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摘 要:MATLAB具有强大的计算功能和绘图功能,熟练运用MATLAB已成为大学生、硕士生、博士生必须掌握的基本技能。通过MATLAB绘图、计算和数学建模综合应用等为学习者打开了一扇认识和欣赏数学的窗口,以便形成科学的数学观,使之成为真正的数学活动的参与者。
关键词:MATLAB;绘图;计算;数学建模;欣赏
中图分类号:O29文献标识码:A文章编号:
随着计算机技术的不断发展,借助计算机数学软件,人们对数学的学习方式和认识水平也发生了根本性的变化。在学习方式上,数学的学习已经超出了以往仅仅依靠纸和笔的“手工操作”模式,正在朝不断依靠现代科技手段和信息渠道的“人机互动”模式发展;在认识层面上,数学也不再仅仅是为某些专业服务的工具性学科,而是一门有着丰富内容和思想体系的文化性、技术性学科。在大学教育阶段,数学教育承担了数学文化的传播和数学技能的培养双重任务。是否具有一定的数学素养并掌握相关的数学技能已经成为当代大学生,尤其是理工科大学生必备的基本素质。由于MATLAB的强大功能,在美国大学中,MATLAB语言受到了教授与学生的欢迎和重视。由于它将使用者从繁重重复的计算中解放出来,把更多的精力投入到对数学的基本含义的理解上,因此它已逐步成为许多大学生和研究生课程中的标准和重要的工具。所以,在国外的高校,熟练运用MATLAB已成为大学生、硕士生、博士生必须掌握的基本技能;在设计研究单位和工业部门,MATLAB已经成为研究必备软件和标准软件[1]。而且,MATLAB具有出色的数据可视化和图像处理功能,以及强大的计算功能[2-4]。借助MATLAB的应用,为学习者打开了一扇认识和欣赏数学的窗口,使对数学的欣赏得以向大众普及,这对数学文化的传播具有重要的意义。
1、MATLAB绘图与数学欣赏
MATLAB具有出色的数据可视化和图像处理功能,几乎可以满足一般实际工程和科学计算中所有图形图像的需要。学习者可以根据需要选择直角坐标、极坐标、柱坐标和球坐标等坐标系绘制平面曲线、空间曲线、空间曲面的表面图和网面图,还可以绘制直方图、向量图、柱状图等。此外,MATLAB还可以对图形进行标注、添色、变换视角等的加工和色彩控制、局部视图及动画等的操作以实实在在的表达各种理想的图形状态。通过MATLAB绘图可以化数学抽象为数学直观,化数学的理性艺术为感性的审美艺术,使数学活动变成实实在在的审美活动,从而普及大众对数学的理解,形成良好的科学数学观。
1.1 MATLAB绘图架起了“数”与“形”沟通的桥梁
数学的欣赏价值在于其将简洁、和谐、对称和奇异等美学元素集中体现在“数”与“形”的完美结合之中,数学是“数形结合”的完美典范。
例1欣赏方程 所表示的数学图形。
MATLAB绘图命令如下:
clear
theta=0:pi/20:2*pi; phi=-pi/2:pi/20:pi/2;
[t,p]=meshgrid(theta,phi); rho=t.^0;
[x,y,z]=sph2cart(t,p,rho)
surf(x,y,z);grid on
结果如图1所示,方程所表示的是最为完美的单位球面。
1.2 MATLAB绘图开启了一扇数学观光的窗口
数学是最完美的理性的艺术,它是科学美的核心,它的这种美表现在它对于其它学科的影响、渗透和制约上。马克思认为:任何科学,如果找不到数学的归宿,那就称不上严格意义上的科学;没有了数学美,科学美就失去了灵魂。在浩瀚的数学世界里,到处都有“美丽的风光”,数学的观光对象都是人类最高超的智力成果或是人类心灵最独特的创作。通过MATLAB绘图这扇打开的窗口学习者可以窥见一斑。
例2 绘图说明极限的意义。
用MATLAB绘制数列的图形命令如下:
syms n
n=1000:10000; xn=(1+1./n).^n;
plot(n,xn,':'); grid on
结果如图2所示。图像直观地说明当 无限增大时,数
列的变化趋势,学习者通过图像领略了极限概念的含义。
通过对MATLAB的绘图,学习者不仅可以在程序的修改和完善过程中体验到数学发现的乐趣,感受探求知识,解决问题的思路历程,激发学习者的创新思维,而且还可以让学习者在绘图操作中感受“数形结合”的数学熏陶,以便欣赏数学世界无限的风光,使学习者得到对数学概念、定理的深入理解和心智的升华。
2、MATLAB计算与数学欣赏
2.1 MATLAB计算清除了数学活动的障碍
计算是数学活动的一个重要组成部分。能借助计算机来解决较为复杂的数学计算问题可以为学习者节省许多宝贵的时间,将其从繁杂的计算中解放出来,以便能够从事更具创造性的数学活动,去探究计算背后更深层次的数学奥秘。MATLAB能够进行科学计算和大量的工程运算。在数学科学计算领域,MATLAB的计算涉及到微积分计算、矩阵计算、符号运算与数值计算、概率统计问题的计算和数据处理等。利用MATLAB强大的计算功能可以帮助学习者清除数学活动的障碍,以便数学活动的顺利进行。
例3、求定积分 的值。
由MATLAB定积分计算命令:symsx,I=int(exp(-(x^2)),x,0,inf)
得到结果为I=1/2*pi^(1/2),即。这一计算解决了学习者不能用积分公式直接计算的问题,增强了学习者从事积分计算的能力,以便提高对无穷限积分概念的认识和理解,从而欣赏到积分计算的魅力。
2.2 MATLAB计算开辟了科学发展的道路
科学的发展,离不开计算。处于计算机时代的今天,科学计算是以数学模型为基础、以计算机和数学软件为工具进行的模拟研究,它是数学通向其它学科的桥梁,是当今盛行的计算机仿真技术的重要基石[5]。MATLAB计算开辟了科学发展的道路,学习者在MATLAB计算中可以欣赏到科学发展道路上沿途的数学风光。
例4、求解微分方
程组[3](Lorenz模型)
该方程是非线性微分方程,所以不存在解析解,只能用数值解法求解,设其中参数的值分别为 ,初值设为,MATLAB计算程序如下:
首先编辑函数文件lorenzeq.m
functionxdot=lorenzeq(t,x)
xdot=[-8/3*x(1)+x(2)*x(3);-10*x(2)+10*x(3);-x(1)*x(2)+28*x(2)-x(3)];
然后编辑计算程序
t_final=100;x0=[0;0;1e-10];
[t,x]=ode45('lorenzeq',[0,t_final],x0);
plot(t,x);figure;
plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3));axis([10、42、-20、20、-20、25]);
运行得该方程的数值解的图形表示如图(3,4)所示。
改变其中参数和初值设定,通过MATLAB数值计算,学习者可以发现Lorenz方程解的变化规律,从而开展对Lorenz方程的新研究。
3、MATLAB建模综合应用与数学欣赏
数学建模就是根据具体的实际问题,在一定假设下找出解决这个问题的数学框架,求出模型的解,并对它进行验证和修改完善的全过程[6]。通过对MATLAB数学建模的综合应用,学习者不仅增强了从实际生活中发现问题、归结问题、建立数学模型,使用计算机和数学软件解决实际问题的能力,而且还可以欣赏到真正的数学应用的魅力。
例5(篮球队员选拔问题)设在高校篮球联赛中,某高校男子篮球队要从8名队员中选出平均身高最高的出场阵容,队员的号码、身高及擅长的位置如表1所示:
表1 队员情况表
Tab.1 The table on members’ situation
同时要求出场阵容必须满足下列条件:
(1)中锋只能上场1名;(2)至少有1名后卫;(3)如果1号队员和4号队员上场,则6号队员不能上场;(4)2号队员和6号队员必须至少保留一个不上场。试确定该篮球队符合要求的出场阵容?
用数学建模的
办法来解决此问题,设
j=1,2,…,8,则 满足以下约束条件:
中锋只能上场1名;
至少有1名后卫;
如果1号队员和4号队员上场,则6号队员不能上场 (当 和 都等于1时, 只能等于0,而当 和 不全为1时, 不受限制);(下转第128页)
(4)2号队员和6号队员必须至少保留一个不上场 ;
又因为篮球比赛要求每队上场队员为5名,所以还应该有。
根据上述分析可以得到所讨论问题的数学模型(线性规划模型)如下:
通过MATLAB编程处理,程序如下:
clear
f=[-1.92,-1.90,-1.88,-1.86,-1.85,-1.83,-1.80,-1.78];
A=[1,1,0,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,-1,-1,-1;1,0,0,1,0,1,0,0;0,1,0
,0,0,1,0,0;…1,1,1,1,1,1,1,1];b=[1;-1;2;1;5];
x=bintprog(f,A,b,[],[])
max=-f*x;h=max/5
经计算得该球队符合要求的出场阵容是:1号、3号、4号、5号和7号队员,球队的平均身高为1.862m。
4、结论
通过对上述三个方面MATLAB应用问题的讨论,学习者可以通过MATLAB绘图、计算和对数学建模问题的综合应用等途径来欣赏数学的风光和魅力,从而形成科学的数学观,成为真正的数学活动的参与者。
参考文献:
[1]许波,刘征.MATLAB工程数学应用[M].北京:清华大学出版社,2000.
[2]王向东,戎海武,文翰.数学实验[M].北京:高等教育出版社,2004,5.
[3]薛定宇,陈阳泉.高等应用数学问题的MATLAB求解[M].北京:清华大学出版社,2004,8.
[4]姜启源,邢文训,谢金星等.大学数学实验[M].北京:清华大学出版社,2005,2.
[5]石辛民,郝整清.基于MATLAB的实用数值计算[M].北京:清华大学出版社,北京交通大学出版社,2006,2.
[6]袁震东.数学建模方法[M].上海:华东师范大学出版社,2002.
关键词:MATLAB;绘图;计算;数学建模;欣赏
中图分类号:O29文献标识码:A文章编号:
随着计算机技术的不断发展,借助计算机数学软件,人们对数学的学习方式和认识水平也发生了根本性的变化。在学习方式上,数学的学习已经超出了以往仅仅依靠纸和笔的“手工操作”模式,正在朝不断依靠现代科技手段和信息渠道的“人机互动”模式发展;在认识层面上,数学也不再仅仅是为某些专业服务的工具性学科,而是一门有着丰富内容和思想体系的文化性、技术性学科。在大学教育阶段,数学教育承担了数学文化的传播和数学技能的培养双重任务。是否具有一定的数学素养并掌握相关的数学技能已经成为当代大学生,尤其是理工科大学生必备的基本素质。由于MATLAB的强大功能,在美国大学中,MATLAB语言受到了教授与学生的欢迎和重视。由于它将使用者从繁重重复的计算中解放出来,把更多的精力投入到对数学的基本含义的理解上,因此它已逐步成为许多大学生和研究生课程中的标准和重要的工具。所以,在国外的高校,熟练运用MATLAB已成为大学生、硕士生、博士生必须掌握的基本技能;在设计研究单位和工业部门,MATLAB已经成为研究必备软件和标准软件[1]。而且,MATLAB具有出色的数据可视化和图像处理功能,以及强大的计算功能[2-4]。借助MATLAB的应用,为学习者打开了一扇认识和欣赏数学的窗口,使对数学的欣赏得以向大众普及,这对数学文化的传播具有重要的意义。
1、MATLAB绘图与数学欣赏
MATLAB具有出色的数据可视化和图像处理功能,几乎可以满足一般实际工程和科学计算中所有图形图像的需要。学习者可以根据需要选择直角坐标、极坐标、柱坐标和球坐标等坐标系绘制平面曲线、空间曲线、空间曲面的表面图和网面图,还可以绘制直方图、向量图、柱状图等。此外,MATLAB还可以对图形进行标注、添色、变换视角等的加工和色彩控制、局部视图及动画等的操作以实实在在的表达各种理想的图形状态。通过MATLAB绘图可以化数学抽象为数学直观,化数学的理性艺术为感性的审美艺术,使数学活动变成实实在在的审美活动,从而普及大众对数学的理解,形成良好的科学数学观。
1.1 MATLAB绘图架起了“数”与“形”沟通的桥梁
数学的欣赏价值在于其将简洁、和谐、对称和奇异等美学元素集中体现在“数”与“形”的完美结合之中,数学是“数形结合”的完美典范。
例1欣赏方程 所表示的数学图形。
MATLAB绘图命令如下:
clear
theta=0:pi/20:2*pi; phi=-pi/2:pi/20:pi/2;
[t,p]=meshgrid(theta,phi); rho=t.^0;
[x,y,z]=sph2cart(t,p,rho)
surf(x,y,z);grid on
结果如图1所示,方程所表示的是最为完美的单位球面。
1.2 MATLAB绘图开启了一扇数学观光的窗口
数学是最完美的理性的艺术,它是科学美的核心,它的这种美表现在它对于其它学科的影响、渗透和制约上。马克思认为:任何科学,如果找不到数学的归宿,那就称不上严格意义上的科学;没有了数学美,科学美就失去了灵魂。在浩瀚的数学世界里,到处都有“美丽的风光”,数学的观光对象都是人类最高超的智力成果或是人类心灵最独特的创作。通过MATLAB绘图这扇打开的窗口学习者可以窥见一斑。
例2 绘图说明极限的意义。
用MATLAB绘制数列的图形命令如下:
syms n
n=1000:10000; xn=(1+1./n).^n;
plot(n,xn,':'); grid on
结果如图2所示。图像直观地说明当 无限增大时,数
列的变化趋势,学习者通过图像领略了极限概念的含义。
通过对MATLAB的绘图,学习者不仅可以在程序的修改和完善过程中体验到数学发现的乐趣,感受探求知识,解决问题的思路历程,激发学习者的创新思维,而且还可以让学习者在绘图操作中感受“数形结合”的数学熏陶,以便欣赏数学世界无限的风光,使学习者得到对数学概念、定理的深入理解和心智的升华。
2、MATLAB计算与数学欣赏
2.1 MATLAB计算清除了数学活动的障碍
计算是数学活动的一个重要组成部分。能借助计算机来解决较为复杂的数学计算问题可以为学习者节省许多宝贵的时间,将其从繁杂的计算中解放出来,以便能够从事更具创造性的数学活动,去探究计算背后更深层次的数学奥秘。MATLAB能够进行科学计算和大量的工程运算。在数学科学计算领域,MATLAB的计算涉及到微积分计算、矩阵计算、符号运算与数值计算、概率统计问题的计算和数据处理等。利用MATLAB强大的计算功能可以帮助学习者清除数学活动的障碍,以便数学活动的顺利进行。
例3、求定积分 的值。
由MATLAB定积分计算命令:symsx,I=int(exp(-(x^2)),x,0,inf)
得到结果为I=1/2*pi^(1/2),即。这一计算解决了学习者不能用积分公式直接计算的问题,增强了学习者从事积分计算的能力,以便提高对无穷限积分概念的认识和理解,从而欣赏到积分计算的魅力。
2.2 MATLAB计算开辟了科学发展的道路
科学的发展,离不开计算。处于计算机时代的今天,科学计算是以数学模型为基础、以计算机和数学软件为工具进行的模拟研究,它是数学通向其它学科的桥梁,是当今盛行的计算机仿真技术的重要基石[5]。MATLAB计算开辟了科学发展的道路,学习者在MATLAB计算中可以欣赏到科学发展道路上沿途的数学风光。
例4、求解微分方
程组[3](Lorenz模型)
该方程是非线性微分方程,所以不存在解析解,只能用数值解法求解,设其中参数的值分别为 ,初值设为,MATLAB计算程序如下:
首先编辑函数文件lorenzeq.m
functionxdot=lorenzeq(t,x)
xdot=[-8/3*x(1)+x(2)*x(3);-10*x(2)+10*x(3);-x(1)*x(2)+28*x(2)-x(3)];
然后编辑计算程序
t_final=100;x0=[0;0;1e-10];
[t,x]=ode45('lorenzeq',[0,t_final],x0);
plot(t,x);figure;
plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3));axis([10、42、-20、20、-20、25]);
运行得该方程的数值解的图形表示如图(3,4)所示。
改变其中参数和初值设定,通过MATLAB数值计算,学习者可以发现Lorenz方程解的变化规律,从而开展对Lorenz方程的新研究。
3、MATLAB建模综合应用与数学欣赏
数学建模就是根据具体的实际问题,在一定假设下找出解决这个问题的数学框架,求出模型的解,并对它进行验证和修改完善的全过程[6]。通过对MATLAB数学建模的综合应用,学习者不仅增强了从实际生活中发现问题、归结问题、建立数学模型,使用计算机和数学软件解决实际问题的能力,而且还可以欣赏到真正的数学应用的魅力。
例5(篮球队员选拔问题)设在高校篮球联赛中,某高校男子篮球队要从8名队员中选出平均身高最高的出场阵容,队员的号码、身高及擅长的位置如表1所示:
表1 队员情况表
Tab.1 The table on members’ situation
同时要求出场阵容必须满足下列条件:
(1)中锋只能上场1名;(2)至少有1名后卫;(3)如果1号队员和4号队员上场,则6号队员不能上场;(4)2号队员和6号队员必须至少保留一个不上场。试确定该篮球队符合要求的出场阵容?
用数学建模的
办法来解决此问题,设
j=1,2,…,8,则 满足以下约束条件:
中锋只能上场1名;
至少有1名后卫;
如果1号队员和4号队员上场,则6号队员不能上场 (当 和 都等于1时, 只能等于0,而当 和 不全为1时, 不受限制);(下转第128页)
(4)2号队员和6号队员必须至少保留一个不上场 ;
又因为篮球比赛要求每队上场队员为5名,所以还应该有。
根据上述分析可以得到所讨论问题的数学模型(线性规划模型)如下:
通过MATLAB编程处理,程序如下:
clear
f=[-1.92,-1.90,-1.88,-1.86,-1.85,-1.83,-1.80,-1.78];
A=[1,1,0,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,-1,-1,-1;1,0,0,1,0,1,0,0;0,1,0
,0,0,1,0,0;…1,1,1,1,1,1,1,1];b=[1;-1;2;1;5];
x=bintprog(f,A,b,[],[])
max=-f*x;h=max/5
经计算得该球队符合要求的出场阵容是:1号、3号、4号、5号和7号队员,球队的平均身高为1.862m。
4、结论
通过对上述三个方面MATLAB应用问题的讨论,学习者可以通过MATLAB绘图、计算和对数学建模问题的综合应用等途径来欣赏数学的风光和魅力,从而形成科学的数学观,成为真正的数学活动的参与者。
参考文献:
[1]许波,刘征.MATLAB工程数学应用[M].北京:清华大学出版社,2000.
[2]王向东,戎海武,文翰.数学实验[M].北京:高等教育出版社,2004,5.
[3]薛定宇,陈阳泉.高等应用数学问题的MATLAB求解[M].北京:清华大学出版社,2004,8.
[4]姜启源,邢文训,谢金星等.大学数学实验[M].北京:清华大学出版社,2005,2.
[5]石辛民,郝整清.基于MATLAB的实用数值计算[M].北京:清华大学出版社,北京交通大学出版社,2006,2.
[6]袁震东.数学建模方法[M].上海:华东师范大学出版社,2002.