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开放性的数学问题是一种数学思维的载体,是学生开展研究性学习的十分重要的方面。作为数学的一种新题型,它主要是相对于传统的封闭式的题型而言的,但不是说传统的题型不重要,而是我们知道学习数学不只是能理解、能记忆,更重要的是一种数学思维习惯的培养,创新意识和创新能力的培养;是一种积极参与、独立思考和动手实践的兴趣的培养。其目的是促进学生素质的全面提高。它是学好数学的源泉和力量,是一种新的教育理念的具体体现。
一、理解开放思想,形成开放意识
(一)把开放性问题答案得出的整个探究过程作为学生学习的目的
“标准答案”是以前在设计问题时必须考虑的问题,没有标准答案就认为没有标准尺度,要求学生的答案和设计者的“标准答案”相同。而开放题的设计则要抛弃前面的“条条框框”,着重于精心设计问题的探究过程,要求问题设计应考虑到怎样运用数学思想方法,采取怎样的解题策略和手段,对问题作出怎样的变式和深化探究,探究过程对解题者素质的提高有怎样的促进作用等。即开放性问题的设计着眼于解题的过程,以过程中“能力”的培养作为出发点,以过程中解题者素质的提高为根本目的。
例如,剖析“线段的垂直平分线”的定义时,应着力分析这一概念的形成结构,真正理解它的内涵:(1)它是一条直线;(2)这条直线过线段的中点;(3)这条直线垂直于这条线段。其中(1)指出了它“是什么”图形,(2)、(3)才指出它是“怎样的”图形。在此基础上,举例明确其外延:“过线段中点的直线一定是线段的垂直平分线吗”,“和线段垂直的直线一定是线段的垂直平分线吗”,“线段的垂直平分线有多少条”等问题。在开放性的环境中积极辨析和理解,使其深刻认识本质特征。
(二)把开放性问题的引进作为学生研究性学习和创新意识的培养
教师让学生学会用现成的方法来分析解决问题还远远不够,更应该让学生学会学习,要能主动探究,及时发现新问题,得出解决问题的新思路和新方法。这才是学习的更高境界。因此要有一种创新意识、创新思维和实践能力,只有这样才能适应现代社会的需要。比如,可以设置这样的问题:一个唱片商店有60张唱片,其中30张硬唱片,1元2张;另外30张软唱片1元3张。一天,这60张唱片卖完了,总共获得25元。第二天,老板又拿出60张这样的唱片,他想:这30张是1元2张,另外30张是1元3张,何不放在一起,2元卖5张呢?这一天60张唱片全按2元5张卖完了。可是老板算钱的时候才发现只卖了24元钱,而不是25元。这1元钱到哪里去了呢?请你把它找出来。
教师要用富有激情的语言来激发学生积极探索,调动思维的主动性和积极性,培养学生敢想、敢说、敢创的精神。
(三)把开放性问题作为学生创造性和个性的培养,使不同的人在学习上得到不同的发展,让他们在自主探究合作交流中受益
要正视学生之间的差异性,如接受能力的差异、思维能力的差异、操作能力的差异、表达能力的差异等,不应追求强制性的统一。即每一个学生在学习过程中都应有一定的自主性。教师应采用开放性较强的、自由度较大的,能发挥其积极性和创造性的题型,使每个学生在学习过程中能充分体现自己的优势和特长,深刻体会到学习的意义和自身的价值。比如,可以设计这样的一道习题:已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(c,o)……求证这个二次函数的图象关于直线x=2对称。(其中省略号部分是一段被墨水污染了,无法辨认的文字)(1)根据有关信息,你认为题中二次函数可能具有哪些性质? (2)请你把这道题补充完整。这道题开放性较强,能充分使学生表现自己的个性。让学生们讨论合作,在交流中取长补短,也能培养他们的合作精神,让他们在交流合作中得到更大的进步。
二、把握开放思想,设计开放性问题
(一)从传统的封闭型问题中设计开放型问题
开放题常从原题型中改变命题结构和设问方式,增强问题的探索性及解决问题的多角度性,对命题赋予新的解释,进而形成和发现新的问题。教师应充分挖掘教材中蕴涵的创造性因素,使它们成为既系统掌握知识,训练解题策略,又强化各种能力,特别是灵活运用能力和创新能力。
(二)从实际的生活及相关的知识中设计开放型问题
开放型问题的构建主要是两方面,一是问题本身的开放而获得新问题,二是问题解法的开放而获得新思路。根据“结构、关系、顺序”,可以构建开放性问题。学生经历将实际问题转化为数学模型,培养其发散性思维和逻辑思维能力。
(三)从本身具有一定开放性的问题中设计开放型问题
德国教育家第斯多惠说过:“一个好的设计者要设计问题不是让人感受到具有确定性的、呆板的,而是要有一定的探讨性的问题才是真正的问题。”根据问题的特征,在学生学习的相关学科和已有的生活经验知识水平中,从不同的角度赋予不同的涵义。再看这样一道题目:请用实际例子说明y=10+2x,x∈[0,5)20,x∈[5,10)40-2x,x∈[10,20]所表示的意义。这道题目可从物理、经济等角度,给变量赋予不同的内涵。例如:
1.x表示时间(单位:s),y表示速度(单位:m/s),开始计时后质点以10m/s的初速度作匀加速运动,加速度为2m/s2,5秒钟后质点以20m/s的速度作匀速运动,10秒钟后质点以-2m/s2的加速度作匀减速运动,直到质点运动到20秒末停下。
2.季节性服饰在当季即将到来之时,价格呈上升趋势,设某服饰开始时定价为10元,并且每周(7天)涨价2元,5周后开始保持20元的价格平稳销售,10周后当季即将过去,平均每周削价2元,直到20周末该服饰不再销售。
本题给出了上述函数的两种实际意义,使学生体会到数学现象的一般性和背景的多样性,这是对问题理解的开放性。
三、运用开放思想,解决实际问题,从中渗透道德教育
《新课标》指出:“……从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程,进而使学生获得对数学理解的同时,在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。” 根据数学自身的特征,在开放性问题的教学中赋予道德教育是本学科教育意义之一。我们来看下面这个题目:“龙之游,人之居”的龙游城区的发展日新月异。前段时间龙游城区的出租车收费标准是:当路程不超过1.5公里时,收起步价为3元;当路程超过1.5公里不超过5公里时超过部分按0.7元/公里计算;(不足1公里按1公里计算)当路程超过5公里超过部分按1.2元/公里计算;(不足1公里按1公里计算)夜22点到第二天早上5点加收25%。某旅客想利用中途换车的方式以节省费用。你认为有这个可能性吗?若能,其费用是多少?让学生在思考过程中引起认知上的冲突,从而激起他们想方设法地去探索问题的欲望。同时,熏陶情操,潜移默化地培养学生热爱家乡、热爱生活、热爱社会主义的情感。
数学教学的本质是“思维过程”。注重开放性的数学问题的教学,强化学生开放性思维的意识,重视开放性问题的思维能力的培养,这样不仅利于培养学生的能力,而且有利于激发学生的积极思维,优化学生的思维品质,提高学生的全面素质。
一、理解开放思想,形成开放意识
(一)把开放性问题答案得出的整个探究过程作为学生学习的目的
“标准答案”是以前在设计问题时必须考虑的问题,没有标准答案就认为没有标准尺度,要求学生的答案和设计者的“标准答案”相同。而开放题的设计则要抛弃前面的“条条框框”,着重于精心设计问题的探究过程,要求问题设计应考虑到怎样运用数学思想方法,采取怎样的解题策略和手段,对问题作出怎样的变式和深化探究,探究过程对解题者素质的提高有怎样的促进作用等。即开放性问题的设计着眼于解题的过程,以过程中“能力”的培养作为出发点,以过程中解题者素质的提高为根本目的。
例如,剖析“线段的垂直平分线”的定义时,应着力分析这一概念的形成结构,真正理解它的内涵:(1)它是一条直线;(2)这条直线过线段的中点;(3)这条直线垂直于这条线段。其中(1)指出了它“是什么”图形,(2)、(3)才指出它是“怎样的”图形。在此基础上,举例明确其外延:“过线段中点的直线一定是线段的垂直平分线吗”,“和线段垂直的直线一定是线段的垂直平分线吗”,“线段的垂直平分线有多少条”等问题。在开放性的环境中积极辨析和理解,使其深刻认识本质特征。
(二)把开放性问题的引进作为学生研究性学习和创新意识的培养
教师让学生学会用现成的方法来分析解决问题还远远不够,更应该让学生学会学习,要能主动探究,及时发现新问题,得出解决问题的新思路和新方法。这才是学习的更高境界。因此要有一种创新意识、创新思维和实践能力,只有这样才能适应现代社会的需要。比如,可以设置这样的问题:一个唱片商店有60张唱片,其中30张硬唱片,1元2张;另外30张软唱片1元3张。一天,这60张唱片卖完了,总共获得25元。第二天,老板又拿出60张这样的唱片,他想:这30张是1元2张,另外30张是1元3张,何不放在一起,2元卖5张呢?这一天60张唱片全按2元5张卖完了。可是老板算钱的时候才发现只卖了24元钱,而不是25元。这1元钱到哪里去了呢?请你把它找出来。
教师要用富有激情的语言来激发学生积极探索,调动思维的主动性和积极性,培养学生敢想、敢说、敢创的精神。
(三)把开放性问题作为学生创造性和个性的培养,使不同的人在学习上得到不同的发展,让他们在自主探究合作交流中受益
要正视学生之间的差异性,如接受能力的差异、思维能力的差异、操作能力的差异、表达能力的差异等,不应追求强制性的统一。即每一个学生在学习过程中都应有一定的自主性。教师应采用开放性较强的、自由度较大的,能发挥其积极性和创造性的题型,使每个学生在学习过程中能充分体现自己的优势和特长,深刻体会到学习的意义和自身的价值。比如,可以设计这样的一道习题:已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(c,o)……求证这个二次函数的图象关于直线x=2对称。(其中省略号部分是一段被墨水污染了,无法辨认的文字)(1)根据有关信息,你认为题中二次函数可能具有哪些性质? (2)请你把这道题补充完整。这道题开放性较强,能充分使学生表现自己的个性。让学生们讨论合作,在交流中取长补短,也能培养他们的合作精神,让他们在交流合作中得到更大的进步。
二、把握开放思想,设计开放性问题
(一)从传统的封闭型问题中设计开放型问题
开放题常从原题型中改变命题结构和设问方式,增强问题的探索性及解决问题的多角度性,对命题赋予新的解释,进而形成和发现新的问题。教师应充分挖掘教材中蕴涵的创造性因素,使它们成为既系统掌握知识,训练解题策略,又强化各种能力,特别是灵活运用能力和创新能力。
(二)从实际的生活及相关的知识中设计开放型问题
开放型问题的构建主要是两方面,一是问题本身的开放而获得新问题,二是问题解法的开放而获得新思路。根据“结构、关系、顺序”,可以构建开放性问题。学生经历将实际问题转化为数学模型,培养其发散性思维和逻辑思维能力。
(三)从本身具有一定开放性的问题中设计开放型问题
德国教育家第斯多惠说过:“一个好的设计者要设计问题不是让人感受到具有确定性的、呆板的,而是要有一定的探讨性的问题才是真正的问题。”根据问题的特征,在学生学习的相关学科和已有的生活经验知识水平中,从不同的角度赋予不同的涵义。再看这样一道题目:请用实际例子说明y=10+2x,x∈[0,5)20,x∈[5,10)40-2x,x∈[10,20]所表示的意义。这道题目可从物理、经济等角度,给变量赋予不同的内涵。例如:
1.x表示时间(单位:s),y表示速度(单位:m/s),开始计时后质点以10m/s的初速度作匀加速运动,加速度为2m/s2,5秒钟后质点以20m/s的速度作匀速运动,10秒钟后质点以-2m/s2的加速度作匀减速运动,直到质点运动到20秒末停下。
2.季节性服饰在当季即将到来之时,价格呈上升趋势,设某服饰开始时定价为10元,并且每周(7天)涨价2元,5周后开始保持20元的价格平稳销售,10周后当季即将过去,平均每周削价2元,直到20周末该服饰不再销售。
本题给出了上述函数的两种实际意义,使学生体会到数学现象的一般性和背景的多样性,这是对问题理解的开放性。
三、运用开放思想,解决实际问题,从中渗透道德教育
《新课标》指出:“……从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程,进而使学生获得对数学理解的同时,在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。” 根据数学自身的特征,在开放性问题的教学中赋予道德教育是本学科教育意义之一。我们来看下面这个题目:“龙之游,人之居”的龙游城区的发展日新月异。前段时间龙游城区的出租车收费标准是:当路程不超过1.5公里时,收起步价为3元;当路程超过1.5公里不超过5公里时超过部分按0.7元/公里计算;(不足1公里按1公里计算)当路程超过5公里超过部分按1.2元/公里计算;(不足1公里按1公里计算)夜22点到第二天早上5点加收25%。某旅客想利用中途换车的方式以节省费用。你认为有这个可能性吗?若能,其费用是多少?让学生在思考过程中引起认知上的冲突,从而激起他们想方设法地去探索问题的欲望。同时,熏陶情操,潜移默化地培养学生热爱家乡、热爱生活、热爱社会主义的情感。
数学教学的本质是“思维过程”。注重开放性的数学问题的教学,强化学生开放性思维的意识,重视开放性问题的思维能力的培养,这样不仅利于培养学生的能力,而且有利于激发学生的积极思维,优化学生的思维品质,提高学生的全面素质。