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直觉思维是学习数学和创造数学必不可少的思维形式，是逻辑的飞跃和升华. 而且直觉思维能力是社会发展的需要，是适应新时期社会对人才的需求，所以我们要善待学生的数学直觉思维. 那么如何善待学生的数学直觉思维呢？本文就如何在教学实践中挖掘和培养学生的数学直觉思维谈谈几点体会.
一、善待学生的直觉思维，帮助学生打好扎实的基础
数学直觉是人脑对数学对象、结构以及关系的敏锐的想象和迅速的判断，而这种想象和判断事实上都要依靠过去的知识经验以及对有关知识本质的认识，从而达到从整体上把握问题的实质. 若没有深厚的功底，是不会迸发出思维的火花的. 在数学教学中我们应该告诫学生千万不要把“直觉”当做是凭空臆想、想当然、胡乱猜测，猜也是有根据的，要告诉学生，“没有苦思冥想就不会有灵机一动，直觉的灵感是勤劳和自信的产物”. 因此，学生理解和掌握数学的基本知识和基本方法是培养直觉思维的基础，扎实的基础为直觉思维提供了源泉.
例１ 观察反比例函数ｙ ＝的图像，回答下列问题：
（１） 写出Ａ１和Ａ２的坐标.
Ａ１ （２， ）和Ａ２ （－２， ）
（２） 分别过点Ａ１和Ａ２作x轴的垂线，垂足分别是Ｂ１和Ｂ２，则下列说法正确吗？为什么？
① ＯＡ１ ＝ ＯＡ２.
②∠Ａ１ＯＢ１ ＝ ∠Ａ２ＯＢ２.
③ 点Ａ１，Ｏ，Ａ２在同一条直线上.
本题对于初学函数的学生来说，有一定的难度，他们对于函数比较熟悉的是由已知条件利用待定系数法求解析式，进而求出函数值，而对于数形结合则比较陌生. 此时，我们只要启发学生从要说明的几何形式的结论出发，或从Ａ１和Ａ２两点的坐标特点分析，前者是图中存在的两个三角形的边和角，而通过三角形全等证明边和角相等是学生知识储备中的基础，只要具备了这一知识，本题就极易解决了；若从坐标特点来看，只要具备轴对称（尚未学中心对称）知识，把ＯＡ１关于x轴和y轴进行两次轴对称变换就能得到ＯＡ２，问题也就解决了. 进而可向学生渗透数形结合是解决函数题最常用的一种数学方法.
上例是“数形结合”法的应用，中学数学有许多这样的方法，如待定系数法、配方法、换元法等.数学教学中应注意把数学知识所揭示的本质规律提炼到方法的高度，这样有助于学生对知识和方法的真正理解与掌握，也为直觉的产生打下牢固的基础.
二、善待学生的直觉思维，帮助学生形成知识组块，以培养直觉的敏锐性
数学中有许多含有较多信息量的基本图形、模式、方法，在解决问题时反复运用这些知识和方法，使得它们之间的联结得以加强，形成一个个知识组块. 这些知识组块经过反复运用，从显意识不同程度地转入潜意识贮存在记忆系统中，当遇到有关问题时，便能迅速联想起知识组块，直觉敏锐地进行识别、分析，形成对问题的整体综合判断，从而得到解题方法和思路.
例如，二元一次方程（方程组），二元一次不等式和函数是初中数学的一个重要的基础知识，它们形成了一个知识组块，只有在熟练地掌握了上述各个知识点之后，才能互相转化，运用自如.
例２ 若直线ｙ ＝ ２ｘ － ５，ｙ ＝ ｘ ＋ ｋ的交点在第三象限，求k的取值范围.
例2中直线的交点是几何问题，但必须用方程组知识来解决，函数图像的交点坐标就是相对应方程组的解，因此，交点坐标需用ｙ ＝ ２ｘ － 5与ｙ ＝ ｘ ＋ ｋ所构成的方程组的解来表示，然后利用第三象限的点的坐标特征x ＜ ０， ｙ ＜ ０转化成不等式组来解决，有一定的难度.
在某些场合，这些观点与方法便能发挥作用. 这样的知识组块还有很多，在教学中教师要善于引导学生自己总结、归纳. 事实证明，学生是否善于联想，能否准确、迅速地把握解题的方向和方法，很大程度上取决于他所掌握的知识组块的数量及其运用的熟练程度. 因此，发现、归纳、运用知识是训练直觉思维的知识基础.
三、善待学生的直觉思维，鼓励学生大胆猜想，以形成朦胧的直觉
数学猜想是依据某些数学知识和已知事实，对未知量及其关系作出的推断，是科学假说在数学中的体现，是一种探索性思维. 在数学中，对一些命题的结论暂不揭示，让学生通过观察、联想、类比、特殊化等方法，凭直觉进行数学猜想，然后加以验证，是发展直觉思维能力的必要手段.“预见结论，途径便可以有的放矢”，所以，加强数学猜想的训练对提高学生的直觉思维能力是十分有益的. 因此，在给学生分析实际数学问题时，教师不妨向学生剖析自己的解题心理，曾经对问题所作的猜测，以此开启学生的思路，引导学生凭敏锐的直觉、深刻的洞察力进行大胆的猜测.
例３ 自然数从１连续加到１００或更进一步加到数ｎ等于多少？
分析 首先创设情境：
1 + 2 = 2 × ；1 + 2 + 3 = 3 ×；1 + 2 + 3 + 4 = 4 ×，1 + 2 + 3 + … + 100 = 100 ×；
然后提出课题过渡到第二步，进行假设和猜想：
1 + 2 + 3 + … + n = n ×.
然后激励学生探究为什么？通过观察，学生发现１ ＋ １００ ＝ １０１，２ ＋ ９９ ＝ １０1，…，５５ ＋ ５６ = １０１，其中共有 ＝ ５０个１０１，上述猜想成立，推导出结论. 最后引导学生总结规律，进而加以推广应用. 例如：求２ ＋ ３ ＋ ４ ＋ … ＋ ｎ ＝ ？２ ＋ ４ ＋ ６ ＋ … ＋ ２ｎ ＝ ？等等.
学生在学习过程中经常出现的这些直觉思维，有时表现为一种应急反应，有时表现为突然提出怪问题，产生一些不合乎逻辑的想法，自然也有失误的时候，错的不是思维本身，而往往是缘于自身的知识储备和思维能力还不够丰富、不够完善，此时，千万不要打击学生的积极性. 直觉思维不太可靠，却难能可贵，应当鼓励学生去寻找猜错的原因，这也是一种学习，一种进步，因为数学猜想本身对发展创造性思维就具有积极的实践意义，不然的话，就会扼杀学生的数学直觉思维能力. 从某种意义上讲，培养学生敢于猜想、善于探索的思维习惯是形成数学直觉，从而发展学生的数学思维并获得数学发现的基本素质.
四、善待学生的直觉思维，教师反思自己的教学，培养思维的目的性
善待学生的直觉思维，有利于教师根据反馈的信息有针对性地处理教学进度和程序，有利于根据学生的思维调整教学方法和手段总结教学规律，并进一步培养学生解题思维的目的性.
在学习了《同底数幂相乘》后，教师出示了两道题：
①（ａ ＋ ｂ）３•（ａ ＋ ｂ）；② ｙ３ ＋ ｙ３.学生的错误率非常高，教师难免心中有火：这么笨，一点不知道转弯. 其实，此时我们冷静下来，善待学生的直觉思维，反思自己的教学. 如果在这堂课教学中关注两个条件关键词：同底数幂、相乘，两个策略关键词：底数不变，指数相加.学生在做题前就会先思考题目条件，再思考解题策略，学生的解题会更有针对性，思维会更有目的性.
所以在教二次根式的性质时教师应充分让学生经历自主探究、合作交流的过程，从而形成较为稳固的知识基础，在此基础上学生的直觉思维会越来越强烈，越来越完善.
五、善待学生的直觉思维，充分暴露学生的思维过程，提高思维的深刻性、广阔性和灵活性
初中阶段，学生对问题的思维大多是形象思维与直觉思维. 在数学活动中学生的直觉思维是很活跃的，这些直觉思维有些是正确的，但是很多是不正确的. 教师要善待学生的直觉思维，给学生暴露思维过程的机会，以提高学生思维的深刻性、广阔性和灵活性.
如图是一个边长为１分米的正方体铁丝框，蚂蚁在Ａ处，它想吃Ｂ处的一粒蜜糖，最短的路程是多少？
学生凭借直觉思维马上回答出是３分米，并且还说出了各条可能的路线，快而准确. 此时教师应高度赞赏及时表扬，促进学生思考灵活性与广阔性的养成.
如果把正方体铁丝框改成正方体纸盒，从Ａ到Ｂ的最短路程又是多少呢？又有几条路线呢？
下面是几名学生的直觉思维：
生１：３分米；蚂蚁从Ａ→Ｃ２→Ｃ１→Ｂ.
生２：（+ 1）分米；蚂蚁从 Ａ→Ｃ１→Ｂ.
生３：（+ 1）分米；蚂蚁从 Ａ→Ｃ２→Ｂ.
生４：（+ 1）分米；蚂蚁从Ａ→Ｃ３→Ｂ.
没有一名学生答对. 对于这类题目学生的直觉往往会犯错误，但教师要呵护学生的这些直觉思维，可通过让学生拿着绳子去试一试，量一量，使学生在充分探索、合作交流的过程中，反思自己的思维，最后在教师的帮助下形成解这类题的思维：用化立体为平面的化归思想，并且这种化归思想可进行推广. 通过对比两道题，正确对待、分析学生对这两道题的直觉想象，提高思维的深刻性、广阔性和灵活性，对学生的终身思维都有一定的价值.
数学是一门严谨的学科，许多直觉洞察的空隙必须要用逻辑推理来填补. 对于直觉与非形式的强调是无可非议的，但是我们并不能以此去取代数学证明，而只能作为后者的必要补充；而“如果在解决问题的过程中总是满足于不加证明的猜测，他们很快就会忘记在猜测与证明之间的区分”，而后者甚至可以说比根本不知道如何去解决问题更糟. 直觉思维与逻辑思维同等重要，偏离任何一方都会制约一个人思维能力的发展，伊思•斯图尔特曾经说过这样一句话，“数学的全部力量就在于直觉和严格性巧妙地结合在一起，受控制的精神和富有灵感的逻辑”. 受控制的精神和富有美感的逻辑正是数学的魅力所在，也是数学教育者努力的方向. 在数学教学中，只有在加强逻辑思维训练的同时，善待我们学生的直觉思维，注重直觉思维能力的培养，才能培养出现代科技发展需要的开拓型人才.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
一、善待学生的直觉思维，帮助学生打好扎实的基础
数学直觉是人脑对数学对象、结构以及关系的敏锐的想象和迅速的判断，而这种想象和判断事实上都要依靠过去的知识经验以及对有关知识本质的认识，从而达到从整体上把握问题的实质. 若没有深厚的功底，是不会迸发出思维的火花的. 在数学教学中我们应该告诫学生千万不要把“直觉”当做是凭空臆想、想当然、胡乱猜测，猜也是有根据的，要告诉学生，“没有苦思冥想就不会有灵机一动，直觉的灵感是勤劳和自信的产物”. 因此，学生理解和掌握数学的基本知识和基本方法是培养直觉思维的基础，扎实的基础为直觉思维提供了源泉.
例１ 观察反比例函数ｙ ＝的图像，回答下列问题：
（１） 写出Ａ１和Ａ２的坐标.
Ａ１ （２， ）和Ａ２ （－２， ）
（２） 分别过点Ａ１和Ａ２作x轴的垂线，垂足分别是Ｂ１和Ｂ２，则下列说法正确吗？为什么？
① ＯＡ１ ＝ ＯＡ２.
②∠Ａ１ＯＢ１ ＝ ∠Ａ２ＯＢ２.
③ 点Ａ１，Ｏ，Ａ２在同一条直线上.
本题对于初学函数的学生来说，有一定的难度，他们对于函数比较熟悉的是由已知条件利用待定系数法求解析式，进而求出函数值，而对于数形结合则比较陌生. 此时，我们只要启发学生从要说明的几何形式的结论出发，或从Ａ１和Ａ２两点的坐标特点分析，前者是图中存在的两个三角形的边和角，而通过三角形全等证明边和角相等是学生知识储备中的基础，只要具备了这一知识，本题就极易解决了；若从坐标特点来看，只要具备轴对称（尚未学中心对称）知识，把ＯＡ１关于x轴和y轴进行两次轴对称变换就能得到ＯＡ２，问题也就解决了. 进而可向学生渗透数形结合是解决函数题最常用的一种数学方法.
上例是“数形结合”法的应用，中学数学有许多这样的方法，如待定系数法、配方法、换元法等.数学教学中应注意把数学知识所揭示的本质规律提炼到方法的高度，这样有助于学生对知识和方法的真正理解与掌握，也为直觉的产生打下牢固的基础.
二、善待学生的直觉思维，帮助学生形成知识组块，以培养直觉的敏锐性
数学中有许多含有较多信息量的基本图形、模式、方法，在解决问题时反复运用这些知识和方法，使得它们之间的联结得以加强，形成一个个知识组块. 这些知识组块经过反复运用，从显意识不同程度地转入潜意识贮存在记忆系统中，当遇到有关问题时，便能迅速联想起知识组块，直觉敏锐地进行识别、分析，形成对问题的整体综合判断，从而得到解题方法和思路.
例如，二元一次方程（方程组），二元一次不等式和函数是初中数学的一个重要的基础知识，它们形成了一个知识组块，只有在熟练地掌握了上述各个知识点之后，才能互相转化，运用自如.
例２ 若直线ｙ ＝ ２ｘ － ５，ｙ ＝ ｘ ＋ ｋ的交点在第三象限，求k的取值范围.
例2中直线的交点是几何问题，但必须用方程组知识来解决，函数图像的交点坐标就是相对应方程组的解，因此，交点坐标需用ｙ ＝ ２ｘ － 5与ｙ ＝ ｘ ＋ ｋ所构成的方程组的解来表示，然后利用第三象限的点的坐标特征x ＜ ０， ｙ ＜ ０转化成不等式组来解决，有一定的难度.
在某些场合，这些观点与方法便能发挥作用. 这样的知识组块还有很多，在教学中教师要善于引导学生自己总结、归纳. 事实证明，学生是否善于联想，能否准确、迅速地把握解题的方向和方法，很大程度上取决于他所掌握的知识组块的数量及其运用的熟练程度. 因此，发现、归纳、运用知识是训练直觉思维的知识基础.
三、善待学生的直觉思维，鼓励学生大胆猜想，以形成朦胧的直觉
数学猜想是依据某些数学知识和已知事实，对未知量及其关系作出的推断，是科学假说在数学中的体现，是一种探索性思维. 在数学中，对一些命题的结论暂不揭示，让学生通过观察、联想、类比、特殊化等方法，凭直觉进行数学猜想，然后加以验证，是发展直觉思维能力的必要手段.“预见结论，途径便可以有的放矢”，所以，加强数学猜想的训练对提高学生的直觉思维能力是十分有益的. 因此，在给学生分析实际数学问题时，教师不妨向学生剖析自己的解题心理，曾经对问题所作的猜测，以此开启学生的思路，引导学生凭敏锐的直觉、深刻的洞察力进行大胆的猜测.
例３ 自然数从１连续加到１００或更进一步加到数ｎ等于多少？
分析 首先创设情境：
1 + 2 = 2 × ；1 + 2 + 3 = 3 ×；1 + 2 + 3 + 4 = 4 ×，1 + 2 + 3 + … + 100 = 100 ×；
然后提出课题过渡到第二步，进行假设和猜想：
1 + 2 + 3 + … + n = n ×.
然后激励学生探究为什么？通过观察，学生发现１ ＋ １００ ＝ １０１，２ ＋ ９９ ＝ １０1，…，５５ ＋ ５６ = １０１，其中共有 ＝ ５０个１０１，上述猜想成立，推导出结论. 最后引导学生总结规律，进而加以推广应用. 例如：求２ ＋ ３ ＋ ４ ＋ … ＋ ｎ ＝ ？２ ＋ ４ ＋ ６ ＋ … ＋ ２ｎ ＝ ？等等.
学生在学习过程中经常出现的这些直觉思维，有时表现为一种应急反应，有时表现为突然提出怪问题，产生一些不合乎逻辑的想法，自然也有失误的时候，错的不是思维本身，而往往是缘于自身的知识储备和思维能力还不够丰富、不够完善，此时，千万不要打击学生的积极性. 直觉思维不太可靠，却难能可贵，应当鼓励学生去寻找猜错的原因，这也是一种学习，一种进步，因为数学猜想本身对发展创造性思维就具有积极的实践意义，不然的话，就会扼杀学生的数学直觉思维能力. 从某种意义上讲，培养学生敢于猜想、善于探索的思维习惯是形成数学直觉，从而发展学生的数学思维并获得数学发现的基本素质.
四、善待学生的直觉思维，教师反思自己的教学，培养思维的目的性
善待学生的直觉思维，有利于教师根据反馈的信息有针对性地处理教学进度和程序，有利于根据学生的思维调整教学方法和手段总结教学规律，并进一步培养学生解题思维的目的性.
在学习了《同底数幂相乘》后，教师出示了两道题：
①（ａ ＋ ｂ）３•（ａ ＋ ｂ）；② ｙ３ ＋ ｙ３.学生的错误率非常高，教师难免心中有火：这么笨，一点不知道转弯. 其实，此时我们冷静下来，善待学生的直觉思维，反思自己的教学. 如果在这堂课教学中关注两个条件关键词：同底数幂、相乘，两个策略关键词：底数不变，指数相加.学生在做题前就会先思考题目条件，再思考解题策略，学生的解题会更有针对性，思维会更有目的性.
所以在教二次根式的性质时教师应充分让学生经历自主探究、合作交流的过程，从而形成较为稳固的知识基础，在此基础上学生的直觉思维会越来越强烈，越来越完善.
五、善待学生的直觉思维，充分暴露学生的思维过程，提高思维的深刻性、广阔性和灵活性
初中阶段，学生对问题的思维大多是形象思维与直觉思维. 在数学活动中学生的直觉思维是很活跃的，这些直觉思维有些是正确的，但是很多是不正确的. 教师要善待学生的直觉思维，给学生暴露思维过程的机会，以提高学生思维的深刻性、广阔性和灵活性.
如图是一个边长为１分米的正方体铁丝框，蚂蚁在Ａ处，它想吃Ｂ处的一粒蜜糖，最短的路程是多少？
学生凭借直觉思维马上回答出是３分米，并且还说出了各条可能的路线，快而准确. 此时教师应高度赞赏及时表扬，促进学生思考灵活性与广阔性的养成.
如果把正方体铁丝框改成正方体纸盒，从Ａ到Ｂ的最短路程又是多少呢？又有几条路线呢？
下面是几名学生的直觉思维：
生１：３分米；蚂蚁从Ａ→Ｃ２→Ｃ１→Ｂ.
生２：（+ 1）分米；蚂蚁从 Ａ→Ｃ１→Ｂ.
生３：（+ 1）分米；蚂蚁从 Ａ→Ｃ２→Ｂ.
生４：（+ 1）分米；蚂蚁从Ａ→Ｃ３→Ｂ.
没有一名学生答对. 对于这类题目学生的直觉往往会犯错误，但教师要呵护学生的这些直觉思维，可通过让学生拿着绳子去试一试，量一量，使学生在充分探索、合作交流的过程中，反思自己的思维，最后在教师的帮助下形成解这类题的思维：用化立体为平面的化归思想，并且这种化归思想可进行推广. 通过对比两道题，正确对待、分析学生对这两道题的直觉想象，提高思维的深刻性、广阔性和灵活性，对学生的终身思维都有一定的价值.
数学是一门严谨的学科，许多直觉洞察的空隙必须要用逻辑推理来填补. 对于直觉与非形式的强调是无可非议的，但是我们并不能以此去取代数学证明，而只能作为后者的必要补充；而“如果在解决问题的过程中总是满足于不加证明的猜测，他们很快就会忘记在猜测与证明之间的区分”，而后者甚至可以说比根本不知道如何去解决问题更糟. 直觉思维与逻辑思维同等重要，偏离任何一方都会制约一个人思维能力的发展，伊思•斯图尔特曾经说过这样一句话，“数学的全部力量就在于直觉和严格性巧妙地结合在一起，受控制的精神和富有灵感的逻辑”. 受控制的精神和富有美感的逻辑正是数学的魅力所在，也是数学教育者努力的方向. 在数学教学中，只有在加强逻辑思维训练的同时，善待我们学生的直觉思维，注重直觉思维能力的培养，才能培养出现代科技发展需要的开拓型人才.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”