特殊点的定义：在函数关系式中起特殊作用的点.一般说来，就是那些能使函数值为零的点，或者说能使函数值正负发生改变的点，亦即函数图像与横轴的交点；能使函数单调性发生改变的点，即极值点或最值点，亦即函数图像上最高点或最低点；区间或定义域的端点；两函数图像的交点.
　　特殊点在解题中有重要的作用:①函数单调性的分界点.②函数值或代数式值的正负的分界点.③两函数值比大小的参照点.
　　解题策略：结合函数图像和函数关系式，先找特殊点，再分析特殊点在问题中的作用，找到解题途径.
　　例1 已知函数f(x)=sinx-cosx(x∈R).
　　(1)若f(x)在x=x0处取得最大值，求f(x0)+f(2x0)+f(3x0)的值.
　　(2)若g(x)=ex(x∈R),求证：f(x)=g(x)在区间［0,+∞）内没有实数解.（参考数据：ln2=0.69,π≈3.14）
　　解 （1）略.
　　（2）易知f(x)=2sinx-π4.
　　从图像上可以看到，g(x)=ex在区间［0,+∞）内的图像上有最低点（0,1）.f(x)=2sinx-π4在区间［0,+∞）上有特殊点最低点（0,-1），零点π4,0,最高点3π4,2.
　　我们可以看出零点π4,0是一个非常重要的点，在它和原点之间，f(x)<0，g(x)＞0，此时有f(x)　　通过以上的分析可以看出该问题的证明分两步：先说明区间0,π4上f(x)<0，g(x)＞0，此时方程f(x)=g(x)无实数解；再说明在区间π4,+∞上g(x)min=eπ4,f(x)max=2,其次要说明eπ4＞2，就可以说明f(x)　　从该解题过程中，我们可以看到特殊点的作用.①零点π4,0以前f(x)<0，g(x)＞0；②零点π4,0以后f(x)　　例2 函数f(x)=x3-3tx+m(x∈R,m,t均为常数)是奇函数.
　　（1）求实数m的值和函数f(x)的图像与横轴的交点坐标.
　　（2）设g(x)=|f(x)|,x∈［-1,1］,求g(x)的最大值F(t).
　　解 （1）解法从略.(m=0),f(x)=x3-3tx.
　　（2）由于函数f(x)在区间［-1,1］上为奇函数,所以函数g(x)=|f(x)|为该区间［-1,1］上的偶函数,故只需考虑区间［0,1］上函数f(x)和g(x)的特性.求导,f′(x)=3x2-3t=3(x2-t).
　　当t≤0时，f′(x)≥0，∴f(x)在区间［0,1］上单调递增.又∵f(0)=0，∴f(x)≥0.故f(x)max=f(1)=1-3t（在该步骤中，点（0，0）和（1，f(1)）是特殊点，其中点（0，0）和单调递增决定了f(x)在［0,1］上大于等于零，其图像在x轴上方；点（1，f(1)）是该段图像的最高点，故函数在区间［0,1］上的最大值为f(1)=1-3t.
　　当t＞0时，f′(x)=3x2-3t=3(x2-t)=3（x-t）(x+t）,所以函数f(x)在区间［0,t］上单调递减,在区间［t,+∞］上单调递增.另外，在区间［0，+∞）上，函数f(x)=x3-3tx=x(x2-3t)=x(x+3t)(x-3t),此时f(x)的图像与横轴的交点坐标为（0，0），（3t，0）.
　　①当0　　②当0　　③当t≥1，即t≥1时，F（x）=3t-1. 故得结论（略）.
　　在该步骤中，点（0，0），（1,0）,（0,t），（3t，0）都是特殊点，其中点（0，0），（3t，0）是函数图像与x轴的交点，该两点可以改变函数值的正负；点（0,t）改变了函数的单调性；定点（1,0）是区间的端点；点（0,t）和（3t，0）是随t值改变而动的动点.它们可以都在区间［0,1］内，亦可以都在区间［0,1］外，也可以一个在区间［0,1］内，另一个在区间［0,1］外；这两个特殊点的变动，引起了函数单调区间长度的变化，同时引起了函数值正负的变化，及函数的图像在区间［0,1］上是否越过了x轴，从而为取绝对值做好了基础.当点（0,t）和（3t，0）都位于区间［0,1］内时，就要看点（t，f(t)）,(3t,f(3t))哪一个到x轴距离远，即就要比较-f(t)和f(3t)的大小.
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