【摘 要】从数字到未知量的过渡，是小学数学过渡到初中数学的一个具体体现。从数字到未知量的变化，本质也是数学模型化的过程。模型思想使数学解题有规律可循，也能展示数学的本质特征。本文从点的旋转与位置、乘法公式在速算中的运用、二次函数的最值问题、函数解析式的确定、单循环比赛以及几何中的中点问题，来展示模型思想在数学解题中的运用。
　　【关键词】模型思想;初中数学;解题;运用
　　【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2021）22-0035-03
　　数学课堂离不开解题，在解题过程中学会总结归纳，才能收获更多。下面围绕模型思想在初中数学解题中的运用展开论述，与大家分享交流。
　　1   点的旋转与坐标
　　例1：以原点为中心，把点A（4，5）逆时针旋转90°，得到点B，求点B的坐标。
　　如图1，解答此题时，学生会很自然地通过画图直观地得到正确答案。当得到题目的正确答案时，学生通常不会再深入思考这道题，这样学生就会丧失一次提升自己思维能力的机会[1]。
　　教师讲解这道题时，可以这样引导学生：“请大家观察A点的坐标（4，5）和B点的坐标（?5，4），然后大胆地猜想，并带着自己的猜想，试着解答下面的问题。”
　　练习：①以原点为中心，把点A（m，n）逆时针旋转90°，得到点B，求点B的坐标。②以原点为中心，把点
　　A（m，n）顺时针旋转90°，得到点B，求点B的坐标。
　　通过上面的追问，不仅锻炼了学生大胆猜想的数学品质，还使学生经历了从特殊到一般的思维过程，这对学生数学核心素养的提升是大有好处的。此时，再把刚刚得到的一般性结论应用到下面的中考真题之中：
　　（2019年宜昌中考第15题）如图2，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB=∠B=30°，OA=2，將?AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（  ）。
　　A.（?1，2+）          B.（?，3）
　　C.（?，2+）        D.（?3，）
　　用中考真题帮助学生巩固刚得到的一般性结论，让学生体验反思的价值。
　　2   点的位置
　　例2：点M（t+3，t?5）一定不在第    象限。
　　这道题目通常会出现在七年级下学期的考试中，用于考查平面直角坐标系和不等式组的知识，当时的解法会用到分类讨论的数学思想。
　　解：分情况讨论如下：若点M在第一象限，则 ，解得 t >5;
　　若点M在第二象限，则 ，此不等式组无解;
　　若点M在第三象限，则 ，解得t < ?3;
　　若点M在第四象限，则 ，解得?3<t<5。
　　所以，点M一定不在第二象限。
　　如果此题出现在中考复习阶段，应用上面的方法会显得过于繁琐，而用函数的观点解答此题则更能突显
　　数学的魅力。
　　解：令 ，则 y?x=?8，所以 y=x?8。
　　这个一次函数的图象如图3所示，所以点M一定不在第二象限。
　　3   完全平方公式与平方差公式
　　例3：计算992。
　　解：应用完全平方公式进行简便运算如下：
　　992=（100?1）2
　　=1002?2×100+12
　　=10000?200+1
　　=9801。
　　上面的解法常见于教科书或参考资料中，有没有其他的解法呢？
　　解：应用平方差公式进行简便计算如下：
　　992=992?12+12
　　=（99?1）（99+1）+1
　　=98×100+1
　　=9801。
　　你更喜欢哪种方法呢？多了一种方法，就多了一种数学学习的体验。
　　4   实际问题与二次函数
　　例4：用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，当l是多少米时，场地的面积S最大？
　　解：矩形场地的周长是60 m，一边长为l m，所以另一边长为（30?l） m，场地的面积S=l（30?l）。
　　即S=?l2+30l
　　=?（l2?30l+225?225）
　　=?（l?15）2+225。
　　答：当l是15 m时，场地的面积S最大。
　　上面的解法是很多教科书和参考资料选取的方法，其实这种方法显得有点复杂。在二次函数的实际应用中，求最值时，应用“双根式”胜过“一般式”和“顶点式”。如上面的题目中，当得到“双根式”S=l（30?l）时，可知此函数与横轴的交点坐标分别为（0，0）和（30，0），根据抛物线的轴对称性可知，当l==15时，S取最大值。这种方法既不需要把“双根式”化为“一般式”再化为“顶点式”，也无需代入顶点坐标公式求解[2]。
　　5   一次函数解析式的确立
　　例5：已知点A（5，0）、B（0，4），求直线AB的解析式。
　　解：设直线AB的解析式为 y=kx+b，因为A（5，0）、B（0，4），所以，解得，所以直线AB的解析式为 y=?+4。
　　上面的解法是待定系数法的一般过程，有没有好的方法呢？能否更快速高效地得出结果呢？答案是肯定的。求一次函数的解析式，关键是求出k和b的值，学生对b的值比较熟悉，它是直线与纵轴交点的纵坐标，在本题中b=4，那么k的值是多少呢？k的绝对值等于直线与x轴所夹锐角的正切值，即|k|==，再结合直线从左至右下降，可知k=?。 　　6   二次函数解析式的确立
　　例6：已知二次函数经过点A（?1，0）、B（3，0）、C（0，2），求二次函数的解析式。
　　解法一：设二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c，则
　　，
　　解得，
　　所以二次函数的解析式为y=?x2+x+2。
　　解法二：设二次函数的解析式为y=a（x+1）（x?3），则?3a=2，所以a=?，所以二次函数的解析式为
　　 y=?（x+1）（x?3）。
　　上面的两种解法分别运用了一般式和双根式，有没有更快的方法呢？答案是肯定的。双根式要优于一般式，因为它省略了解方程组的过程，在双根式中，仅仅需要确定待定系数a的值就可以了，而下面的方法可以一眼就看出a的值，a==?，分子当中的2就是抛物线与y轴交点的纵坐标，分母当中的?1和3就是抛物线与x轴交点的横坐标。因为在根与系数的关系中，
　　x1x2=，所以a=，在本题中，c=2，x1=?1，x2=3。
　　7   单循环比赛
　　例7：要组织一次排环邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4場比赛，那么比赛组织者应邀请多少
　　个队参赛？
　　解：设应邀请x个队参赛，根据题意得，=28，解得x1=8，x2=?7（舍）。
　　答：应邀请8个队参赛。
　　此题是一元二次方程应用中的单循环比赛类问题，与握手问题属于同种类型。当解答完此题后，要追问：如果此题改为选择题或填空题，有没有更高效的方法得出最后结果呢？如何由总的比赛场次28得出参赛的队伍数8呢？笔者发现，只需让28乘以2，得到56，然后思考两个连续自然数相乘的积为56，其中较大的那个自然数即为最后结果。由此告诉学生，小题不必大做，这样可以更好地解题。
　　8   中点问题
　　例8：如图4，?ABC中，AB=8，AC=6，求中线AD的取值范围。
　　解：如图5，延长AD至E，使DE=AD，连结BE，
　　因为AD是中线，所以BD=CD，又因为∠ADC=
　　∠EDB，
　　所以?ADC≌?EDB，
　　所以BE=AC=6，
　　在?ABE中，AB?BE<AE<AB+BE，
　　所以8?6<2AD<8+6，所以1<AD<7。
　　上面这种解法的关键是应用了倍长中线的辅助线作法，“见中点，倍长中线”是常用的辅助线作法，那么此题还有没有其他方法呢？只要乐于思考探究，方法总是有的。
　　解：如图6，取AB的中点F，连接DF，
　　则DF=AC=3，AF=AB=4，
　　在?ADF中，AF?DF<AD<AF+DF，
　　所以4?3<AD<4+3，
　　所以1<AD<7。
　　上面的方法为学生提供了一种新的思考方向，当见到中点时，可以再造中点，连成中位线，从而运用中位线的性质解决问题。
　　在运用模型思想解题的过程中，笔者和学生收获颇丰，学生感受到了数学学习的快乐。笔者认为，能够使学生感到快乐的教学方式应该是有效的，是值得教师不断探究的。
　　【参考文献】
　　[1]张素兰，李景龙，王增昌.合学教育：打造教学“动车组”[M].北京：中国林业出版社，2008.
　　[2]钟家军.例谈模型思想在初中数学中的应用[J].中学数学研究（华南师范大学版），2013（14）.
　　【作者简介】
　　王栋波（1976～），男，汉族，河北廊坊人，本科，中小学一级教师。研究方向：初中数学教学。