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一、刘徽割圆术
刘徽是我国古代数学家，他在数学上的重大贡献是对《九章算术》的详细整理，从此之后，这本书才有了实本。 他在《九章算术》中求圆周率是由圆内接六边形起算，用语言概括就是：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”我们把它称为刘徽割圆术。 他的思想后来得到祖冲之父子的推广，从而使得中国古代数学绽放出夺目的光彩。
把刘徽割圆术用现代数学语言来表达，就是：有一个半径是1的圆O，作内接正六边形（如图1），ABCDAEF正六边形的面积是三角形ABO的面积的六倍，由于AB=DA=1,OT=
二、不同的分割法
上面我们都把X轴上的距离等分，然后来进行计算。但有时候，应用等分来计算反而很困难。通过以下的例子，可以更清楚的了解这一点。
我们提出一个和前面类似但更一般的问题，来研究曲线y=xm在X轴上所盖的面积，这里m是不等于-1的实数，如图10。
当m是整数，例如m=3，4，…，我们可以利用杨辉三角求出，但当m不是整数时，要写出这个和的具体表达式是十分困难的。 因此我们运用其他的方法。在刘徽割圆是时，是用正多边形来作为圆的近似图形，而在求抛物线在X轴上所盖的面积时，就用了很多矩形拼凑起来的折线图形作为近似图形了。 因此，不同的分割方法是不影响问题的结果的。我们可以不用等分的方法来进行求解。
这样一来，CD这件并不是等分了，而是越靠近C的分得越小 ，越靠近D的分的越大图11。但是当分点越来越稀释，每一段得长都趋于零。
照这样分割以后，矩形Mk-1Nk-1PkMk的面积是 aqk-1(q-1)(aqk-1)m=(q-1)(aqk-1)m+1。
把这些矩形拼凑起来得到的图形成为ABCD的近似图形，这个图形的面积是
Sn=(q-1)(aq1-1)m+1 +(q-1)(aq2-1)m+1+…+(q-1)(aqn-1)m+1
=(q-1)am+1[1+qm+1…+（qm+1）n-1]
=(q-1)am+1
显然Sn是小于ABDC的面积S的，而且可以看出，这个近似图形也遵循刘徽割圆的原理。
为了要求的上面这个数值，我们分一下几个步骤来进行。
刘徽是我国古代数学家，他在数学上的重大贡献是对《九章算术》的详细整理，从此之后，这本书才有了实本。 他在《九章算术》中求圆周率是由圆内接六边形起算，用语言概括就是：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”我们把它称为刘徽割圆术。 他的思想后来得到祖冲之父子的推广，从而使得中国古代数学绽放出夺目的光彩。
把刘徽割圆术用现代数学语言来表达，就是：有一个半径是1的圆O，作内接正六边形（如图1），ABCDAEF正六边形的面积是三角形ABO的面积的六倍，由于AB=DA=1,OT=
二、不同的分割法
上面我们都把X轴上的距离等分，然后来进行计算。但有时候，应用等分来计算反而很困难。通过以下的例子，可以更清楚的了解这一点。
我们提出一个和前面类似但更一般的问题，来研究曲线y=xm在X轴上所盖的面积，这里m是不等于-1的实数，如图10。
当m是整数，例如m=3，4，…，我们可以利用杨辉三角求出，但当m不是整数时，要写出这个和的具体表达式是十分困难的。 因此我们运用其他的方法。在刘徽割圆是时，是用正多边形来作为圆的近似图形，而在求抛物线在X轴上所盖的面积时，就用了很多矩形拼凑起来的折线图形作为近似图形了。 因此，不同的分割方法是不影响问题的结果的。我们可以不用等分的方法来进行求解。
这样一来，CD这件并不是等分了，而是越靠近C的分得越小 ，越靠近D的分的越大图11。但是当分点越来越稀释，每一段得长都趋于零。
照这样分割以后，矩形Mk-1Nk-1PkMk的面积是 aqk-1(q-1)(aqk-1)m=(q-1)(aqk-1)m+1。
把这些矩形拼凑起来得到的图形成为ABCD的近似图形，这个图形的面积是
Sn=(q-1)(aq1-1)m+1 +(q-1)(aq2-1)m+1+…+(q-1)(aqn-1)m+1
=(q-1)am+1[1+qm+1…+（qm+1）n-1]
=(q-1)am+1
显然Sn是小于ABDC的面积S的，而且可以看出，这个近似图形也遵循刘徽割圆的原理。
为了要求的上面这个数值，我们分一下几个步骤来进行。