由课本习题引发的数学思维风暴

来源 :初中生世界·七年级 | 被引量 : 0次 | 上传用户:ytdpg
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  代数式求值问题是初中代数教学的基本内容之一,它贯穿在整个代数的始终.代数式求值问题形式多样,变化丰富多彩.初一主要涉及两种类型:(1) 字母代值型;(2) 整体代值型.解决与整式的加减相关的代数式求值题,原则是先化简,再求值.解题时,要因题而异,弄清题目中条件与结论之间的关系,然后确定解题方法.
  让我们由课本中做一做、议一议的例题说起:
  一、 字母代值型
  例1 (苏科版七上82页做一做)
  求代数式2x3-5x2 x3 9x2-3x2-2的值,其中x=.
  下面通过两种解题方法进行剖析与点评.
  方法1:直接代入求值.
  当x=时,
  2x3-5x2 x3 9x2-3x3-2
  =2×
  3-5×
  2
  3 9×
  2-3×
  3-2
  =- --2=-1.
  方法2:先化简,再代入求值.
  解:2x3-5x2 x3 9x2-3x3-2
  =(2x3 x3-3x3)-(5x2-9x2)-2
  =4x2-2.
  当x=时,原式=4×
  2-2=-1.
  【点评】此类型题属于字母代值型. 方法1选择直接代入求值,计算量比较大,容易出错;方法二选择先化简再求值,使得代数式变得简洁,代入求值时计算量小.求代数式的值时,如果代数式中含有同类项,通常先合并同类项再进行计算.此类型是代数式求值问题中的基本类型,其解题步骤可分为:(1) 化简;(2) 代值;(3) 计算.
  当然字母代值问题有时不是直接给出字母的值,而是以其他条件形式出现,但只要认真分析条件,不难从中得到字母的值.
  例2 若a,b为实数,且a
  -2 b 2=0,求代数式2(a2 ab)-(4a2-ab)的值.
  【分析】此题没有给出字母的值,但从条件结构特点看,其中隐含条件知:a-=0,且b 2=0,从而得字母的值.
  解:由题意得:a
  -=0,
  b 2=0,
  解之得:a
  =,
  b=-2.
  2(a2 ab)-(4a2-ab)
  =2a2 2ab-2a2 ab
  =ab
  =-.
  二、 整体代值型
  整体代值法就是当单个字母的值不能或不用求出时,可把已知条件作为一个整体,代入到待求的代数式中去求值的一种方法. 其中又蕴含了一种重要的数学方法——换元法,因此显得非常重要.其步骤为:(1) 将要求值的代数式化为已知整体表达的形式;(2) 整体代值;(3) 计算.
  例3 (苏科版七上82页议一议)求代数式5(x-2y)-3(x-2y) 8(x-2y)-4(x-2y)的值,其中x=,y=.
  方法1:把x=,y=代入后求值.
  方法2:把(x-2y)看成一个整体,化简后求值.
  解:设x-2y=a,
  原式=5a-3a 8a-4a=6a.
  当x=,y=时,a=x-2y=-2×=-,
  原式=6a=6×
  -=-1.
  【点评】本题呈现了两种解题策略,其中方法2的策略是“把一个多项式看成一个字母”,这里是渗透了“整体代换(换元)”的思想方法.
  在有些问题中,给出的整体值无法使用,此时,只需把条件稍作改变就能在问题中使用.
  例4 已知a-b=5,a-c=1,求代数式:2a-2b (c-b)2的值.
  【分析】此题中虽然已知a-b=5,a-c=1,但要求值的代数式中含有(c-b)2,无法化为已知整体形式.因此必须将条件改变形式.不难看出,只需将条件中的两式相减就可以得到c-b=4.再使用整体代值就可以解决了.
  解:∵a-b=5,a-c=1,
  ∴(a-b)-(a-c)=c-b=4,
  ∴2a-2b (c-b)2
  =2(a-b) (c-b)2
  =2×5 42
  =26.
  例5 求(3xy 10y) [5x-(2xy 2y-3x)]的值,其中xy=2,x y=3.
  【分析】题中只有xy,没有x y,因此需要对代数式进行去括号、合并同类项化简后再整体代入.
  解: (3xy 10y) [5x-(2xy 2y-3x)]
  =3xy 10y 5x-2xy-2y 3x
  =xy 8x 8y
  =xy 8(x y)
  =2 8×3
  =26.
  尽管代数式求值问题五花八门,但还是有规律可循的.掌握数学方法才能高效地解决数学问题. 方法并不是绝对孤立不变的,有时需要多种方法一起使用才能灵活解决问题,解题时,要仔细观察,深入分析,以便选择合理的解题方法,做到简洁、快速解题.
  (作者单位:江苏省淮安外国语学校)
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