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[摘 要] 有效化的复习离不开知识体系的建构，在各种方法、工具中，笔者认为思维导图正是一种我们寻求的最实用、最高效的，能够帮助我们建立知识体系的方法.
[关键词] 思维导图；有效复习；勾股定理
数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，它具有高度的抽象性和逻辑严密性的特点. 很多人之所以认为数学很难学，除了数学对记忆、分析、判断、逻辑、运算等能力都有很高的要求之外，最主要的原因可能是因为它高度的抽象性. 在复习中，正是因为很多知识的抽象让学生很难掌握，而思维导图的出现可以让抽象变得具体，通过图形的转化，让那些原本抽象的数学知识简化了. 数学的第二大特点就是逻辑严密、知识具有系统性，学习数学就像玩多米诺骨牌游戏，如果摆放好的多米诺骨牌出现了一处失败，它影响的绝不仅仅是失败这一处，如果不及时把失败处重新摆放好，那么最后的结果只能是整个游戏的失败. 同样，数学中的某个知识点没有掌握好，很可能就会影响到后面其他知识的继续学习，就像多米诺骨牌一样，前面的失败造成后面的游戏无法继续进行下去. 而通过全景式的思维导图，学生便可以在短时间之内了解到自己必须掌握的数学知识内容，“扫描”出自己存在的不足之处，从而有针对性地弥补弱点. 因此，做好复习的思维导图，重新回归课本，理清知识点间的联系和典型例题，就不会“眉毛胡子一把抓”了. 下面以北師大版八年级上册“勾股定理”章末复习一课为例，从“有效复习的地位和作用”“思维导图对有效复习的作用”“图析数学，建构知识全景，让章末复习有效化”“运用思维导图进行有效复习的效果评价”四个角度对思维导图在数学章末复习有效运用进行阐述.
有效复习的地位和作用
一直以来，复习在中外的教学理论中都被列为教学过程中一个重要的教学环节，很多教学理论都在探讨如何通过复习全面达成教学目标，提高教学质量. 狄慈根曾说过这样一句话：“重复是学习之母”，孔子也说过“温故而知新”，这两句名言所体现出的不仅仅是复习的地位，它们还反映出了复习在整个学习的过程中所发挥的重要作用：一是通过复习，梳理旧知识. 在梳理这些旧知识的过程中，也许会对某些旧知识产生更深刻的体验，提升思考能力. 如果对某些旧知识有外延认识，联系到相关知识还能打开新的视野，提高自己的迁移能力和运用能力. 二是通过复习，可以为学习新知识做好准备. 在复习课中，通过对各类旧知识的再现、重组、巩固、深化，帮助学生查漏补缺、完善知识体系、掌握学习方法，从而为学习新知识打好基础.
由此可见，复习在整个教学的过程中都发挥着举足轻重的作用，特别是在初三阶段，而复习是否有效更将直接制约着教学的有效性. 但在当前的复习教学中，普遍存在着各种弊端和不足，这些都严重影响着复习课的有效性. 主要表现有：
1.复习教学中，很多教师往往只以“应试”为复习课的唯一目的，考什么，就复习什么. 在应试功利心的驱使下，教师逐渐忽视发展和关注学生的其他综合能力，长此以往，教师所制定和落实的整个复习课的目标就会与教育对学生综合能力发展的要求相违背. 不仅如此，学生也因为应试，在各种“题海”下，承担着过重的学业负担，逐渐丧失了学习的兴趣和信心.
2.复习教学中，教师缺少对复习策略和方法的精心准备. 要想做好复习课，首先教师自己课前得有一个完整的复习策略和知识复习系统. 如果自我准备不充分，那么复习课就会上成讲题课、押题课，缺乏知识的归纳和整理，更谈不上对学生思维能力和学习方法的指导与培养，只能就题论题，形成不了以点带面、由此及彼的效果. 这样只能造成一种结果，那就是学生得到的知识是零散的，无法形成知识面，遇到问题缺少分析和迁移的能力.
3.复习过程中，教师忽略对学生进行自主复习的指导. 或许出自于教师的“好心”，或许为了“提高”复习的效率，有的教师将知识直接整理归纳好后交给学生，告知学生只需记住即可. 在这个过程中，由于学生缺乏自主复习方法的指导，也没有自主建构和自我思索的经历，只能依葫芦画瓢，麻木地记录和记忆，使学生逐渐失去了学习自主性，最终导致学习成绩的不断降低.
4.复习过程中，复习资料选择不当或者过多过滥. 复习资料是整个复习过程中不可缺少的资源之一，但目前市场上复习资料品种繁多，如果教师不能指导学生对资料进行精选，不仅学生会陷于题海，忙于各种机械解题，教师也会苦于各种无功的批改，不但学生该解决的知识漏洞无法解决，教师和学生宝贵的复习时间也都通通浪费掉了.
以上各种在复习教学中常常出现的弊端和不足，不仅造成了复习效率的低下，使得有效复习不能实施，而且还严重阻碍了学生的综合能力发展.
思维导图对有效复习的作用
怎样才能使每个层次的学生都获得相应的发展？
怎样才能查漏补缺，培优助困？
怎样提高学生的学习积极性和自主性，让他们在学习中逐步掌握复习的策略和方法？
怎样根据不同的教学任务和教学内容选取合适的复习模式和教学策略，提高复习质量？
怎样将零散的数学知识串联成网，以点带面，帮助学生提高记忆能力？
平时教师很少注重复习课的教学，复习课中的知识仍是课本知识的线性结构，这些知识大部分学生已经掌握，没有新鲜感，容易觉得沉闷、枯燥；再者复习课中教师讲解比较快，如果对一些概念规律不太清楚，学生就会有困难，学生对知识点的掌握程度就会相差很大. 采用传统的思路，“复习基础知识——学生解题——教师点评——学生整理”的复习模式很难满足各层次学生的需求，复习效率就会很低.
思维导图形象、图文并茂，能让学生感觉耳目一新. 它是一种创造性的和有效的记笔记的方法，能够用文字将你的想法画出来，能够用图像将数学呈现出来，把一长串枯燥的信息变成彩色的、容易记忆的、有高度组织性的图画. 它是数学教学与学习中的一个有效工具，同样是复习旧知识，学生的兴趣却很大. 在小学阶段，数图结合已经是数学常用的思维方法之一了，比如线段导图、情境导图、几何导图等，都是利用生活中的实际形象去研究、分析题意，让复杂抽象的数量关系通过图形清晰、直观地呈现在读者面前，从而抓住问题的实质，达到解决问题的目的. 同时图形也为抽象思维和形象思维搭上了互通的桥梁，为共同发展铺了路. 到中学阶段后开始接触到了数形结合的思想方法，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休. ”“数形”一词，指的便是数量关系与图形，所以我们借助于思维导图，可以让一些抽象的数学概念和数学关系得以直观化、形象化、简单化；借助于数量关系，可以让思维导图的分析和结构得以严谨化.
思维导图作为一种新型的图形工具，不仅能够辅助学生进行思考，激活思维，而且能作为复习旧知识和学习新知识的有效新方法，直接应用于整个学习过程之中. 因为思维导图在使用时通过一个中央主题以树枝型向外连接其他关节点，每一个关节点又可以成为另一个中央主题，再向外发散其他关节点. 这种方式就像大脑中的神经元一样，所以它有利于学生快速调整思维，提升复习有效性.
图析数学，建构知识全景，让章末复习有效化
除进行考试外，使用思维导图进行知识扫描是目前已知的最有效的扫描个人知识的手段. 运用思维导图寻找到学生学习的中间地带，通过学习把中间地带转化为已掌握部分.
从认知角度看，知识由已经懂得的、不懂的、似懂非懂，知道一点却又知之不多的三部分组成. 学习的本质就是把不会的变成会的，把知之不多的变成知之较多的，把不知道的变成知道的，思维导图就能帮我们找到这个模糊的中间地带.
运用思维导图建立数学框架、知识脉络是非常重要的. 绘制思维导图时，尽可能地利用这些已有的脉络和框架， 按照知识的顺序去画，在整理导图分支时，要特别注意各分支之间的关联. 完成思维导图后，其涵盖的知识点会在大脑里留下非常深刻的印象.
整章上完后先让学生通览教材，然后绘制思维导图，同时教师要引导他们. 在绘制思维导图的过程中，多观察不同时期所学知识点的变化，多判断自己对同一知识点不同时期在认知上是否有所改变，多体会自己在画思维导图过程中的各种感受，多观察各知识之间的关系等. 通过这些引导，可以使学生在绘制思维导图的過程中，不断完善知识结构，发现一些平时并未注意到的漏洞和缺陷，甚至可能产生一些创新的理解和思维，达到创新性的学习目的.
由于“勾股定理”知识纷繁复杂，学生对其应用理解不清，因此，在进行复习时，让学生画出本章知识结构的思维导图，理清各种应用间的相互联系，构建知识全景图. 学生的复习思维导图如图1～图4.
在手绘思维导图的过程中，首先大脑将比平时学习做出更多思考，特别是针对整幅思维导图所呈现出的知识结构和内容，在绘制时，大脑便不得不针对有限的空间去思考和反思如何表现出重点词语和关键内容. 其次在手绘思维导图的过程中，由于思维导图的模式接近于大脑中的神经元，这使得神经链接更容易建立，为学生打造一种良好的思考模式和思考习惯——以点带面，由此及彼，那么相关内容在复习中就更容易得到巩固、掌握和内化了. 通过学生的思维导图，运用思维导图扫描个人知识，寻找中间地带，发现学生的知识结构存在的盲点问题，做出具体的指导和形成相应的教学方案，提升学习效率，从而做到关注各层次学生的成长.
思维导图最基本的价值是它培养和提高了学生学习的主动性，用思维导图能引领学生自己主动学习、主动思考. 思考主题、关键词的选择、分支知识的关系等等，任何一个环节都离开不了主动学习与思考.
思维导图不仅仅是一张图，它是学生对教材内容梳理和思考的结晶.
思维导图是有生命力的，当学生彼此分享思维导图时，它可以不断生长、变化. 从学生们的修改中（图5～图6），可以看到其思维变化过程. 通过思维导图将零碎的知识用图像结合文字，让其可视化，从而降低学生左脑负荷，帮助学生将分散的知识系统化、内在联系清晰化. 建构知识结构的全景图，能提高记忆与理解效率，让复习有效化.
运用思维导图进行有效复习的效果评价
思维导图的应用，让复杂、抽象的数学知识，可以通过直观、清晰的结构图来呈现，有了思维导图的辅助，不少学生对学习的毫无头绪变成有序可循. 思维导图的应用，让零散的知识变得系统了起来，薄弱的知识得到了强化，解决问题的能力得到了进一步提升. 要完成思维导图这个作业，需要认真阅读课本，可能还要查阅资料问爸爸妈妈等，学生学习的主动性也提高了. 原来几个不写作业的学生，有的是不会做，或是懒，嫌作业枯燥，而把思维导图作为一项作业，却次次都能完成，因为每个人的作业都是特别的，评价的标准也不是只有对和错，学生有了信心都很喜欢这样个性化的作业. 所以思维导图在帮助学生掌握知识、促进学生积极学习方面有很好的作用. 在“勾股定理”这章的学习后，经过同学们认真、系统地归纳、总结，建立章节知识网络，明显对这章内容的掌握比其他同类班级都好.
综上所述，思维导图通过筛选出只占信息总量很小的一部分信息，将繁多问题简化为一张图，清晰、分明、一目了然，充分发挥右脑“想象”“直觉”“跳跃思维”等能力，也正好体现了数学中数形结合的思想方法. 通过箭头、线条、图形、关键词等表达一个完整的、逻辑结构严密的知识结构，呈现出典型例题，让学生从繁多的错题和资料中解放出来，复习时手捧一张图纸就可以复习到位，举一反三，做到真正的减负.
[关键词] 思维导图；有效复习；勾股定理
数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，它具有高度的抽象性和逻辑严密性的特点. 很多人之所以认为数学很难学，除了数学对记忆、分析、判断、逻辑、运算等能力都有很高的要求之外，最主要的原因可能是因为它高度的抽象性. 在复习中，正是因为很多知识的抽象让学生很难掌握，而思维导图的出现可以让抽象变得具体，通过图形的转化，让那些原本抽象的数学知识简化了. 数学的第二大特点就是逻辑严密、知识具有系统性，学习数学就像玩多米诺骨牌游戏，如果摆放好的多米诺骨牌出现了一处失败，它影响的绝不仅仅是失败这一处，如果不及时把失败处重新摆放好，那么最后的结果只能是整个游戏的失败. 同样，数学中的某个知识点没有掌握好，很可能就会影响到后面其他知识的继续学习，就像多米诺骨牌一样，前面的失败造成后面的游戏无法继续进行下去. 而通过全景式的思维导图，学生便可以在短时间之内了解到自己必须掌握的数学知识内容，“扫描”出自己存在的不足之处，从而有针对性地弥补弱点. 因此，做好复习的思维导图，重新回归课本，理清知识点间的联系和典型例题，就不会“眉毛胡子一把抓”了. 下面以北師大版八年级上册“勾股定理”章末复习一课为例，从“有效复习的地位和作用”“思维导图对有效复习的作用”“图析数学，建构知识全景，让章末复习有效化”“运用思维导图进行有效复习的效果评价”四个角度对思维导图在数学章末复习有效运用进行阐述.
有效复习的地位和作用
一直以来，复习在中外的教学理论中都被列为教学过程中一个重要的教学环节，很多教学理论都在探讨如何通过复习全面达成教学目标，提高教学质量. 狄慈根曾说过这样一句话：“重复是学习之母”，孔子也说过“温故而知新”，这两句名言所体现出的不仅仅是复习的地位，它们还反映出了复习在整个学习的过程中所发挥的重要作用：一是通过复习，梳理旧知识. 在梳理这些旧知识的过程中，也许会对某些旧知识产生更深刻的体验，提升思考能力. 如果对某些旧知识有外延认识，联系到相关知识还能打开新的视野，提高自己的迁移能力和运用能力. 二是通过复习，可以为学习新知识做好准备. 在复习课中，通过对各类旧知识的再现、重组、巩固、深化，帮助学生查漏补缺、完善知识体系、掌握学习方法，从而为学习新知识打好基础.
由此可见，复习在整个教学的过程中都发挥着举足轻重的作用，特别是在初三阶段，而复习是否有效更将直接制约着教学的有效性. 但在当前的复习教学中，普遍存在着各种弊端和不足，这些都严重影响着复习课的有效性. 主要表现有：
1.复习教学中，很多教师往往只以“应试”为复习课的唯一目的，考什么，就复习什么. 在应试功利心的驱使下，教师逐渐忽视发展和关注学生的其他综合能力，长此以往，教师所制定和落实的整个复习课的目标就会与教育对学生综合能力发展的要求相违背. 不仅如此，学生也因为应试，在各种“题海”下，承担着过重的学业负担，逐渐丧失了学习的兴趣和信心.
2.复习教学中，教师缺少对复习策略和方法的精心准备. 要想做好复习课，首先教师自己课前得有一个完整的复习策略和知识复习系统. 如果自我准备不充分，那么复习课就会上成讲题课、押题课，缺乏知识的归纳和整理，更谈不上对学生思维能力和学习方法的指导与培养，只能就题论题，形成不了以点带面、由此及彼的效果. 这样只能造成一种结果，那就是学生得到的知识是零散的，无法形成知识面，遇到问题缺少分析和迁移的能力.
3.复习过程中，教师忽略对学生进行自主复习的指导. 或许出自于教师的“好心”，或许为了“提高”复习的效率，有的教师将知识直接整理归纳好后交给学生，告知学生只需记住即可. 在这个过程中，由于学生缺乏自主复习方法的指导，也没有自主建构和自我思索的经历，只能依葫芦画瓢，麻木地记录和记忆，使学生逐渐失去了学习自主性，最终导致学习成绩的不断降低.
4.复习过程中，复习资料选择不当或者过多过滥. 复习资料是整个复习过程中不可缺少的资源之一，但目前市场上复习资料品种繁多，如果教师不能指导学生对资料进行精选，不仅学生会陷于题海，忙于各种机械解题，教师也会苦于各种无功的批改，不但学生该解决的知识漏洞无法解决，教师和学生宝贵的复习时间也都通通浪费掉了.
以上各种在复习教学中常常出现的弊端和不足，不仅造成了复习效率的低下，使得有效复习不能实施，而且还严重阻碍了学生的综合能力发展.
思维导图对有效复习的作用
怎样才能使每个层次的学生都获得相应的发展？
怎样才能查漏补缺，培优助困？
怎样提高学生的学习积极性和自主性，让他们在学习中逐步掌握复习的策略和方法？
怎样根据不同的教学任务和教学内容选取合适的复习模式和教学策略，提高复习质量？
怎样将零散的数学知识串联成网，以点带面，帮助学生提高记忆能力？
平时教师很少注重复习课的教学，复习课中的知识仍是课本知识的线性结构，这些知识大部分学生已经掌握，没有新鲜感，容易觉得沉闷、枯燥；再者复习课中教师讲解比较快，如果对一些概念规律不太清楚，学生就会有困难，学生对知识点的掌握程度就会相差很大. 采用传统的思路，“复习基础知识——学生解题——教师点评——学生整理”的复习模式很难满足各层次学生的需求，复习效率就会很低.
思维导图形象、图文并茂，能让学生感觉耳目一新. 它是一种创造性的和有效的记笔记的方法，能够用文字将你的想法画出来，能够用图像将数学呈现出来，把一长串枯燥的信息变成彩色的、容易记忆的、有高度组织性的图画. 它是数学教学与学习中的一个有效工具，同样是复习旧知识，学生的兴趣却很大. 在小学阶段，数图结合已经是数学常用的思维方法之一了，比如线段导图、情境导图、几何导图等，都是利用生活中的实际形象去研究、分析题意，让复杂抽象的数量关系通过图形清晰、直观地呈现在读者面前，从而抓住问题的实质，达到解决问题的目的. 同时图形也为抽象思维和形象思维搭上了互通的桥梁，为共同发展铺了路. 到中学阶段后开始接触到了数形结合的思想方法，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休. ”“数形”一词，指的便是数量关系与图形，所以我们借助于思维导图，可以让一些抽象的数学概念和数学关系得以直观化、形象化、简单化；借助于数量关系，可以让思维导图的分析和结构得以严谨化.
思维导图作为一种新型的图形工具，不仅能够辅助学生进行思考，激活思维，而且能作为复习旧知识和学习新知识的有效新方法，直接应用于整个学习过程之中. 因为思维导图在使用时通过一个中央主题以树枝型向外连接其他关节点，每一个关节点又可以成为另一个中央主题，再向外发散其他关节点. 这种方式就像大脑中的神经元一样，所以它有利于学生快速调整思维，提升复习有效性.
图析数学，建构知识全景，让章末复习有效化
除进行考试外，使用思维导图进行知识扫描是目前已知的最有效的扫描个人知识的手段. 运用思维导图寻找到学生学习的中间地带，通过学习把中间地带转化为已掌握部分.
从认知角度看，知识由已经懂得的、不懂的、似懂非懂，知道一点却又知之不多的三部分组成. 学习的本质就是把不会的变成会的，把知之不多的变成知之较多的，把不知道的变成知道的，思维导图就能帮我们找到这个模糊的中间地带.
运用思维导图建立数学框架、知识脉络是非常重要的. 绘制思维导图时，尽可能地利用这些已有的脉络和框架， 按照知识的顺序去画，在整理导图分支时，要特别注意各分支之间的关联. 完成思维导图后，其涵盖的知识点会在大脑里留下非常深刻的印象.
整章上完后先让学生通览教材，然后绘制思维导图，同时教师要引导他们. 在绘制思维导图的过程中，多观察不同时期所学知识点的变化，多判断自己对同一知识点不同时期在认知上是否有所改变，多体会自己在画思维导图过程中的各种感受，多观察各知识之间的关系等. 通过这些引导，可以使学生在绘制思维导图的過程中，不断完善知识结构，发现一些平时并未注意到的漏洞和缺陷，甚至可能产生一些创新的理解和思维，达到创新性的学习目的.
由于“勾股定理”知识纷繁复杂，学生对其应用理解不清，因此，在进行复习时，让学生画出本章知识结构的思维导图，理清各种应用间的相互联系，构建知识全景图. 学生的复习思维导图如图1～图4.
在手绘思维导图的过程中，首先大脑将比平时学习做出更多思考，特别是针对整幅思维导图所呈现出的知识结构和内容，在绘制时，大脑便不得不针对有限的空间去思考和反思如何表现出重点词语和关键内容. 其次在手绘思维导图的过程中，由于思维导图的模式接近于大脑中的神经元，这使得神经链接更容易建立，为学生打造一种良好的思考模式和思考习惯——以点带面，由此及彼，那么相关内容在复习中就更容易得到巩固、掌握和内化了. 通过学生的思维导图，运用思维导图扫描个人知识，寻找中间地带，发现学生的知识结构存在的盲点问题，做出具体的指导和形成相应的教学方案，提升学习效率，从而做到关注各层次学生的成长.
思维导图最基本的价值是它培养和提高了学生学习的主动性，用思维导图能引领学生自己主动学习、主动思考. 思考主题、关键词的选择、分支知识的关系等等，任何一个环节都离开不了主动学习与思考.
思维导图不仅仅是一张图，它是学生对教材内容梳理和思考的结晶.
思维导图是有生命力的，当学生彼此分享思维导图时，它可以不断生长、变化. 从学生们的修改中（图5～图6），可以看到其思维变化过程. 通过思维导图将零碎的知识用图像结合文字，让其可视化，从而降低学生左脑负荷，帮助学生将分散的知识系统化、内在联系清晰化. 建构知识结构的全景图，能提高记忆与理解效率，让复习有效化.
运用思维导图进行有效复习的效果评价
思维导图的应用，让复杂、抽象的数学知识，可以通过直观、清晰的结构图来呈现，有了思维导图的辅助，不少学生对学习的毫无头绪变成有序可循. 思维导图的应用，让零散的知识变得系统了起来，薄弱的知识得到了强化，解决问题的能力得到了进一步提升. 要完成思维导图这个作业，需要认真阅读课本，可能还要查阅资料问爸爸妈妈等，学生学习的主动性也提高了. 原来几个不写作业的学生，有的是不会做，或是懒，嫌作业枯燥，而把思维导图作为一项作业，却次次都能完成，因为每个人的作业都是特别的，评价的标准也不是只有对和错，学生有了信心都很喜欢这样个性化的作业. 所以思维导图在帮助学生掌握知识、促进学生积极学习方面有很好的作用. 在“勾股定理”这章的学习后，经过同学们认真、系统地归纳、总结，建立章节知识网络，明显对这章内容的掌握比其他同类班级都好.
综上所述，思维导图通过筛选出只占信息总量很小的一部分信息，将繁多问题简化为一张图，清晰、分明、一目了然，充分发挥右脑“想象”“直觉”“跳跃思维”等能力，也正好体现了数学中数形结合的思想方法. 通过箭头、线条、图形、关键词等表达一个完整的、逻辑结构严密的知识结构，呈现出典型例题，让学生从繁多的错题和资料中解放出来，复习时手捧一张图纸就可以复习到位，举一反三，做到真正的减负.