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方程问题这部分知识北师大版教材安排在四年级下册,人教版和苏教版安排在五年级下册,与老人教版教材相比,从理念支撑到编写意图都发生了质的变化,苏教版《教师教学用书》中指出:“应用等式的性质解方程,较好地解决了关于方程解决的中小学衔接问题,教材改变了在小学阶段利用四则运算的互逆关系及相关运算规律解方程的传统做法,引入了等式的性质,并应用等式的性质解方程。”对于小学阶段解决方程问题而言,新老教材中的方法都能达到解决问题的目的。但学生为什么更倾向于老教材中的方法呢?笔者认为有以下两点原因:
一、老教材中的方法有着深厚的认知基础
新教材中的方法是学生从未学习过的新方法,是一种全新的思路,学生需要有个逐渐认知的过程,而老教材的方法则是“旧知”,学生从一年级就不断渗透,不断应用、归纳、提升,形成问题解决策略。诸如第一学段的() 5=9,3×()=24,63÷()=9,△-15=26等,实际上就是方程的雏形,刚开始学生可能只是依靠直观思维解决,但在实践中学生会发现其中蕴藏的规律,发现四则运算各部分之间的关系,在解决这类问题的实践中不断熟练,已形成扎实的认知基础。在解决问题过程中,把最简单、最熟悉的方法作为解决问题的首选手段符合学生心理需要,由此看来,学生喜欢老教材中的方法就不足为奇了。
二、新教材中的方法在解决问题时不能体现它的优越性
学生不喜欢新教材中的方法的另一个原因是运用新知解决问题不如利用旧知简单。受学生思维水平的制约,在等式两边同时进行加、减、乘、除运算时,在初中本可以省略的步骤由于初学而无法省略,计算步骤繁杂,诸如6-x=4.7,2.7÷x=3的方程,教材采取的是不出现这几种方程的处理策略。的确,作为教材的编写者在编写解方程的题目时可以有意地避开这几种特殊情况,但是在列方程解决实际问题时,学生根据题意自己列出方程时却不可避免地会出现这几种特殊情况。如学生在解决6-x=4.7时,运用等式的性质解决,学生可能会这样做,6-x=4.7,6-x-6=4.7-6,至此,学生受知识水平的制约,陷入了解决问题的死胡同,此时,只能另辟蹊径,重新寻找数量关系探求解决问题的方案,虽然方程可以这样解决:6-x=4.7,6-x x=4.7 x,6=4.7 x,4.7 x=6,4.7 x-4.7=6-4.7,x=1.3,但是,解答一个简单的方程,如此复杂、繁琐的解题过程往往让学生望而却步,而恰恰运用老教材中“四则运算互逆关系” 就非常简洁:6-x=4.7,x=6-4.7,x=1.3,如此简洁的解答步骤更符合学生的心理需要。到第三学段学生为何利用等式性质就简单呢?那是因为学生的知识面增加了,口算及综合解决问题的能力增强了,有了更多的解决问题的手段,如移项、变号、正负数的加减法等,这些都为学生解决问题提供了帮助,运用这些知识解决问题同样简洁:6-x=4.7,-x=-1.3,x=1.3,或把4.7移到等号的左边,x移到等号的右边为:6-4.7=x,x=1.3,完全不需要上面那样繁琐的解题过程。看来,学生不喜欢新教材中的方法与学生的思维水平、知识储备有关,到了七年级,学生知识储备完全可以把解题过程简单化,学生自然也就接受这种方法,而不需要生拉硬拽,强制填鸭了。
那么,是不是我们在教学中就可以舍弃新方法,重拾老办法呢?是不是表明新教材编写是失败的?我想不然,新教材强调利用等式性质解决问题,有助于提高学生转段后对方程问题学习的适应性,为初中学习解比较复杂的方程奠定基础,针对教学中的困惑,笔者有以下三点想法:
第一,相对于老教材,新教材的编写是一种进步
新教材较好地解决了关于方程解决的中小学衔接问题,促进了学生由算术思维向代数思维方式的转变,等式的性质更有利于凸显数量之间的相等关系,有助于渗透初步的方程思想和数学建模思想。等式的性质更适合解答较复杂的方程,更有利于学生的可持续发展。
第二,教师要克服教学经验的定势
一个知识点的过早切入,同时会带来诸多不利的因素,由于学生知识储备的欠缺,解题思路很窄,无法避免把简单的问题复杂化。教学中,部分教师对“根据四则运算各部分之间的关系来解方程”的教学有多年的经验,所以觉得顺畅,因此教师首先要克服自身教学经验的定势,克服畏难情绪,认真钻研教材,灵活处理教材,有计划,有梯度地分层教学,对于方程的不同类型,应分课时安排教学,放慢教学进度。对于学生使用老教材的方法,教师在给予肯定的同时要强调新方法学习的重要性,仍应根据教材突出用等式的性质来解方程。
第三,把握认知规律,适度整合教材
在解决实际问题中,对于诸如6-x=4.7,2.7÷x=3这样的方程,刻意回避不是办法,要有目的地增加课时安排教学,教学时要放手让学生探究,在学生运用旧知尝试解决的同时,引导学生尝试运用新知解决问题,让学生明白等式的两边不仅可以同时加、乘上同一个数,还可以同时加、乘上同一个未知数,虽步骤繁琐,但毕竟是解决问题的新方法,有利于学生的长远发展。至于实际运用中,考虑到学生认知能力的差异,学生使用哪种方法则不必硬性规定,适度整合教材有利于中下等层次学生的发展。
总之,对于方程教学,我们首先应该选择用等式的性质来解方程的思路和方法,适度整合新老教材,让新教材展现新的活力,让学生焕发更高的学习热情。
一、老教材中的方法有着深厚的认知基础
新教材中的方法是学生从未学习过的新方法,是一种全新的思路,学生需要有个逐渐认知的过程,而老教材的方法则是“旧知”,学生从一年级就不断渗透,不断应用、归纳、提升,形成问题解决策略。诸如第一学段的() 5=9,3×()=24,63÷()=9,△-15=26等,实际上就是方程的雏形,刚开始学生可能只是依靠直观思维解决,但在实践中学生会发现其中蕴藏的规律,发现四则运算各部分之间的关系,在解决这类问题的实践中不断熟练,已形成扎实的认知基础。在解决问题过程中,把最简单、最熟悉的方法作为解决问题的首选手段符合学生心理需要,由此看来,学生喜欢老教材中的方法就不足为奇了。
二、新教材中的方法在解决问题时不能体现它的优越性
学生不喜欢新教材中的方法的另一个原因是运用新知解决问题不如利用旧知简单。受学生思维水平的制约,在等式两边同时进行加、减、乘、除运算时,在初中本可以省略的步骤由于初学而无法省略,计算步骤繁杂,诸如6-x=4.7,2.7÷x=3的方程,教材采取的是不出现这几种方程的处理策略。的确,作为教材的编写者在编写解方程的题目时可以有意地避开这几种特殊情况,但是在列方程解决实际问题时,学生根据题意自己列出方程时却不可避免地会出现这几种特殊情况。如学生在解决6-x=4.7时,运用等式的性质解决,学生可能会这样做,6-x=4.7,6-x-6=4.7-6,至此,学生受知识水平的制约,陷入了解决问题的死胡同,此时,只能另辟蹊径,重新寻找数量关系探求解决问题的方案,虽然方程可以这样解决:6-x=4.7,6-x x=4.7 x,6=4.7 x,4.7 x=6,4.7 x-4.7=6-4.7,x=1.3,但是,解答一个简单的方程,如此复杂、繁琐的解题过程往往让学生望而却步,而恰恰运用老教材中“四则运算互逆关系” 就非常简洁:6-x=4.7,x=6-4.7,x=1.3,如此简洁的解答步骤更符合学生的心理需要。到第三学段学生为何利用等式性质就简单呢?那是因为学生的知识面增加了,口算及综合解决问题的能力增强了,有了更多的解决问题的手段,如移项、变号、正负数的加减法等,这些都为学生解决问题提供了帮助,运用这些知识解决问题同样简洁:6-x=4.7,-x=-1.3,x=1.3,或把4.7移到等号的左边,x移到等号的右边为:6-4.7=x,x=1.3,完全不需要上面那样繁琐的解题过程。看来,学生不喜欢新教材中的方法与学生的思维水平、知识储备有关,到了七年级,学生知识储备完全可以把解题过程简单化,学生自然也就接受这种方法,而不需要生拉硬拽,强制填鸭了。
那么,是不是我们在教学中就可以舍弃新方法,重拾老办法呢?是不是表明新教材编写是失败的?我想不然,新教材强调利用等式性质解决问题,有助于提高学生转段后对方程问题学习的适应性,为初中学习解比较复杂的方程奠定基础,针对教学中的困惑,笔者有以下三点想法:
第一,相对于老教材,新教材的编写是一种进步
新教材较好地解决了关于方程解决的中小学衔接问题,促进了学生由算术思维向代数思维方式的转变,等式的性质更有利于凸显数量之间的相等关系,有助于渗透初步的方程思想和数学建模思想。等式的性质更适合解答较复杂的方程,更有利于学生的可持续发展。
第二,教师要克服教学经验的定势
一个知识点的过早切入,同时会带来诸多不利的因素,由于学生知识储备的欠缺,解题思路很窄,无法避免把简单的问题复杂化。教学中,部分教师对“根据四则运算各部分之间的关系来解方程”的教学有多年的经验,所以觉得顺畅,因此教师首先要克服自身教学经验的定势,克服畏难情绪,认真钻研教材,灵活处理教材,有计划,有梯度地分层教学,对于方程的不同类型,应分课时安排教学,放慢教学进度。对于学生使用老教材的方法,教师在给予肯定的同时要强调新方法学习的重要性,仍应根据教材突出用等式的性质来解方程。
第三,把握认知规律,适度整合教材
在解决实际问题中,对于诸如6-x=4.7,2.7÷x=3这样的方程,刻意回避不是办法,要有目的地增加课时安排教学,教学时要放手让学生探究,在学生运用旧知尝试解决的同时,引导学生尝试运用新知解决问题,让学生明白等式的两边不仅可以同时加、乘上同一个数,还可以同时加、乘上同一个未知数,虽步骤繁琐,但毕竟是解决问题的新方法,有利于学生的长远发展。至于实际运用中,考虑到学生认知能力的差异,学生使用哪种方法则不必硬性规定,适度整合教材有利于中下等层次学生的发展。
总之,对于方程教学,我们首先应该选择用等式的性质来解方程的思路和方法,适度整合新老教材,让新教材展现新的活力,让学生焕发更高的学习热情。