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摘 要：理论力学是工科学生的一门重要的技术基础课程，该课程的难点大多集中在运动学部分。对此，该文对理论力学运动部分的连体基和位形坐标进行了叙述，简述了运动学的基本原理。通过一个曲柄滑块机构运动学分析的例子，让学生领略一般性的规律，加深学生对该课程知识的理解，提高学生们学习的信心和兴趣。
关键词：工科；理论力学；运动学；教学研究
中图分类号：O311 文献标识码：A
理论力学是工科学生的一门技术基础课程[1， 2]。该课程主要研究的是平面刚体与平面刚体系的运动规律，要求学生通过一定的简化建立相应的力学模型（ 质点、质点系、刚体和刚体系） ，利用理论力学的原理和方法建立数學模型，并通过解析或数值方法对数学模型进行求解的过程。工科理论力学课程分为静力学、运动学和动力学三个部分。“运动学”是理论力学课程重要的组成部分，是动力学分析的基础，学生只有牢牢掌握了运动学的原理与方法才能真正学会这门课程。对此，本文结合自身的教学体会，在简要介绍理论力学运动学基本原理的基础上，举例来说明运动学分析的过程。
1 运动学
理论力学主要研究平面刚体运动的一门学科，刚体与刚体之间通过一定的联接方式从而实现特定的运动。运动学是在不考虑物体运动成因的前提下来研究物体的运动规律，它是从几何学上研究物体的运动关系。通俗点说就是在刚体系中已知某些刚体或刚体上某些点的运动，求解随时间变化的未知刚体的位移、速度、加速度等运动学量。
2 连体基与刚体位形的描述
图1为平面刚体连体基和位形坐标的描述，连体基是以刚体上一点C为基点构造的一个正交基与该刚体固接的坐标系，夹角φ为连体基与参考基的夹角（姿态角）。连体基Cxbybzb相对于参考基oxryrzr的方向余弦矩阵为：
Arb=cos（φ）sin（φ）sin（φ）cos（φ）（1）
图1 平面刚体连体基和位形坐标的描述
对于平面刚体，如果已知基点C的运动和姿态角φ，那该刚体上任意点位移变化可由这三个标量完全确定。这三个标量称为刚体的位形坐标，它们组成一个位形坐标阵（xc，yc，φ）。
3 刚体上给定点的位置、速度和加速度
根据两个坐标之间的关系，可知刚体上给定点P的坐标阵为[3]：
xpyp=xcyc+Arbρp（2）
其中，ρp表示P点相对于连体基坐标系的坐标阵。考虑到刚体是任意两点之间相对位置保持不变的物体，因此ρp=常数。
根据式（2）可知，刚体上给定点P的速度和加速度坐标阵为：
pp=cc+ddt（Arb）ρp（3）
pp=cc+d2dt2（Arb）ρp（4）
根据式（2）、（3）、（4）可知，要完全确定刚体上点P的运动，首先要获得位形坐标、速度位形坐标和加速度位形坐标，即（xc，yc，φ）、（c，c，）和（c，c，）。求得平面刚体的这9个位形参数后，该系统的运动规律也就完全确定了，故理论力学的运动学部分的任务主要就是求解各个刚体的位形坐标、速度位形坐标和加速度位形坐标。
4 曲柄滑块机构运动学分析举例
图2为某曲柄滑块机构笛卡尔坐标描述刚体位形。其中曲柄为刚体B1、连杆为刚体B2、滑块为刚体B3，已知曲柄的初始转角为φ0、角速度为1、角加速度为1，曲柄长为l1，连杆长为l2，偏心距为h，求连杆B2和滑块B3质心的运动规律。
图2 某曲柄滑块机构笛卡尔坐标描述的刚体位形
（1） 定义各个刚体的连体基。各个刚体的连体基定义为如图2所示，其中oxyz为参考基。事实上，运动学中连体基的基点可以取在刚体的任意位置。
（2） 建立系统的约束条件，计算系统的自由度。通过计算各个刚体的三个位形坐标随时间变化关系，即可得到该机构位形变化运动规律。总的位形坐标为9个，即（x1，y1，φ1，x2，y2，φ2，x3，y3，φ3）。仔细分析可知，该系统有8个约束方程，分别为：x1=0，y1=0，x2=l1cos（φ1），y2=l1sin（φ1），x3=l1cos（φ1）+l2cos（φ2），y3=l1sin（φ1）+l2sin（φ2），l1sin（φ1）+l2sin（φ2）h=0，φ3=0。总位形坐标阵未知参数有9个，约束方程有8个，故该机构的自由度为1。另外，总的速度位形坐标阵有9个，即（1，1，1，2，2，2，3，3，3）；总的加速度位形阵有9个，即（1，1，1，2，2，2，3，3，3）。求得这27个未知参数便可完全确定该机构的运动规律。
（3） 化简整理，求解方程，得到总位形坐标阵。由于φ1已知，根据l1sin（φ1）+l2sin（φ2）h=0，利用数值方法[4]可以求得φ2，再根据约束方程即可求得总位形坐标阵的各个参数。
（4） 计算总速度位形坐标阵。由于φ1、1、φ2已知，对l1sin（φ1）+l2sin（φ2）-h=0进行求导，利用数值方法，即可得到2。根据求得的总位形坐标阵和约束方程对时间的一次导数的方程，即可求得总速度位形坐标阵的各个参数。
（5） 计算总加速度位形坐标阵。根据求得的总位形坐标阵和总速度位形坐标阵，以及对约束方程求时间两次导数的方程，同理容易求得总加速度位形坐标阵的各个参数。
（6） 确定刚体上关键点的运动规律。本例要计算刚体B2质心的运动规律，由于B2质心C点在刚体B2上，有：
xcyc=xc2yc2+A2ρ2c（5）
其中，A2为连体基c2x2y2z2相对于参考基o-xyz的方向余弦阵，ρ2c为刚体B2上C点相对于连体基c2-x2y2z2的坐标阵，易知为l220。
同理，由式（3）和（4）表示刚体B2质心的速度和加速度。因此，利用已求得的B2刚体的9个位形坐标即可得到刚体B2质心C的运动规律。
注意：本文对曲柄滑块机构的运动分析是时间历程分析，因此三个活动刚体共有27个运动学参数（总位形坐标、总速度位形坐标和总加速度位形坐标），它们均是随时间变化的量；理论力学运动学的数学模型是代数方程组，并且大多数情况是非线性代数方程组，因此运动学分析主要任务是求解该非线性代数方程组；有关约束条件的建立可参考文献[3]；有关数值方法求解非线性代数方程可参考文献[4]。
5 结语
本文以理论力学运动学部分为例，简要介绍了该部分基本原理，通过一个简单的例子说明了利用运动学基本原理进行系统运动学分析的过程。在理论力学的教学过程中采用本文的运动学分析过程易于被学生所接受，对培养学生的自信心，提高学生学习的兴趣，加深学生知识的理解具有一定的积极作用。
参考文献：
[1]邢利英，王新征.工科理论力学教学改革与实践[J].南阳师范学院学报，2010（03）：107109.
[2]叶红玲，刘赵淼，李晓阳.理论力学课程中3W1H教学法的应用[J].力学与实践，2014（01）：98100.
[3]洪嘉振，杨长俊.理论力学第3版[M].高等教育出版社， 2008.
[4]李庆扬，王能超，易大义.数值分析[M].北京：清华大学出版社， 2008.
基金项目：2016年桂林电子科技大学教育教学改革项目（JGB201601）；2017年广西高等教育本科教学改革工程项目（2017JGB221）；2016广西创优计划项目
作者简介：伍建伟（1989），湖南永州人，硕士，助教，研究方向：机械动力学与优化算法应用研究。
关键词：工科；理论力学；运动学；教学研究
中图分类号：O311 文献标识码：A
理论力学是工科学生的一门技术基础课程[1， 2]。该课程主要研究的是平面刚体与平面刚体系的运动规律，要求学生通过一定的简化建立相应的力学模型（ 质点、质点系、刚体和刚体系） ，利用理论力学的原理和方法建立数學模型，并通过解析或数值方法对数学模型进行求解的过程。工科理论力学课程分为静力学、运动学和动力学三个部分。“运动学”是理论力学课程重要的组成部分，是动力学分析的基础，学生只有牢牢掌握了运动学的原理与方法才能真正学会这门课程。对此，本文结合自身的教学体会，在简要介绍理论力学运动学基本原理的基础上，举例来说明运动学分析的过程。
1 运动学
理论力学主要研究平面刚体运动的一门学科，刚体与刚体之间通过一定的联接方式从而实现特定的运动。运动学是在不考虑物体运动成因的前提下来研究物体的运动规律，它是从几何学上研究物体的运动关系。通俗点说就是在刚体系中已知某些刚体或刚体上某些点的运动，求解随时间变化的未知刚体的位移、速度、加速度等运动学量。
2 连体基与刚体位形的描述
图1为平面刚体连体基和位形坐标的描述，连体基是以刚体上一点C为基点构造的一个正交基与该刚体固接的坐标系，夹角φ为连体基与参考基的夹角（姿态角）。连体基Cxbybzb相对于参考基oxryrzr的方向余弦矩阵为：
Arb=cos（φ）sin（φ）sin（φ）cos（φ）（1）
图1 平面刚体连体基和位形坐标的描述
对于平面刚体，如果已知基点C的运动和姿态角φ，那该刚体上任意点位移变化可由这三个标量完全确定。这三个标量称为刚体的位形坐标，它们组成一个位形坐标阵（xc，yc，φ）。
3 刚体上给定点的位置、速度和加速度
根据两个坐标之间的关系，可知刚体上给定点P的坐标阵为[3]：
xpyp=xcyc+Arbρp（2）
其中，ρp表示P点相对于连体基坐标系的坐标阵。考虑到刚体是任意两点之间相对位置保持不变的物体，因此ρp=常数。
根据式（2）可知，刚体上给定点P的速度和加速度坐标阵为：
pp=cc+ddt（Arb）ρp（3）
pp=cc+d2dt2（Arb）ρp（4）
根据式（2）、（3）、（4）可知，要完全确定刚体上点P的运动，首先要获得位形坐标、速度位形坐标和加速度位形坐标，即（xc，yc，φ）、（c，c，）和（c，c，）。求得平面刚体的这9个位形参数后，该系统的运动规律也就完全确定了，故理论力学的运动学部分的任务主要就是求解各个刚体的位形坐标、速度位形坐标和加速度位形坐标。
4 曲柄滑块机构运动学分析举例
图2为某曲柄滑块机构笛卡尔坐标描述刚体位形。其中曲柄为刚体B1、连杆为刚体B2、滑块为刚体B3，已知曲柄的初始转角为φ0、角速度为1、角加速度为1，曲柄长为l1，连杆长为l2，偏心距为h，求连杆B2和滑块B3质心的运动规律。
图2 某曲柄滑块机构笛卡尔坐标描述的刚体位形
（1） 定义各个刚体的连体基。各个刚体的连体基定义为如图2所示，其中oxyz为参考基。事实上，运动学中连体基的基点可以取在刚体的任意位置。
（2） 建立系统的约束条件，计算系统的自由度。通过计算各个刚体的三个位形坐标随时间变化关系，即可得到该机构位形变化运动规律。总的位形坐标为9个，即（x1，y1，φ1，x2，y2，φ2，x3，y3，φ3）。仔细分析可知，该系统有8个约束方程，分别为：x1=0，y1=0，x2=l1cos（φ1），y2=l1sin（φ1），x3=l1cos（φ1）+l2cos（φ2），y3=l1sin（φ1）+l2sin（φ2），l1sin（φ1）+l2sin（φ2）h=0，φ3=0。总位形坐标阵未知参数有9个，约束方程有8个，故该机构的自由度为1。另外，总的速度位形坐标阵有9个，即（1，1，1，2，2，2，3，3，3）；总的加速度位形阵有9个，即（1，1，1，2，2，2，3，3，3）。求得这27个未知参数便可完全确定该机构的运动规律。
（3） 化简整理，求解方程，得到总位形坐标阵。由于φ1已知，根据l1sin（φ1）+l2sin（φ2）h=0，利用数值方法[4]可以求得φ2，再根据约束方程即可求得总位形坐标阵的各个参数。
（4） 计算总速度位形坐标阵。由于φ1、1、φ2已知，对l1sin（φ1）+l2sin（φ2）-h=0进行求导，利用数值方法，即可得到2。根据求得的总位形坐标阵和约束方程对时间的一次导数的方程，即可求得总速度位形坐标阵的各个参数。
（5） 计算总加速度位形坐标阵。根据求得的总位形坐标阵和总速度位形坐标阵，以及对约束方程求时间两次导数的方程，同理容易求得总加速度位形坐标阵的各个参数。
（6） 确定刚体上关键点的运动规律。本例要计算刚体B2质心的运动规律，由于B2质心C点在刚体B2上，有：
xcyc=xc2yc2+A2ρ2c（5）
其中，A2为连体基c2x2y2z2相对于参考基o-xyz的方向余弦阵，ρ2c为刚体B2上C点相对于连体基c2-x2y2z2的坐标阵，易知为l220。
同理，由式（3）和（4）表示刚体B2质心的速度和加速度。因此，利用已求得的B2刚体的9个位形坐标即可得到刚体B2质心C的运动规律。
注意：本文对曲柄滑块机构的运动分析是时间历程分析，因此三个活动刚体共有27个运动学参数（总位形坐标、总速度位形坐标和总加速度位形坐标），它们均是随时间变化的量；理论力学运动学的数学模型是代数方程组，并且大多数情况是非线性代数方程组，因此运动学分析主要任务是求解该非线性代数方程组；有关约束条件的建立可参考文献[3]；有关数值方法求解非线性代数方程可参考文献[4]。
5 结语
本文以理论力学运动学部分为例，简要介绍了该部分基本原理，通过一个简单的例子说明了利用运动学基本原理进行系统运动学分析的过程。在理论力学的教学过程中采用本文的运动学分析过程易于被学生所接受，对培养学生的自信心，提高学生学习的兴趣，加深学生知识的理解具有一定的积极作用。
参考文献：
[1]邢利英，王新征.工科理论力学教学改革与实践[J].南阳师范学院学报，2010（03）：107109.
[2]叶红玲，刘赵淼，李晓阳.理论力学课程中3W1H教学法的应用[J].力学与实践，2014（01）：98100.
[3]洪嘉振，杨长俊.理论力学第3版[M].高等教育出版社， 2008.
[4]李庆扬，王能超，易大义.数值分析[M].北京：清华大学出版社， 2008.
基金项目：2016年桂林电子科技大学教育教学改革项目（JGB201601）；2017年广西高等教育本科教学改革工程项目（2017JGB221）；2016广西创优计划项目
作者简介：伍建伟（1989），湖南永州人，硕士，助教，研究方向：机械动力学与优化算法应用研究。