轴对称图形，再借助勾股定理对相应直角三角形的边长进行求解，进而求得周长.该道折叠问题不仅考查了学生对轴对称图形性质等知识的理解，同时还考查了学生的想象力与动手实操能力.
解 ∵折叠矩形纸张之后，其长度变成了原来的一半，而宽度则保持不变;
∴剪下来的Rt△的两直角边长度分别为1和3，根据勾股定理求得其斜边长度为10.
∴在打开重叠的直角三角形后可以构成一个完整的等腰三角形（腰长为10，底边长度为2）;
∴可知剪下来的三角形周长为210 2.
除了上述几种折叠问题的求解题目之外，还有一些折叠题目会以折叠之后的线段长度、图形面积、函数解析式等为考点.无论求解何种折叠问题，都要注意对该类题型的性质与规律进行深入把握，灵活运用轴对称图形、相似图形等方面的数学知识，就可以顺利攻克这部分问题的求解难点.
总之，折叠问题是新课程下初中数学考试中常见的一类问题，对学生的逻辑思维能力、想象力具有较高要求.为了顺利地解决折叠问题，要注意指导学生对该类题型的本质及特征进行把握，从“点”“线”和“面”三个方面出发，找寻题目中折叠前后的变量与不变量，然后再综合运用轴对称图形、相似图形等方面的知识来进行求解，配合必要的解题训练，可以逐步使学生掌握解决折叠问题的思路与方法.
【参考文献】
[1] 金洁霞.异曲同工，万变归宗——基于初中数学折叠问题的教学思考[J].中学数学，2019（6）：90-91.
[2] 吴俊.关于初中数学教学中折叠问题的解题探讨[J].数学大世界，2019（4）：135-136.
[3] 吴凡.初中数学教学中有关折叠问题的解题思路探讨[J].理科爱好者（教育教学），2019（6）：114-115.