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摘要：课堂是学生出错的地方，错误伴随着学生一起成长。教师应善于利用课前预设错误，善于捕捉课中错误，善于课后反思错误。将学生的学习错误当做一种教育的契机，用资源的眼光来看待学生学习中的错误。在数学课堂中，正视错误，显露真实的课堂；猜测错误，展现多姿的课堂；捕捉错误，生成出色的课堂；反思错误，师生共同成长。
关键词：错误资源；直面错误；揣摩错误；捕捉错误；反思错误
“小错误有大智慧”。哲学家黑格尔先生曾说：“错误本身乃是达到真理的一个必然的环节。”课堂是学生出错的地方，错误伴随着学生一起成长。出错是学生的权利，帮助学生改正错误是教师的义务。教师应善于利用课前预设错误，善于捕捉课中错误，善于课后反思错误，将学生的学习错误当做一种教育资源，正视儿童在课堂上出现问题并加以利用，是以人为本的教育观。让学生在纠错、改错中感悟道理，领悟方法，发展思维，培养能力。
一、直面错误，显露“真实”的课堂
“人无完人，金无足赤”。在我们的数学课堂上，天天都有学生在出错。认知心理学派认为：错误是学习的必然产物，学生的知识背景、思维方式、情感体验、表达形式往往与成人截然不同，他们在学习过程中出现各种各样错误是十分正常的。正确很有可能只是一种模仿，可错误却是一种经历，自然又真实。它是通往正确和成功的必经之路。作为老师，应认可学生的错误，也允许学生出错，承认教育的差异性。任何人都会有错误，关键在于让孩子意识到错误，找到原因，避免以后犯同样的错误。
几年前，美国科学教育协会代表团访问上海，在一所全国著名的重点学校听了一堂特级教师经过精心准备的课，课堂教学内容精当、层次清楚、语言规范、板书漂亮，问题设计合理，学生回答精妙，这无疑是近乎完美的优质课。然而美国代表团对此却提出质疑：“课堂上老师提出了很多问题，学生们对答如流，既然学生都知道了，这堂课还有必要去上吗？”是啊，我们传统的优质课怎么啦？让美国代表团惊奇的是：课堂上居然没有问题，没有错误！“没有问题的课堂才是问题最大的课堂。”错误是正确的先导，成功的开始。随着新一轮课改的深入，大家对课堂教学、对学生学习上出错有了更深的研究。无论何时，我们都希望展现真实的课堂。公开课、研究课提倡不要试教，不要铺垫，更不要彩排，要听原汁原味的、未经雕琢的家常课。因此，课堂上需要面对全体学生，关注所有的孩子，正视课堂上学生出现的各类错误。
二、揣摩错误，展现“多姿”的课堂
课堂上的错误，有些是教师能够预料到的。教师通过认真钻研教材，根据学生发生错误的规律，凭借教学经验，可以猜测学生学习某知识时可能发生哪些错误。教师可以通过有目的地预防、诱导，在学生积极的议错、理错中展现多姿的课堂。
1. 预计错误，防患未然
兵家言：知己知彼，百战百胜。只有了解学生，才能教好学生。预计错误，防患未然。教师要在课前解读课标、钻研教材，并针对实际情况来设计教案。教师要预想课堂中学生可能出现的种种错误，教学时才能相机行事，灵活选择有效的措施，把错误消灭在萌芽状态，在议错、辨错中提高学生分析和解决问题的能力。如教师应善于利用课前预设错误资源，在学生学习尚未发生偏差之前，把某些错误设法显示出来，引导学生从自己熟悉的角度，把握知识的要点，预防错误的发生。
如教学“圆锥的体积”时，学生认为圆锥体积一定是圆柱体积的1/3，教师立即要求学生分组做实验来验证：通过圆锥圆柱等底不等高，等高不等底，不等底不等高，等底等高四种情况，验证出只有等底等高的圆锥体积才是圆柱体积的1/3。正是因为教师了解这一结论的前提条件学生容易忽视，才产生让学生动手验证这一精心的预设，也正是因为有了这一预防，才有了防患未然。经历过这节课学习，学生一定会对“等底等高”念念不忘，这样教学目标自然达成了。
2. 将错就错，因势利导
教师要善于恰当设置一些“陷阱”，甚至诱导学生“犯错”，使其“上当”，当他们落入“陷阱”陶醉在“成功”的喜悦中时，指出他们的错误，并通过正误辨析，让他们从错误中猛醒过来，吸取教训，往往能收到“吃一堑，长一智”的效果。
如学习“能被2，3，5整除的数”，学完能被2，5整除的数的特征后，请同学们猜想能被3整除的数的特征，学生都认为“个位上是3，6，9的数都能被3整除”。等他们举实例验证时发现错误，探究的积极性更高了，知识学得也更扎实了。
三、捕捉错误，生成“出色”的课堂
错误人人皆有之，作为教师不利用是不可原谅的。英国一位心理学家说，数学实践是一个动态的、变化发展的过程，学生随时可能发生各种预测不到的错误。我们应及时捕捉错误这一教学资源，充分利用数学实践中“错误”这一“财富”，化弊为利，培养学生巧妙地利用错误，培养创造性思维。课堂教学在师生、生生互动中，随时可能发生错误的信息。教师要独具慧眼，及时捕捉稍纵即逝的错误并巧妙运用于教学活动中，锻炼驾驭课堂的能力，生成出色的课堂。
1. 关注错误，引导辨析
不拨“乱”反“正”，不让学生经历实践获得体验，过于“武断”地阻止学生迈向“错”的脚步，也就打击了他们学习数学的自信心。“正确”正是从“错误”的辨析、筛选中逐步形成的。出错，是因为学习是从问题开始，甚至是从错误开始的，有的错往往是学生对定向思维的反判和修正。正因为出错，才有点拨、解惑和辨析。
如圆锥侧面展开假如是三角形，应该是什么三角形？你用什么办法来证实？经过讨论，一致认为用事实来说话。有学生剪了一个等腰三角形，但怎么也围不出圆锥，缺了好大一块。有的用纸将圆锥的侧面蒙住，沿着边剪下一个图形展开，居然是扇形，事实胜于雄辩，大家亲历了这一过程，抹去了头脑中那些错误的猜想，主动建构新知。教师利用课堂上的突发性错误，化弊为利，既拓宽了学生的思维空间，又锻炼了思维的灵活性和创造性。
2. 善待错误，巧妙纠正
在数学知识的探索中，有错误是难免的，正如人生的旅程中，人总会犯下各种各样的错误。当学生在课堂上出现错误或产生问题时，教师不能视而不见，充耳不闻。要有容错的气度，蹲下身来，从学生的视角看待这些错误，让学生坦诚自己的想法，耐心倾听他们的表述，尊重学生的思维成果。与学生一起经历挫折，感受学习的快乐。
如“一块长方形铁皮，长16厘米，宽8厘米，假如用它剪直径2厘米的圆片，最多可以剪多少个？”学生根据以往的经验，往往用大面积除以每块小面积，即（16×8）÷[3.14×（2÷2）2]≈41（片）。然而，本题根本不能用这种方法去解答。于是，我引导学生画草图验证，学生豁然开朗：正确的解法是（16÷2）×（8÷2）=32（片），根本不可能剪出41片。也有学生想到：16×8÷（2×2）=32（片）。可见，经验是一把“双刃剑”，成功因为经验，错误也可能因为经验。善待学生学习中的错误，引导他们知其所以然，方能真正把握理解数学知识。
四、反思错误，构建“灵动”的课堂
从心理学的角度来说，反思是指自己思维、工作过程中的自我意识和自我监控。反思是一种主动“再熟悉”的过程，是思维的高级形式。积极养成反思习惯，对于巩固和深化教学成果，往往是事半功倍，而“学习 反思=专业成长”早已成为广大教师的共识。让学生带着问题进入教室，带着更多的问题走出教室是我们追求的一种理想境界。“教学相长”，通过反思错误，促进师生共同成长。
1. 学生反思，完善认知
议“错”是学生对自己错误的一种反思。课堂教学中积极培养学生的反思习惯，让学生在议错赏错过程中，放松思维，完善认知，体验成功。建构主义认为：学习不是简单地告诉，而是通过有意义的活动自主感悟、体验。在前例中提到的“长方形铁皮中最多可以剪多少个圆片”，学生普遍出错，等作图得出正确方法后，一定要引导大家去认真反思：以前做过的在长方形中剪多少个小正方形、小等腰直角三角形，或在一块地里根据株距、行距求一共可以种植多少棵白菜等习题，可以直接用大面积去除以每块的小面积，为什么这道题就不能呢？到底原因何在？教师通过引领学生体验错误，反思错误，感悟新方法，达到自主建构数学知识的目的。
2. 教师反思，教学相长
我们教师都要做一株“会思考的芦苇”。课堂教学中，学生的有些错误是根本预料不到的。课堂上来不及处理的错误，教师需要在课后静静地反思，尤其是带有普遍性的错误，大面积学生的错误在一定程度上折射出教师教学中的偏差。教师反思是为了更好地解决教学中的失误，寻找存在的问题，发现留下的遗憾，是教师自我教育、成长的最佳途径。教师反思，能促进教学水平的完善、提升，最终形成独特的教学风格。
数学课堂上学生的错误是一种宝贵的教学资源。课堂上学生出现的错误是美丽的，是孩子最朴实的思想最真实的暴露。学生出现的错误，教师一定要平和、理智地看待，并辅之以策略处理。不经历风雨，怎能见彩虹。在数学课堂教学中，教师只有巧妙地引导学生诱错、寻错、用错、议错、理错的探究过程，课堂才是活的，教学才是美的，教师才是称职的，教与学的活动才是最具有价值的。
（武义县壶山学区教学辅导站）
关键词：错误资源；直面错误；揣摩错误；捕捉错误；反思错误
“小错误有大智慧”。哲学家黑格尔先生曾说：“错误本身乃是达到真理的一个必然的环节。”课堂是学生出错的地方，错误伴随着学生一起成长。出错是学生的权利，帮助学生改正错误是教师的义务。教师应善于利用课前预设错误，善于捕捉课中错误，善于课后反思错误，将学生的学习错误当做一种教育资源，正视儿童在课堂上出现问题并加以利用，是以人为本的教育观。让学生在纠错、改错中感悟道理，领悟方法，发展思维，培养能力。
一、直面错误，显露“真实”的课堂
“人无完人，金无足赤”。在我们的数学课堂上，天天都有学生在出错。认知心理学派认为：错误是学习的必然产物，学生的知识背景、思维方式、情感体验、表达形式往往与成人截然不同，他们在学习过程中出现各种各样错误是十分正常的。正确很有可能只是一种模仿，可错误却是一种经历，自然又真实。它是通往正确和成功的必经之路。作为老师，应认可学生的错误，也允许学生出错，承认教育的差异性。任何人都会有错误，关键在于让孩子意识到错误，找到原因，避免以后犯同样的错误。
几年前，美国科学教育协会代表团访问上海，在一所全国著名的重点学校听了一堂特级教师经过精心准备的课，课堂教学内容精当、层次清楚、语言规范、板书漂亮，问题设计合理，学生回答精妙，这无疑是近乎完美的优质课。然而美国代表团对此却提出质疑：“课堂上老师提出了很多问题，学生们对答如流，既然学生都知道了，这堂课还有必要去上吗？”是啊，我们传统的优质课怎么啦？让美国代表团惊奇的是：课堂上居然没有问题，没有错误！“没有问题的课堂才是问题最大的课堂。”错误是正确的先导，成功的开始。随着新一轮课改的深入，大家对课堂教学、对学生学习上出错有了更深的研究。无论何时，我们都希望展现真实的课堂。公开课、研究课提倡不要试教，不要铺垫，更不要彩排，要听原汁原味的、未经雕琢的家常课。因此，课堂上需要面对全体学生，关注所有的孩子，正视课堂上学生出现的各类错误。
二、揣摩错误，展现“多姿”的课堂
课堂上的错误，有些是教师能够预料到的。教师通过认真钻研教材，根据学生发生错误的规律，凭借教学经验，可以猜测学生学习某知识时可能发生哪些错误。教师可以通过有目的地预防、诱导，在学生积极的议错、理错中展现多姿的课堂。
1. 预计错误，防患未然
兵家言：知己知彼，百战百胜。只有了解学生，才能教好学生。预计错误，防患未然。教师要在课前解读课标、钻研教材，并针对实际情况来设计教案。教师要预想课堂中学生可能出现的种种错误，教学时才能相机行事，灵活选择有效的措施，把错误消灭在萌芽状态，在议错、辨错中提高学生分析和解决问题的能力。如教师应善于利用课前预设错误资源，在学生学习尚未发生偏差之前，把某些错误设法显示出来，引导学生从自己熟悉的角度，把握知识的要点，预防错误的发生。
如教学“圆锥的体积”时，学生认为圆锥体积一定是圆柱体积的1/3，教师立即要求学生分组做实验来验证：通过圆锥圆柱等底不等高，等高不等底，不等底不等高，等底等高四种情况，验证出只有等底等高的圆锥体积才是圆柱体积的1/3。正是因为教师了解这一结论的前提条件学生容易忽视，才产生让学生动手验证这一精心的预设，也正是因为有了这一预防，才有了防患未然。经历过这节课学习，学生一定会对“等底等高”念念不忘，这样教学目标自然达成了。
2. 将错就错，因势利导
教师要善于恰当设置一些“陷阱”，甚至诱导学生“犯错”，使其“上当”，当他们落入“陷阱”陶醉在“成功”的喜悦中时，指出他们的错误，并通过正误辨析，让他们从错误中猛醒过来，吸取教训，往往能收到“吃一堑，长一智”的效果。
如学习“能被2，3，5整除的数”，学完能被2，5整除的数的特征后，请同学们猜想能被3整除的数的特征，学生都认为“个位上是3，6，9的数都能被3整除”。等他们举实例验证时发现错误，探究的积极性更高了，知识学得也更扎实了。
三、捕捉错误，生成“出色”的课堂
错误人人皆有之，作为教师不利用是不可原谅的。英国一位心理学家说，数学实践是一个动态的、变化发展的过程，学生随时可能发生各种预测不到的错误。我们应及时捕捉错误这一教学资源，充分利用数学实践中“错误”这一“财富”，化弊为利，培养学生巧妙地利用错误，培养创造性思维。课堂教学在师生、生生互动中，随时可能发生错误的信息。教师要独具慧眼，及时捕捉稍纵即逝的错误并巧妙运用于教学活动中，锻炼驾驭课堂的能力，生成出色的课堂。
1. 关注错误，引导辨析
不拨“乱”反“正”，不让学生经历实践获得体验，过于“武断”地阻止学生迈向“错”的脚步，也就打击了他们学习数学的自信心。“正确”正是从“错误”的辨析、筛选中逐步形成的。出错，是因为学习是从问题开始，甚至是从错误开始的，有的错往往是学生对定向思维的反判和修正。正因为出错，才有点拨、解惑和辨析。
如圆锥侧面展开假如是三角形，应该是什么三角形？你用什么办法来证实？经过讨论，一致认为用事实来说话。有学生剪了一个等腰三角形，但怎么也围不出圆锥，缺了好大一块。有的用纸将圆锥的侧面蒙住，沿着边剪下一个图形展开，居然是扇形，事实胜于雄辩，大家亲历了这一过程，抹去了头脑中那些错误的猜想，主动建构新知。教师利用课堂上的突发性错误，化弊为利，既拓宽了学生的思维空间，又锻炼了思维的灵活性和创造性。
2. 善待错误，巧妙纠正
在数学知识的探索中，有错误是难免的，正如人生的旅程中，人总会犯下各种各样的错误。当学生在课堂上出现错误或产生问题时，教师不能视而不见，充耳不闻。要有容错的气度，蹲下身来，从学生的视角看待这些错误，让学生坦诚自己的想法，耐心倾听他们的表述，尊重学生的思维成果。与学生一起经历挫折，感受学习的快乐。
如“一块长方形铁皮，长16厘米，宽8厘米，假如用它剪直径2厘米的圆片，最多可以剪多少个？”学生根据以往的经验，往往用大面积除以每块小面积，即（16×8）÷[3.14×（2÷2）2]≈41（片）。然而，本题根本不能用这种方法去解答。于是，我引导学生画草图验证，学生豁然开朗：正确的解法是（16÷2）×（8÷2）=32（片），根本不可能剪出41片。也有学生想到：16×8÷（2×2）=32（片）。可见，经验是一把“双刃剑”，成功因为经验，错误也可能因为经验。善待学生学习中的错误，引导他们知其所以然，方能真正把握理解数学知识。
四、反思错误，构建“灵动”的课堂
从心理学的角度来说，反思是指自己思维、工作过程中的自我意识和自我监控。反思是一种主动“再熟悉”的过程，是思维的高级形式。积极养成反思习惯，对于巩固和深化教学成果，往往是事半功倍，而“学习 反思=专业成长”早已成为广大教师的共识。让学生带着问题进入教室，带着更多的问题走出教室是我们追求的一种理想境界。“教学相长”，通过反思错误，促进师生共同成长。
1. 学生反思，完善认知
议“错”是学生对自己错误的一种反思。课堂教学中积极培养学生的反思习惯，让学生在议错赏错过程中，放松思维，完善认知，体验成功。建构主义认为：学习不是简单地告诉，而是通过有意义的活动自主感悟、体验。在前例中提到的“长方形铁皮中最多可以剪多少个圆片”，学生普遍出错，等作图得出正确方法后，一定要引导大家去认真反思：以前做过的在长方形中剪多少个小正方形、小等腰直角三角形，或在一块地里根据株距、行距求一共可以种植多少棵白菜等习题，可以直接用大面积去除以每块的小面积，为什么这道题就不能呢？到底原因何在？教师通过引领学生体验错误，反思错误，感悟新方法，达到自主建构数学知识的目的。
2. 教师反思，教学相长
我们教师都要做一株“会思考的芦苇”。课堂教学中，学生的有些错误是根本预料不到的。课堂上来不及处理的错误，教师需要在课后静静地反思，尤其是带有普遍性的错误，大面积学生的错误在一定程度上折射出教师教学中的偏差。教师反思是为了更好地解决教学中的失误，寻找存在的问题，发现留下的遗憾，是教师自我教育、成长的最佳途径。教师反思，能促进教学水平的完善、提升，最终形成独特的教学风格。
数学课堂上学生的错误是一种宝贵的教学资源。课堂上学生出现的错误是美丽的，是孩子最朴实的思想最真实的暴露。学生出现的错误，教师一定要平和、理智地看待，并辅之以策略处理。不经历风雨，怎能见彩虹。在数学课堂教学中，教师只有巧妙地引导学生诱错、寻错、用错、议错、理错的探究过程，课堂才是活的，教学才是美的，教师才是称职的，教与学的活动才是最具有价值的。
（武义县壶山学区教学辅导站）