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摘 要: 现代教育理念注重以人为本,以学生发展为本,以培养学生能力为本,突出学生良好的思维品质培养。数学在培养学生良好的思维品质方面有着得天独厚的优势。解题训练是数学教学的重要组成部分,通过解题训练中的数学建模、错题辨析、一题多解、应用研讨,可以有效地培养学生思维的敏捷性、深刻性、发散性、创造性。
关键词: 数学解题训练 思维品质 培养
思维品质也称智慧品质,是个体思维活动中智力特征的表现。数学教学是数学思维活动的过程,智力水平大致相近的学生个体,由于受其思维品质的影响,在分析解决数学问题的广度与深度上往往显现出较大的差异,这就要求我们在高中数学教学中强化学生良好思维品质的培养。解题训练是进行学生良好思维品质培养的有效手段,具体我们可以通过以下四个方面去实施。
一、利用数学建模,培养学生思维的敏捷性
思维的敏捷性决定着思维的效率,斯宾塞在《数学教育学》一书中指出:思维的敏捷乃是学生思维发展水平的一种体现。从信息论的角度来说,思维的敏捷性作为学生“数学反映能力”的一种特征标志,意味着学生能从同一数学信息源出发,应用全部信息进行放射性联想,从而开通各种各样解决问题的信息通道,运用善于抓住问题关键的“火眼金睛”,找到正确思维的“快速通道”。为了实现这一愿望,我们在学生解题训练中要大力推广数学建模的方法,在学生的头脑中建立常用的、典型的基本数学模型,如函数模型、方程模型、不等式模型、数列模型、概率模型、几何模型、几何曲线模型等,遇到数学问题时灵活利用头脑中的“数学模块”,对数学模型进行入微的洞察分析,结合联想进行数学建模,然后快捷地作出正确决断。
例如要证明sin5°+sin77°+sin149°+sin221°+sin293°=0,若按常规,将此题作为“三角”问题来处理,当然可以证出来,但要麻烦得多。如果仔细观察题中的数量特征,可以发现这些角都依次相差72°,联想到正五边形的内角关系,由此构造一个正五边形(如图)。由于++++=,从而它们的各个向量在Y轴上的分量之和亦为0,故知原式成立。这里,正五边形作为建模的对象恰到好处地体现了题中角度的数量特征,表现了学生敏捷的观察能力和想象能力,可以说,只有通过数学建模才能“创造”出如此简洁、优美的证明。
二、开展错题辨析,培养学生思维的深刻性
思维的深刻性是指思维活动的深度、广度、难度,以及思维活动的抽象程度和逻辑水平。在思维过程中能从一般的认知系统出发,透过事物的表面对问题的诸多现象进行全面分析,抓住问题本质特征,并从中导出解决问题的正确方案是思维深刻性的具体表现。在数学习题训练中,教师开展错题辨析活动,可以充分挖掘错误中潜在的智力因素,提出具有针对性和启发性的问题,引导学生从更高的层次审视问题,自主地发现问题,探究分析错误根源,寻找预防类似错误出现的方法,在纠正错误的过程中,深化对知识的理解,掌握解决同类问题的规律。这样可使学生养成深刻理解概念,周密剖析问题,不被表面现象所迷惑,不凭一知半解下定论的良好思维习惯。
例如:判断函数y=x,x∈[-1,1)的奇偶性。
有学生这样解:∵f(-x)=(-x)=-x=-f(x),
∴函数y=x,x∈[-1,1)是奇函数。
显然这是由于没有注意函数定义域,没有判断该函数的定义域是否关于原点成中心对称,机械套用函数奇偶性定义造成的。我们应该就学生的错误开展辨析,在辨析中进一步明确判断函数的奇偶性应先考虑该函数的定义域是否关于坐标原点成中心对称,如果定义域关于坐标原点不成中心对称,则函数就无奇偶性。
正确的解法应该是:
∵-1∈[-1,1),而1?埸[-1,1),
∴函数定义域[-1,1)关于坐标原点不对称,
∴函数y=x,x∈[-1,1)是非奇非偶函数。
从某种意义上讲,习题错解的辨析比演练习题更重要。只有我们明确错在何处,以后才会少出或不出类此错误,思维的深刻性才得以体现。
三、探究一题多解,培养学生思维的发散性
由于传统的升学教育模式,我们在高中数学教学中普遍存在着比较重视集中思维的训练,片面追求结论,忽视了环节和过程,忽视了发散思维的训练。新课程标准从知识与能力、过程与方法、情感态度与价值观三个维度规定了高中数学教学要达成的课程目标,对学生的发散性思维训练提出了新的要求。实践表明:探究一题多解是培养学生发散思维的有效手段,教师在数学解题训练过程中,要积极引导学生不落俗套、不拘一格,努力尝试用多种方法,从各个不同角度和不同途径去寻求问题的答案。
例如要解不等式:1<|2x-3|<7,我们就可以启发学生从下面的不同方向入手。
1.根据绝对值的定义,进行分类讨论求解。
当2x-3≥0时,不等式可化为1<2x-3<7?圯2 当2x-3<0时,不等式可化为1<-2x+3<7?圯-2 综上可得:解集为{x|2 2.转化为不等式组求解。
原不等式等价于|2x-3|>1且|2x-3|<7?圯2 综上可得:解集为{x|2 3.利用等价命题法。
原不等式等价于1<2x-3<7或-7<2x-3<-1,即2 从而解集为{x|2 经常在数学解题中进行一题多解的训练,学生遇到问题就会习惯从多个角度去思考,灵活应用知识积累,寻求新思路、新方法,其思维的变通性、求异性、发散性就会得到有效的提高。
四、组织应用研讨,培养学生思维的创造性
思维的创造性是一种不囿于常规、寻求突破,而又合乎逻辑规则、富有科学性的全新的思维形式。作为思维品质中的较高层次,思维的创造性要求学生在思维方法上敢于创新,能在已有的知识、材料的基础上总结规律、发现问题,由此充分发挥想象力。高中数学新课程重视数学知识与社会生活的联系,为我们培养学生思维的创造性创造了有利的条件,我们应依据新课程目标,为学生设计应用性研讨专题,组织学生结合所学知识进行专题研讨,实现理论与实际的有机结合。如我曾经组织学生对 “洗衣问题”进行的应用研讨:用一定量的水洗一件衣服,有两种方式可以选择,一种是直接用全部的水洗衣服,第二种是将水分成相同的两份,先在其中一份中洗涤,然后在另一份中清一下。从数学角度论证哪种洗法效果好。对于这一与生活密切相关的问题,学生研讨起来饶有兴致。大家集思广益,借助于溶液的浓度的概念,把衣服上残留的脏物看成溶质,设那桶水的体积为v,衣服的体积为u,而衣服上脏物的体积为w。
在第一种洗法中,衣服上残留的脏物为。
按第二种洗法:第一次洗后衣服上残留的脏物为;第二次洗后衣服上残留的脏物为;显然有> (因为w非常小与v,u比可忽略不计),这就证明了第二种洗法效果好一些。这种应用性研讨,学生没有先例可循,只有自己开动脑筋,多向探索,利用掌握的知识做基础寻找解决办法,对培养学生思维的创造性大有裨益。
在数学解题训练中培养学生良好的思维品质是一项长期的工作,只有我们以弘扬学生学习的主体性、能动性、独立性为宗旨,充分考虑学生的生理、心理和认知特点,通过教学实践不断反思、调整和完善自己的手段和措施,才能切实提高学生良好思维品质培养的实效性。
参考文献:
[1]蒋万煊.如何才能更好地培养学生的数学思维品质.数学学习与研究,2008,(11).
[2]杨文化.数学教学中学生思维品质的培养之我见.西部教育参考,2009,(02).
[3]程瑞成.浅谈如何培养学生的良好思维品质.教学交流·理论版,2009,(05).
[4]张超凡.数学教学应培养学生的思维品质.河南教育·基教版,2009,(08).
[5]申社民.习题教学中学生思维品质的培养.新课程·教育学术,2009,(17).
关键词: 数学解题训练 思维品质 培养
思维品质也称智慧品质,是个体思维活动中智力特征的表现。数学教学是数学思维活动的过程,智力水平大致相近的学生个体,由于受其思维品质的影响,在分析解决数学问题的广度与深度上往往显现出较大的差异,这就要求我们在高中数学教学中强化学生良好思维品质的培养。解题训练是进行学生良好思维品质培养的有效手段,具体我们可以通过以下四个方面去实施。
一、利用数学建模,培养学生思维的敏捷性
思维的敏捷性决定着思维的效率,斯宾塞在《数学教育学》一书中指出:思维的敏捷乃是学生思维发展水平的一种体现。从信息论的角度来说,思维的敏捷性作为学生“数学反映能力”的一种特征标志,意味着学生能从同一数学信息源出发,应用全部信息进行放射性联想,从而开通各种各样解决问题的信息通道,运用善于抓住问题关键的“火眼金睛”,找到正确思维的“快速通道”。为了实现这一愿望,我们在学生解题训练中要大力推广数学建模的方法,在学生的头脑中建立常用的、典型的基本数学模型,如函数模型、方程模型、不等式模型、数列模型、概率模型、几何模型、几何曲线模型等,遇到数学问题时灵活利用头脑中的“数学模块”,对数学模型进行入微的洞察分析,结合联想进行数学建模,然后快捷地作出正确决断。
例如要证明sin5°+sin77°+sin149°+sin221°+sin293°=0,若按常规,将此题作为“三角”问题来处理,当然可以证出来,但要麻烦得多。如果仔细观察题中的数量特征,可以发现这些角都依次相差72°,联想到正五边形的内角关系,由此构造一个正五边形(如图)。由于++++=,从而它们的各个向量在Y轴上的分量之和亦为0,故知原式成立。这里,正五边形作为建模的对象恰到好处地体现了题中角度的数量特征,表现了学生敏捷的观察能力和想象能力,可以说,只有通过数学建模才能“创造”出如此简洁、优美的证明。
二、开展错题辨析,培养学生思维的深刻性
思维的深刻性是指思维活动的深度、广度、难度,以及思维活动的抽象程度和逻辑水平。在思维过程中能从一般的认知系统出发,透过事物的表面对问题的诸多现象进行全面分析,抓住问题本质特征,并从中导出解决问题的正确方案是思维深刻性的具体表现。在数学习题训练中,教师开展错题辨析活动,可以充分挖掘错误中潜在的智力因素,提出具有针对性和启发性的问题,引导学生从更高的层次审视问题,自主地发现问题,探究分析错误根源,寻找预防类似错误出现的方法,在纠正错误的过程中,深化对知识的理解,掌握解决同类问题的规律。这样可使学生养成深刻理解概念,周密剖析问题,不被表面现象所迷惑,不凭一知半解下定论的良好思维习惯。
例如:判断函数y=x,x∈[-1,1)的奇偶性。
有学生这样解:∵f(-x)=(-x)=-x=-f(x),
∴函数y=x,x∈[-1,1)是奇函数。
显然这是由于没有注意函数定义域,没有判断该函数的定义域是否关于原点成中心对称,机械套用函数奇偶性定义造成的。我们应该就学生的错误开展辨析,在辨析中进一步明确判断函数的奇偶性应先考虑该函数的定义域是否关于坐标原点成中心对称,如果定义域关于坐标原点不成中心对称,则函数就无奇偶性。
正确的解法应该是:
∵-1∈[-1,1),而1?埸[-1,1),
∴函数定义域[-1,1)关于坐标原点不对称,
∴函数y=x,x∈[-1,1)是非奇非偶函数。
从某种意义上讲,习题错解的辨析比演练习题更重要。只有我们明确错在何处,以后才会少出或不出类此错误,思维的深刻性才得以体现。
三、探究一题多解,培养学生思维的发散性
由于传统的升学教育模式,我们在高中数学教学中普遍存在着比较重视集中思维的训练,片面追求结论,忽视了环节和过程,忽视了发散思维的训练。新课程标准从知识与能力、过程与方法、情感态度与价值观三个维度规定了高中数学教学要达成的课程目标,对学生的发散性思维训练提出了新的要求。实践表明:探究一题多解是培养学生发散思维的有效手段,教师在数学解题训练过程中,要积极引导学生不落俗套、不拘一格,努力尝试用多种方法,从各个不同角度和不同途径去寻求问题的答案。
例如要解不等式:1<|2x-3|<7,我们就可以启发学生从下面的不同方向入手。
1.根据绝对值的定义,进行分类讨论求解。
当2x-3≥0时,不等式可化为1<2x-3<7?圯2
原不等式等价于|2x-3|>1且|2x-3|<7?圯2
原不等式等价于1<2x-3<7或-7<2x-3<-1,即2
四、组织应用研讨,培养学生思维的创造性
思维的创造性是一种不囿于常规、寻求突破,而又合乎逻辑规则、富有科学性的全新的思维形式。作为思维品质中的较高层次,思维的创造性要求学生在思维方法上敢于创新,能在已有的知识、材料的基础上总结规律、发现问题,由此充分发挥想象力。高中数学新课程重视数学知识与社会生活的联系,为我们培养学生思维的创造性创造了有利的条件,我们应依据新课程目标,为学生设计应用性研讨专题,组织学生结合所学知识进行专题研讨,实现理论与实际的有机结合。如我曾经组织学生对 “洗衣问题”进行的应用研讨:用一定量的水洗一件衣服,有两种方式可以选择,一种是直接用全部的水洗衣服,第二种是将水分成相同的两份,先在其中一份中洗涤,然后在另一份中清一下。从数学角度论证哪种洗法效果好。对于这一与生活密切相关的问题,学生研讨起来饶有兴致。大家集思广益,借助于溶液的浓度的概念,把衣服上残留的脏物看成溶质,设那桶水的体积为v,衣服的体积为u,而衣服上脏物的体积为w。
在第一种洗法中,衣服上残留的脏物为。
按第二种洗法:第一次洗后衣服上残留的脏物为;第二次洗后衣服上残留的脏物为;显然有> (因为w非常小与v,u比可忽略不计),这就证明了第二种洗法效果好一些。这种应用性研讨,学生没有先例可循,只有自己开动脑筋,多向探索,利用掌握的知识做基础寻找解决办法,对培养学生思维的创造性大有裨益。
在数学解题训练中培养学生良好的思维品质是一项长期的工作,只有我们以弘扬学生学习的主体性、能动性、独立性为宗旨,充分考虑学生的生理、心理和认知特点,通过教学实践不断反思、调整和完善自己的手段和措施,才能切实提高学生良好思维品质培养的实效性。
参考文献:
[1]蒋万煊.如何才能更好地培养学生的数学思维品质.数学学习与研究,2008,(11).
[2]杨文化.数学教学中学生思维品质的培养之我见.西部教育参考,2009,(02).
[3]程瑞成.浅谈如何培养学生的良好思维品质.教学交流·理论版,2009,(05).
[4]张超凡.数学教学应培养学生的思维品质.河南教育·基教版,2009,(08).
[5]申社民.习题教学中学生思维品质的培养.新课程·教育学术,2009,(17).