【摘 要】本文主要通过对给出了数列的递推公式，如何求数列的通项公式做了讨论，总结出了根据数列的递推公式求数列的通项公式的五种方法。这五种方法是解决递推数列问题的常见方法，浅显易懂，为我们学好数列带来了极大的方便，同时，也为我们解决数列问题提供了参考依据。
　　【关键词】数列递推数列 通项公式
　　
　　数列是中学数学的重要内容，也是高考的必考内容。纵观近几年高考试题，对数列的考察常依递推数列为主。由递推公式确定的数列叫做递推数列，它是给出数列的一种重要方法。对递推数列的考察，经常是根据所给数列的递推公式，求数列的通项公式，其方法多样，下面举例说明：
　　
　　一、公式法
　　
　　利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法。常用的公式有
　　，等差数列和等比数列的通项公式。
　　例1，设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有的自然数，与1的 等差中项等于与1的等比中项，求数列的通项公式。
　　解：依题意，有
　　
　　故是首项为1，公差为2的等差数列
　　
　　评注：利用相关数列与的关系：与题设条件，建立递推关系，是解决本题的关键。
　　
　　二、累加法
　　
　　利用恒等式求通项公式的方法叫做累加法。累加法是求形如（其中数列是可以求前n项和）的递推数列的通向公式的基本方法。
　　例2，已知数列中，， ，试求数列的通项公式.
　　解：
　　
　　将以上个等式两边分别相加，可得
　　
　　又
　　评注：找出与的差是关于的表达式是解决本题的关键。
　　
　　三、累积法
　　
　　利用恒等式求通项公式的方法叫做累积法。累积法是求型如的递推数列通项公式的基本方法（数列可求前项积）。
　　例3，设是首项为1的正数组成的数列，并且（n=1,2,……），求它的通项公式.
　　解: 由题意知
　　由 ,
　　得
　　又因为,得
　　所以有.
　　.
　　.
　　故数列的通项公式为: .
　　评注：找出与的商是关于的表达式是解决本题的关键。
　　四、归纳法
　　由数列前几项用不完全归纳法猜测出数列的通项公式，在利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫做归纳法。
　　例4,若数列的首项且满足, 求数列的通项公式 .
　　解:,
　　
　　……
　　所以猜测： .
　　证明:□当时, 成立.
　　□假设当时成立, 即
　　 则当时,
　　结论也成立.
　　所以,由□、□可知.
　　评注：解决这类问题的基本思路是：先根据递推公式写出该数列的前几项，根据前几项的特点，归纳出数列的通项公式，然后给出证明。
　　
　　五、转化法
　　
　　通过变换递推关系式，将非等差（等比）数列转换为与等差或等比有关的数列而求得通项公式的方法称为转化法。常用的转化途径有：配凑、消项变换、倒数变换等。
　　例5,已知数列中,, . 求数列的通项公式.
　　解:
　　
　　求数列的通项公式就是要找出数列中的第n项与项数n之间的关系，等差、等比数列的通项有公式可依，对于非等差、等比的数列求通项的问题要想方设法转化为等差、等比数列，再求其通项。
　　［参考文献］：
　　《首辅一号》，光明日报出版社，2005。
　　《高考世纪风》，山东省地图出版社，2007。
　　（作者单位：陕西省安康市汉滨区大河中学）
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”