函数是高中数学的重要内容，而求函数的值域问题是高中函数的重要问题，也是高一上期学生感觉困难的问题。求值域虽然比较难，但也有章可循，下面对函数值域中经常用到的方法加以归纳。
　　
　　一、观察法：
　　例1，求下列函数的值域：
　　⑴y=+1；⑵y=。
　　解：⑴∵≥0∴+1≥1
　　∴y=+1的值域是[1，+∞])
　　⑵∵2x＞0∴2x +16＞16，＞4，即y＞4
　　∴y=的值域是(4，+∞)
　　注：观察法就是将函数分解成几个常见的函数，然后，利用这些熟知函数的值域来求原函数值域的方法。
　　
　　二、分离常数法：
　　例2，求下列函数的值域：
　　⑴y=；⑵y=。
　　解：⑴y===2+
　　∵≠0，∴y≠2∴值域是｛y|y∈R且y≠2｝
　　⑵y===1-
　　∵x2+1≥1，∴0＜≤1
　　∴-2≤-＜0，-1≤1-＜1
　　即-1≤y＜1，∴值域为[-1，1])
　　注：关于x的一次分式函数，可采用分离常数法求值域。
　　
　　三、利用有界性：
　　例3，求下列函数的值域：
　　⑴y=；⑵y=（a＞0,a≠1）
　　解：⑴由y=得：x2=∵x2≥0 ∴≥0
　　解得：-1≤y＜1∴值域为[-1，1])
　　⑵解法一：由y=得：ax= ∵ax＞0∴＞0
　　解得：-1＜y＜1∴值域为（-1，1）
　　解法二：y==1-
　　∵ax+1＞1∴0＜＜1，-2＜-＜0
　　∴-1＜1-＜1，即-1＜y＜1∴值域为（-1，1）
　　注：利用x2≥0，ax＞0等的有界性可求值域。
　　
　　四、配方法：
　　例4，求下列函数的值域：
　　⑴y=x2+2x-3；⑵y=x2-4x+6，x∈[1,5]。
　　解：⑴y=x2+2x-3=(x+1)2-4
　　∵x∈R∴y≥-4
　　
　　∴函数y=x2+2x-3的值域为[-4，+∞]
　　⑵y=x2-4x+6=(x-2)2+2
　　∵x∈[1,5],如图，函数y的最小值
　　ymin=f⑵=2，最大值ymax=f⑸=11
　　∴值域为[2，11]
　　注：配方法是求二次函数型值域问题的基本方法。一般地，形如F（x）=a[f(x)]2+b[f(x)]+c的函数值域问题，均可考虑用配方法。注意自变量的取值不是全体实数时，要结合图象来求解。
　　
　　五、换元法：
　　例5，求下列函数的值域：
　　⑴y=x+；⑵y=x-1-
　　解：⑴函数的定义域是｛x|x≤｝
　　令=t(t≥0)，则x=(1-t2)
　　∴y=(1-t2)+t=-(t-1)2+1
　　∵t≥0结合图像可知y≤1，故函数的值域为(-∞，1]
　　⑵函数的值域为｛x|x≤1｝
　　令=t(t≥0)，则x=1-t2
　　∴y=(1-t2)-1-t= -t2-t=-(t+)2+
　　∵t≥0结合图像可知y≤0，故函数的值域为(-∞，0]
　　注：一般地，形如y=ax±b±(a,b,c,d均为常数，且a≠0)的函数可用换元法求值域，用此种方法要特别注意换元后中间变量的取值范围。
　　
　　六、判别式法：
　　例6，求下列函数的值域：
　　⑴y=；⑵y=
　　解：⑴函数的定义域为x∈R
　　由y=得：(x2+x+1)y=2x2+2x+3，
　　即（y-2）x2+(y-2)x+y-3=0
　　若y-2=0，即y=2时，得：-1=0，不成立。
　　∴y≠2∵x∈R
　　∴△=(y-2)2-4(y-2)(y-3)≥0
　　解得：2≤y≤
　　∴函数的值域为（2,）]
　　⑵函数的定义域为x∈R
　　由y=得：yx2-2x+y=0
　　当y=0，得：x=0，成立。
　　当y≠0时，∵x∈R，则△=4-4y2≥0
　　解得：-1≤y≤1∴-1≤y≤1，且y≠0
　　故函数的值域为[-1，1]
　　注：一般地，形如y=(a1,a2不同时为0)的函数常用判别式法求值域。
　　
　　七、图象法
　　例7，求函数y=|x+1|+|x-2|的值域
　　解：f(x)=
　　
　　它的图象如图所示，显然，函数值y≥3，
　　∴函数的值域为[3，+∞]
　　
　　注：一般地，含有绝对值符号的函数或分段函数求值域的问题常用图象法。
　　（作者单位：625000四川省雅安市第一中学）
　　
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