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[摘 要] 数与运算在小学数学课程中占有非常重要的地位。因此，在小学阶段的教学过程中，培养具备基本运算技能的学生以及让学生形成一定的计算能力则成了数学教师们的首要任务。然而，在计算教学过程中，算理的理解则是学生们掌握具体的计算方法，形成计算技能的重要前提。低年级的学生需要在具体的情境中，通过具体操作实践来更好地理解抽象的算理，从而有效地提高学生的计算能力。
[关键词] 小学数学教学；直观；算理
【教学内容】
《义务教育教科书数学》（青岛版）六年制二年级下册《有余数的除法》信息窗第1课时第2—5页。
【教材简析】
本节课是在学生已经了解了除法的意义、掌握了用口诀求商的基础上，进行扩展和延伸。教材选择了学生感兴趣的野营活动作为教学素材，引导学生发现生活中的“余数”现象，体验生活中的数学应用，感受到有余数的除法就在身边，加强学生对“有余数的除法”意义的认识。
【教学目标】
1.结合具体的情景初步感知有余数除法的意义，通过实践操作，能正确读写有余数的除法算式。
2.通过分一分、摆一摆、写一写、议一议等活动，经历余数产生的过程，借助几何直观培养观察、分析和概括能力，在具体情境中，初步探索余数比除数小的规律。
3.培养学生独立探索的意识，感受有余数的除法与现实生活的密切联系。让学生能够主动参与学习活动，在探究过程中，逐步提高提出问题、解决问题的意识和能力，形成初步的合作意识。
【教学重点】
结合具体情景初步感知有余数的除法的意义，能正确读写有余数的除法算式，明确除法各部分表示的意义。
【教学难点】
在操作、比较的过程中，探索发现余数比除数小的规律。
【教具准备】
课件、小磁板、磁力贴。
【教学过程】
一、由创设情境激发学生兴趣
出示情境图（如下图所示）谈话引入：“春天真是个美丽的季节，公园里有4个小朋友正在游玩。午饭时间到了，瞧，他们带了这么多好吃的，咱们帮他们分一分吧？”
设计意图：从学生熟悉的生活用品入手，开门见山，借助学生已有的认知经验，激发学生学习欲望，自然导入新知。通过展示主题图，引导学生体会有余数除法在生活中的实际作用，使学生感觉到提出计算问题的现实意义。
二、引导学生操作探究
（一）借助直观操作，感受余数产生的过程
1.出示甜甜圈的图片：小明带了一盒甜甜圈，要和大家分享。这盒甜甜圈一共有9个，平均分给4个人，如何分？
2.用9个小圆片代替9个甜甜圈，分一分（学生独立完成操作）。
设计意图：学具操作能使抽象的数学知识变得明了，使学生由被动地接受数学知识，转向主动地探究和主动思考。通过动手操作，引导学生通过直观操作体会到平均分有剩余的情况，初步感受余数产生的必要性。
3.请学生到讲台位置实践分配，其他同学仔细看，与自己的分配方法有何不同
预设：①一个一个地分，每个人分得2个，还剩1个；②两个两个地分，每个人分得2个，还剩1个。
师：说一说你是怎样分的？大家有问题要问吗？为什么剩下的1个不继续分下去了呢？（引导学生说出每个人分不到1个了，所以不再继续分。）
4.总结：不管怎样分，最后的结果其实都一样。
5.引导学生用算式把刚才分甜甜圈的过程表示出来。
6.总结板书：9÷4=2（个）……1（个）。这个算式读作：9除以4 商2余1。
理解算式的各部分表示的意义：在这里9表示什么4表示什么2表示什么1表示什么？让学生完整地说出这个算式表示的意义。
设计意图：通过创设便于直观操作的的问题情境，唤醒学生已有的关于平均分的知识和经验，为新知识找到生长点，同时将研究的内容直接指向有余数的除法。引导学生经历从实物抽象到图形再到算式的过程，给学生提供尝试“创造有余数算式”的机会，让每一个学生在充分独立思考的基础上，通过小组交流，展示不同的想法，在不断的对比反思中形成共识。学生尝试的过程，既是一个自主探索的过程，又是一个集思维、实践、解惑为一体的感悟生成过程，较好地培养了学生的自主探究、合作交流能力与创新意识。通过动手操作，引导学生经历平均分的过程，体会到平均分有剩余的情况，初步感受余数产生的过程。借助直观操作、课件演示等手段，帮助学生理解有余数除法的意义。
（二）理解余数的意义
1.师：刚才，我们一起帮助4个小朋友们分享了9个甜甜圈，小朋友们还带了10根香肠、11个寿司、12根棒棒糖、13个橘子，都要平均分给4个小朋友，如何分？每个人任选一种食品，先动手分一分，再把算式写在活动记录单上。道具不够的时候，可以从老师发给你们的小袋子里数出。
实践过程反馈：
（1）分10碗方便面：10÷4=2（个）……2（个）。
师：这个算式表示的意义是什么？这两个2表示的意义相同吗？
（2）分11瓶矿泉水：11÷4=2（瓶）……3（瓶）。
师：这3瓶能继续平均分给4个人吗？
（3）分12根香肠：120÷4=3（根）。
师：你是怎么想到3的？（引导学生说出用口诀求商的办法）为什么这个算式没有余数？
（4）分13个香蕉：13÷4=3（个）……1（个）。
师：用什么方法算的？巩固口诀求商的方法。
（5）分14个橘子：14÷4=3（个）……2（个）。教师引导学生比较为什么同样是分给4个人，每人都分得3个，但一个余数是1，一个余数是2的原因。
2.观察比较，揭示“余数”的意义。 师：迅速收起你的小题板，眼睛看屏幕。刚才我们在帮助小朋友们分享美食的过程中，得到了这些除法算式。一起看：
9÷4=2（个）……1（个）
10÷4=2（根）……2（根）
11÷4=2（个）……3（个）
12÷4=3（根）
13÷4=3（个）……1（个）
师：这些是（指被除数）？这是（指除数）？这是（指商）？这是什么？你能给这些剩余的数起个名字吗？就叫余数。
（板书“余数”。）
师：像这样的除法就叫做有余数的除法。今天，我们就来研究有余数的除法。（板书课题）
师：我们用这么多有余数的除法解决了问题，在生活中，我们还会经常用到有余数的除法。有余数的除法到底还藏着什么秘密？你想不想自己来研究呢？
设计意图：这一环节的设计注重让学生在动手分配的过程中，感受生活中分配不均的情况，大量的动手操作，充分的互动交流，可以帮助学生直观地理解余数的含义。帮助学生把困难的数学问题变得容易，把抽象的问题变得直观，把复杂的问题变得简单。此环节借助几何直观、师生对话、生生对话来理解抽象算式中每个数表示的意义，建立“形”与有余数除法算式之间的联系。
（三）探索余数与除数的关系
师：观察这些算式中的余数，发现了什么？
9÷4=2（个）……1（个）
10÷4=2（根）……2（根）
11÷4=2（个）……3（个）
12÷4=3（根）
13÷4=3（个）……1（个）
预设：余数总是1、2、3。
提问：为什么余数总是1、2、3，而不是其他数？
预设：是4就够继续分。
引导总结：余数比除数小。解决问题后应鼓励学生。
设计意图：通过引导学生有层次的思考，加深对有余数除法意义的理解。引导学生发现“余数和除数的关系”，引导学生认真观察算式中的余数，自主发现余数的特点。进一步探究“余数和除数的关系”，引导学生在观察、比较的基础上发现“余数比除数小”。
三、建立运算模型巩固新知
（1）先连一连，再填一填
设计意图：本节课之中从学生熟悉的生活背景中选取素材，学生经历了“问题情境—建立模型—解释应用与拓展”的过程，感悟到数学与生活的紧密联系，建立了有余数除法的模型，渗透了模型思想。练习环节又回到情境中，保证了情境的完整性。
四、回顾反思，总结提升
师：同学们，不知不觉一节课已经接近尾声了，这节课你有收获吗？一起来看着黑板或者大屏幕说一说，你有哪些收获？也可把你的收获回家说给爸爸妈妈听。
课后反思：本节课教学秉持“以学生发展为本”的理念，基于学生的实际，钻研教材，另辟蹊径，整体建构知识结果，收到了良好的教学效果。
（一）借直观操作助推思考，促进概念理解
“几何直观”是《新课程标准》中新增加的核心概念，它可以帮助学生直观地理解数学。本节课使学生借助几何直观进行思维，学习和理解有余数的除法的意义，教学中通过分一分、摆一摆、写一写、议一议等活动，化“数”为“形”，建立“形”与有余数的除法算式中的“数”之间的练习，凭借图形的直观特点将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来，充分展现有余数除法产生的必要性，利用几何直观帮助学生突破数学理解上的难点。以“形”助“教”，不仅帮助学生体会“平均分以后有剩余”的现象，认识余数产生的价值，同时促进学生理解抽象的算式中每个数表示的意义，更以相对直观的数学对象为基础在自己的头脑中对除法运算进行理性重建。
（二）关注经验积累，发展思维能力
余数与除数的关系是这部分内容的重点。因此教师在教学时不要轻易告诉学生这一结论，而是设计分层问题，引导学生思考、讨论、操作、猜想，验证，亲历这些数学活动，让孩子们在活动中经历知识产生的过程。抽象概括是内化活动经验的关键，在解决了大量的生活实际问题后，再引导他们观察、发现余数与除数之间的关系，这样会更有说服力。
总之，直观操作活动中可以让学生最大限度地动手操作、观察、思考与交流创造，使学生在操作中获得积极主动的情感体验，在愉悦的心境中轻松获得知识，在活跃的课堂氛围中激发学生思维，促进数学学习活动更有效。让学生通过实践活动发现规律、概括特征、掌握方法，在体验中领悟数学、学会想象、学会创造，在这些活动中浓缩、抽象、概括。学生在直观操作到抽象思维的过程中理解算理，内化知识。教师适时地加以点拨和鼓励，引导学生在宽松、和谐的氛围中萌发创新意识，这样的数学活动，较好地体现了“不同的人在数学上得到不同的发展”，从而促进了学生数学抽象思维的发展。
责任编辑 满令怡
[关键词] 小学数学教学；直观；算理
【教学内容】
《义务教育教科书数学》（青岛版）六年制二年级下册《有余数的除法》信息窗第1课时第2—5页。
【教材简析】
本节课是在学生已经了解了除法的意义、掌握了用口诀求商的基础上，进行扩展和延伸。教材选择了学生感兴趣的野营活动作为教学素材，引导学生发现生活中的“余数”现象，体验生活中的数学应用，感受到有余数的除法就在身边，加强学生对“有余数的除法”意义的认识。
【教学目标】
1.结合具体的情景初步感知有余数除法的意义，通过实践操作，能正确读写有余数的除法算式。
2.通过分一分、摆一摆、写一写、议一议等活动，经历余数产生的过程，借助几何直观培养观察、分析和概括能力，在具体情境中，初步探索余数比除数小的规律。
3.培养学生独立探索的意识，感受有余数的除法与现实生活的密切联系。让学生能够主动参与学习活动，在探究过程中，逐步提高提出问题、解决问题的意识和能力，形成初步的合作意识。
【教学重点】
结合具体情景初步感知有余数的除法的意义，能正确读写有余数的除法算式，明确除法各部分表示的意义。
【教学难点】
在操作、比较的过程中，探索发现余数比除数小的规律。
【教具准备】
课件、小磁板、磁力贴。
【教学过程】
一、由创设情境激发学生兴趣
出示情境图（如下图所示）谈话引入：“春天真是个美丽的季节，公园里有4个小朋友正在游玩。午饭时间到了，瞧，他们带了这么多好吃的，咱们帮他们分一分吧？”
设计意图：从学生熟悉的生活用品入手，开门见山，借助学生已有的认知经验，激发学生学习欲望，自然导入新知。通过展示主题图，引导学生体会有余数除法在生活中的实际作用，使学生感觉到提出计算问题的现实意义。
二、引导学生操作探究
（一）借助直观操作，感受余数产生的过程
1.出示甜甜圈的图片：小明带了一盒甜甜圈，要和大家分享。这盒甜甜圈一共有9个，平均分给4个人，如何分？
2.用9个小圆片代替9个甜甜圈，分一分（学生独立完成操作）。
设计意图：学具操作能使抽象的数学知识变得明了，使学生由被动地接受数学知识，转向主动地探究和主动思考。通过动手操作，引导学生通过直观操作体会到平均分有剩余的情况，初步感受余数产生的必要性。
3.请学生到讲台位置实践分配，其他同学仔细看，与自己的分配方法有何不同
预设：①一个一个地分，每个人分得2个，还剩1个；②两个两个地分，每个人分得2个，还剩1个。
师：说一说你是怎样分的？大家有问题要问吗？为什么剩下的1个不继续分下去了呢？（引导学生说出每个人分不到1个了，所以不再继续分。）
4.总结：不管怎样分，最后的结果其实都一样。
5.引导学生用算式把刚才分甜甜圈的过程表示出来。
6.总结板书：9÷4=2（个）……1（个）。这个算式读作：9除以4 商2余1。
理解算式的各部分表示的意义：在这里9表示什么4表示什么2表示什么1表示什么？让学生完整地说出这个算式表示的意义。
设计意图：通过创设便于直观操作的的问题情境，唤醒学生已有的关于平均分的知识和经验，为新知识找到生长点，同时将研究的内容直接指向有余数的除法。引导学生经历从实物抽象到图形再到算式的过程，给学生提供尝试“创造有余数算式”的机会，让每一个学生在充分独立思考的基础上，通过小组交流，展示不同的想法，在不断的对比反思中形成共识。学生尝试的过程，既是一个自主探索的过程，又是一个集思维、实践、解惑为一体的感悟生成过程，较好地培养了学生的自主探究、合作交流能力与创新意识。通过动手操作，引导学生经历平均分的过程，体会到平均分有剩余的情况，初步感受余数产生的过程。借助直观操作、课件演示等手段，帮助学生理解有余数除法的意义。
（二）理解余数的意义
1.师：刚才，我们一起帮助4个小朋友们分享了9个甜甜圈，小朋友们还带了10根香肠、11个寿司、12根棒棒糖、13个橘子，都要平均分给4个小朋友，如何分？每个人任选一种食品，先动手分一分，再把算式写在活动记录单上。道具不够的时候，可以从老师发给你们的小袋子里数出。
实践过程反馈：
（1）分10碗方便面：10÷4=2（个）……2（个）。
师：这个算式表示的意义是什么？这两个2表示的意义相同吗？
（2）分11瓶矿泉水：11÷4=2（瓶）……3（瓶）。
师：这3瓶能继续平均分给4个人吗？
（3）分12根香肠：120÷4=3（根）。
师：你是怎么想到3的？（引导学生说出用口诀求商的办法）为什么这个算式没有余数？
（4）分13个香蕉：13÷4=3（个）……1（个）。
师：用什么方法算的？巩固口诀求商的方法。
（5）分14个橘子：14÷4=3（个）……2（个）。教师引导学生比较为什么同样是分给4个人，每人都分得3个，但一个余数是1，一个余数是2的原因。
2.观察比较，揭示“余数”的意义。 师：迅速收起你的小题板，眼睛看屏幕。刚才我们在帮助小朋友们分享美食的过程中，得到了这些除法算式。一起看：
9÷4=2（个）……1（个）
10÷4=2（根）……2（根）
11÷4=2（个）……3（个）
12÷4=3（根）
13÷4=3（个）……1（个）
师：这些是（指被除数）？这是（指除数）？这是（指商）？这是什么？你能给这些剩余的数起个名字吗？就叫余数。
（板书“余数”。）
师：像这样的除法就叫做有余数的除法。今天，我们就来研究有余数的除法。（板书课题）
师：我们用这么多有余数的除法解决了问题，在生活中，我们还会经常用到有余数的除法。有余数的除法到底还藏着什么秘密？你想不想自己来研究呢？
设计意图：这一环节的设计注重让学生在动手分配的过程中，感受生活中分配不均的情况，大量的动手操作，充分的互动交流，可以帮助学生直观地理解余数的含义。帮助学生把困难的数学问题变得容易，把抽象的问题变得直观，把复杂的问题变得简单。此环节借助几何直观、师生对话、生生对话来理解抽象算式中每个数表示的意义，建立“形”与有余数除法算式之间的联系。
（三）探索余数与除数的关系
师：观察这些算式中的余数，发现了什么？
9÷4=2（个）……1（个）
10÷4=2（根）……2（根）
11÷4=2（个）……3（个）
12÷4=3（根）
13÷4=3（个）……1（个）
预设：余数总是1、2、3。
提问：为什么余数总是1、2、3，而不是其他数？
预设：是4就够继续分。
引导总结：余数比除数小。解决问题后应鼓励学生。
设计意图：通过引导学生有层次的思考，加深对有余数除法意义的理解。引导学生发现“余数和除数的关系”，引导学生认真观察算式中的余数，自主发现余数的特点。进一步探究“余数和除数的关系”，引导学生在观察、比较的基础上发现“余数比除数小”。
三、建立运算模型巩固新知
（1）先连一连，再填一填
设计意图：本节课之中从学生熟悉的生活背景中选取素材，学生经历了“问题情境—建立模型—解释应用与拓展”的过程，感悟到数学与生活的紧密联系，建立了有余数除法的模型，渗透了模型思想。练习环节又回到情境中，保证了情境的完整性。
四、回顾反思，总结提升
师：同学们，不知不觉一节课已经接近尾声了，这节课你有收获吗？一起来看着黑板或者大屏幕说一说，你有哪些收获？也可把你的收获回家说给爸爸妈妈听。
课后反思：本节课教学秉持“以学生发展为本”的理念，基于学生的实际，钻研教材，另辟蹊径，整体建构知识结果，收到了良好的教学效果。
（一）借直观操作助推思考，促进概念理解
“几何直观”是《新课程标准》中新增加的核心概念，它可以帮助学生直观地理解数学。本节课使学生借助几何直观进行思维，学习和理解有余数的除法的意义，教学中通过分一分、摆一摆、写一写、议一议等活动，化“数”为“形”，建立“形”与有余数的除法算式中的“数”之间的练习，凭借图形的直观特点将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来，充分展现有余数除法产生的必要性，利用几何直观帮助学生突破数学理解上的难点。以“形”助“教”，不仅帮助学生体会“平均分以后有剩余”的现象，认识余数产生的价值，同时促进学生理解抽象的算式中每个数表示的意义，更以相对直观的数学对象为基础在自己的头脑中对除法运算进行理性重建。
（二）关注经验积累，发展思维能力
余数与除数的关系是这部分内容的重点。因此教师在教学时不要轻易告诉学生这一结论，而是设计分层问题，引导学生思考、讨论、操作、猜想，验证，亲历这些数学活动，让孩子们在活动中经历知识产生的过程。抽象概括是内化活动经验的关键，在解决了大量的生活实际问题后，再引导他们观察、发现余数与除数之间的关系，这样会更有说服力。
总之，直观操作活动中可以让学生最大限度地动手操作、观察、思考与交流创造，使学生在操作中获得积极主动的情感体验，在愉悦的心境中轻松获得知识，在活跃的课堂氛围中激发学生思维，促进数学学习活动更有效。让学生通过实践活动发现规律、概括特征、掌握方法，在体验中领悟数学、学会想象、学会创造，在这些活动中浓缩、抽象、概括。学生在直观操作到抽象思维的过程中理解算理，内化知识。教师适时地加以点拨和鼓励，引导学生在宽松、和谐的氛围中萌发创新意识，这样的数学活动，较好地体现了“不同的人在数学上得到不同的发展”，从而促进了学生数学抽象思维的发展。
责任编辑 满令怡