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【摘要】无痕教育的基本内涵是让学生感觉不到在受教育，是顺其自然的一种教育方式，是一种理想的教育境界。实施无痕教育具有四种基本策略，循序渐进中掌握是策略之三。要做到课堂教学在循序渐进中掌握，可以通过加强深度理解、建立认知结构、设计分层练习等几种方法实现。
【关键词】无痕教育 课堂策略 循序渐进 掌握
无痕教育的基本要义是隐藏目的与遵循规律，并通过不留痕迹的方式使学生在顺其自然的状态下获得更好的教育和发展。我们认为无痕教育理念下的课堂实施有四种基本策略：不知不觉中开始，潜移默化中理解，循序渐进中掌握，春风化雨中提升。本文以案例的方式解读第三种基本策略。
一、深度理解是掌握技能的前提
任何技能的掌握都离不开知识的理解。在基本技能的教学中，不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生对程序和步骤有深刻的理解。苏联数学教育家斯托利亚尔在谈到知识的巩固性教学原则时指出：“巩固性的原则要求学生长期地保持系统的知识、技能和技巧。如果对所学习的教材没有深刻的理解，仅仅靠死记，是不能实现这个原则的。”而笔者在上一篇文章里也谈到关于理解的三级水平：低级水平是知觉辨认，即“是什么”;中级水平是意义本质，即“怎么样”;高级水平是系统结构，即“为什么”。因此，高级水平的深度理解是掌握技能的必要条件。
【教学片段1】二年级《9的乘法口诀》
第一，让学生每人动手每次加9，从9加到81，观察发现得数之间有什么规律。
9
第二，让学生观察五角星图，在计算几行共有多少个五角星的同时编出乘法口诀。
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
第三，引发学生把几个9和几个10相比，从减法角度出发再次算出得数。
第四，由乘法口诀计算乘法算式的得数过渡到计算相关除法算式的商。
第五，提出“如果哪一句9的乘法口诀一下子想不出来，你有什么办法？”
最后，引入手指记忆法。
用手指可以帮助记住9的乘法口诀。你能看懂这些手势的意思吗？试一试，很快记住9的乘法口诀。
一般来说，乘法口诀的教学都是在理解乘法含义之后，由加法算式过渡到乘法算式，通过模仿与迁移编出每句口诀，然后通过强化练习，达到对乘法口诀的技能掌握。上述9的乘法口诀教学设计，不同于一般的口诀教学流程，而是打通了加减乘除四则运算思维，把乘法口诀的理解过程变成了规律探索过程和思维发展过程。通过展示直观的五角星图片，让学生动笔，亲自加一加，在动手实践中经历每次加9的过程，在潜移默化中初步感知几个9的数据由来及特征，为学习乘法口诀的含义做充分准备，也为探寻乘法口诀规律扫清障碍。在学生已初步了解得数特征的基础上，通过对比9与10之间的微妙关系，尝试从减法的角度发现9的乘法口诀规律的独特奥秘。有了前面的铺垫准备和例1五角星图的丰富感性积累，编制9的乘法口诀就水到渠成了。依据学生的学习现实，教师放手让学生自主编制口诀，使每个学生亲身经历口诀的由来过程。以此为基础，将着力点放在对9的乘法口诀规律的进一步探寻上。学生不仅能根据以前学习的前后口诀之间的一般规律进行推想，还能根据9的乘法口诀的特殊规律进行对比、归纳和推理。通过介绍手指记忆法，把每一個学生当作学习资源，运用每一个学生的双手来记忆9的乘法口诀，学生感到新奇、有趣。可以想象，学生对9的乘法口诀的理解和记忆自然延伸到课外，有效提高了学生学习的主动性和积极性。
二、认知结构是掌握技能的关键
布鲁纳曾经指出四条教学原则，第一条原则为“学习的实质是主动形成认知结构”。奥苏贝尔说：“所谓认知结构，就是学生头脑内的知识结构。”现代认知心理学研究告诉我们，学生学习数学的过程实际上是一个数学认知的过程，在这个过程中学生在教师的指导下把教材知识结构转化成自己的数学认知结构。如何把数学本身的知识结构转化为学生头脑中的认知结构？这就需要教师充分认识数学知识的内在本质与结构，从儿童的已有认知经验出发，以原有知识为基础对新的数学知识进行加工和改造，然后按照一定的方式将所要学习的新知识内化到头脑里面，使新旧知识融为一体，形成稳定的数学认知结构。
【教学片段2】六年级《解决问题的策略：替换》
例题：小明把720毫升果汁倒入6个小杯和1个大杯，正好都倒满。小杯的容量是大杯的。小杯和大杯的容量各是多少毫升？
变式题：把“小杯的容量是大杯的”改为“小杯的容量比大杯少20毫升”。
教师结合学生回答完善板书：
师：对比刚才进行的两次替换解决问题，你发现有什么不同？
生1：替换的依据不同，第一次依据“小杯的容量是大杯的”，第二次依据“小杯的容量比大杯少20毫升”。
生2：替换的结果不同，第一次结果总量不变，第二次结果总量变化了。
师：为什么第一次替换的结果不变而第二次结果变化了？
生：因为第一次是倍数关系，替换下来正好;第二次是相差关系，每次替换下来不正好。
师：再来观察两次替换中杯子的总个数，你有什么发现？
生1：倍数关系的替换，杯子总个数要么变多了（9个小杯），要么变少了（3个大杯）。
生2：相差关系的替换，杯子的总个数不变（都是9个杯子）。
师：是呀！果汁总量不变但杯子总个数却变了，果汁总量变了但杯子总个数却不变。数学就是这么奇妙，在变化和不变之间存在着内在规律，需要我们去发现。
数学是一门结构性很强的学科，知识只有形成结构才能达到深度理解并有可能产生新知识。在学生初步学习了倍数关系的替换策略之后，教师抓住替换的依据进行变式，由“小杯的容量是大杯的”改变为“小杯的容量比大杯少20毫升”，让学生进行替换策略的巩固，进而逐步形成结构化很强的板书。让学生观察板书时教师进行了三次思辨式提问（替换的依据、果汁的总量、杯子的总个数），适时组织学生讨论、辩论，从而使问题得到解决。这样的设计与教学，抓住两个量之间的关系，灵活变化，充分调动了学生的探究欲望，利用知识间的迁移，在循序渐进中突破了难点，并让学生在比较中内化已有知识结构，明确了倍比、差比两种不同类型的替换特征，在变化与不变中让学生探寻联系，感受到数学的一种规律美。 三、适度练习是掌握技能的保证
作为教育学的基本概念之一的技能是指个体运用已有的知识经验，通过练习而形成的一定的动作方式或智力活动方式。学生的数学技能形成具有阶段性特点，因此掌握技能不应一蹴而就，应该遵循数学技能的形成规律和儿童的认知特点，体现循序渐进与螺旋上升。过分重复与简单的练习容易使学生对学习失去兴趣与挑战性，而过早拔高难度与复杂的应用又容易造成基础知识和基本技能不扎实。 因此，基本技能的形成，需要一定量的训练，但要适度，不能依赖机械的重复操作，要注重训练的实效性。《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“教材编写建议”中指出：“习题的选择和编排突出层次性，设置巩固性问题、拓展性问题、探索性问题等。”
1.巩固性练习设计
【教学片段3】四年级《平均数》
（1）从“移多补少”到“取长补短”。
（课件先出示笔筒图，动态显示移多补少的过程，然后逐步变化为竖着的条形图，再变化为横着的条形图）
（2）从“取长补短”到“求和平分”。
（从横着的条形图变化为三条没有标注长度的带子图）
提问：如果用取长补短的方法，那最长的那条带子该剪下多长呢？中等长度的到底需不需要剪下一段呢？（引导学生产生对数据的需要，用求和平分的方法求平均数解决问题）
在学生初步理解平均数的来源和意义之后，如何灵活求出平均数是学生深度理解两种方法（移多补少和求和平分）的关键，也是学生从知识到方法的提升，是由理解到掌握的必由之路。移多补少法是学生在初步理解平均数时自然产生的方法，而求和平分法则是更为普遍与简洁的方法。教师没有机械地规定学生使用哪种方法，也没有让学生每题都要使用两种方法，而是设计了由具体到抽象、由简单到复杂、由单一到复合的方法，让学生学会选择与应用：笔筒直观图，学生直接移多补少得出平均数;竖式条形图，学生由实物图到条形图进行移多补少;横式条形图，学生由移多补少联想到取长补短;没有数据的彩带图，学生用移多补少法无法准确进行操作;有数据的彩带条形图，学生体验求和平分法的简便。这样的设计，帮助学生沟通了移多补少法与求和平分法之间的内在联系，以形成灵活的应用技能，达到对平均数的深度理解。
2.拓展性练习设计
【教学片段4】三年级《认识小数》
教师在学生初步学习例题之后，设计了三次拓展变式：
（1）第一次变式。（从长条图表示人民币单位1元变式为表示长度单位1米）
（2）第二次变式。（从一根长条图分解叠加变式为正方形，并且从数量变为数“1”）
（3）第三次变式。（从正方形图拆解、拼接、浓缩变式为带有箭头的直线）
学生首次认识和理解小数的含义需要完成认知上的飞跃。生活中最常见的小数常常出现在商品标价上，因此初次认识小数时从商品价格入手（即例题学习），但是要让学生认识到小数其实就是十进分数，还需要进一步的感知积累。第一次变式由人民币单位发展为长度单位，学生积累起丰富的感性经验：1角→元→0.1元，1分米→米→0.1米。第二次变式由具体的数量发展为单纯的数（“1”），让学生用分数和小数表示涂色部分，进而逐步理解了小数的由来，即“整数→分数→小数”。第三次变式由正方形演变为带箭头的直线，进一步抽象，使学生逐渐沟通起小数与整数、分数之间的密切联系。三次变式拓展，让学生在动手实践的基础上进行观察、模仿、比较、归纳，经历由具体的数量转化过渡到一般的十进分数，让学生在有序的数学思维活动过程中逐步感知小数的含义，形成小数的正确读写以及小数和分数、整数之间的互化技能。
3.探索性练习设计
【教学片段5】四年级《解决问题的策略：画图》
出示探索题的基本条件：张庄小学原来有一个长方形操场，长50米，宽40米。
（1）出示初步探索的条件和问题：（要求学生在头脑中画图）
①长增加8米，面积增加多少平方米？
（40×8=320）
②宽增加8米，面积增加多少平方米？
（50×8=400）
（2）出示再次探索的问题：（要求学生先脑中画图再纸上验证）
③长和宽各增加8米，面积增加多少平方米？
（学生容易产生负迁移，错误列式为320 400=720）
通过画图，学生可能出现的正确方法有：
方法一： 40×8 50×8 8×8
方法二：（50 8）×（40 8） -50×40
方法三：（50 8）×8 40×8
方法四： （40 8）×8 50×8
长和宽各减少8米，面积减少多少平方米？
（3）出示深入探索的条件和问题：（要求先猜测答案再画图验证）
④长增加8米，宽减少8米，面积改变吗？为什么？⑤长减少8米，宽增加8米呢？为什么？⑥有没有一种长方形，一条边增加与另一条边减少相同长度，面积不变？
对于四年级学生来说，画图解决图形面积变化问题是有一定难度的。这道练习题充满了探索性，充分体现了画图策略的价值所在。教师采用一题多变的方式，让学生在运用画图策略的過程中探索变化规律，享受数学思维活动的快乐。首先，题目出示的方式具有心理暗示的效应：先以文字的“误导”让学生轻易地获得答案，再通过画图的策略寻找问题的关键，并通过对比让学生充分感受到画图的价值。接下来的变式设计，更是把数学思维推向高潮：由“各增加”到“各减少”的演变使学生的思维更加趋向严密，由长增加（减少）同时宽减少（增加）相同长度而猜想面积的变化情况，培养学生的对比推理能力，再通过“变化”和“不变”的追问让学生体悟到数学辩证法思想。这道拓展题的精心设计，紧紧围绕画图策略，让学生不断猜测、验证和联想、推理，经历不同情形下的数形变化，探究图形变化中的内在规律，引导学生在数学思维活动中获得成功体验。
【关键词】无痕教育 课堂策略 循序渐进 掌握
无痕教育的基本要义是隐藏目的与遵循规律，并通过不留痕迹的方式使学生在顺其自然的状态下获得更好的教育和发展。我们认为无痕教育理念下的课堂实施有四种基本策略：不知不觉中开始，潜移默化中理解，循序渐进中掌握，春风化雨中提升。本文以案例的方式解读第三种基本策略。
一、深度理解是掌握技能的前提
任何技能的掌握都离不开知识的理解。在基本技能的教学中，不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生对程序和步骤有深刻的理解。苏联数学教育家斯托利亚尔在谈到知识的巩固性教学原则时指出：“巩固性的原则要求学生长期地保持系统的知识、技能和技巧。如果对所学习的教材没有深刻的理解，仅仅靠死记，是不能实现这个原则的。”而笔者在上一篇文章里也谈到关于理解的三级水平：低级水平是知觉辨认，即“是什么”;中级水平是意义本质，即“怎么样”;高级水平是系统结构，即“为什么”。因此，高级水平的深度理解是掌握技能的必要条件。
【教学片段1】二年级《9的乘法口诀》
第一，让学生每人动手每次加9，从9加到81，观察发现得数之间有什么规律。
9
第二，让学生观察五角星图，在计算几行共有多少个五角星的同时编出乘法口诀。
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
第三，引发学生把几个9和几个10相比，从减法角度出发再次算出得数。
第四，由乘法口诀计算乘法算式的得数过渡到计算相关除法算式的商。
第五，提出“如果哪一句9的乘法口诀一下子想不出来，你有什么办法？”
最后，引入手指记忆法。
用手指可以帮助记住9的乘法口诀。你能看懂这些手势的意思吗？试一试，很快记住9的乘法口诀。
一般来说，乘法口诀的教学都是在理解乘法含义之后，由加法算式过渡到乘法算式，通过模仿与迁移编出每句口诀，然后通过强化练习，达到对乘法口诀的技能掌握。上述9的乘法口诀教学设计，不同于一般的口诀教学流程，而是打通了加减乘除四则运算思维，把乘法口诀的理解过程变成了规律探索过程和思维发展过程。通过展示直观的五角星图片，让学生动笔，亲自加一加，在动手实践中经历每次加9的过程，在潜移默化中初步感知几个9的数据由来及特征，为学习乘法口诀的含义做充分准备，也为探寻乘法口诀规律扫清障碍。在学生已初步了解得数特征的基础上，通过对比9与10之间的微妙关系，尝试从减法的角度发现9的乘法口诀规律的独特奥秘。有了前面的铺垫准备和例1五角星图的丰富感性积累，编制9的乘法口诀就水到渠成了。依据学生的学习现实，教师放手让学生自主编制口诀，使每个学生亲身经历口诀的由来过程。以此为基础，将着力点放在对9的乘法口诀规律的进一步探寻上。学生不仅能根据以前学习的前后口诀之间的一般规律进行推想，还能根据9的乘法口诀的特殊规律进行对比、归纳和推理。通过介绍手指记忆法，把每一個学生当作学习资源，运用每一个学生的双手来记忆9的乘法口诀，学生感到新奇、有趣。可以想象，学生对9的乘法口诀的理解和记忆自然延伸到课外，有效提高了学生学习的主动性和积极性。
二、认知结构是掌握技能的关键
布鲁纳曾经指出四条教学原则，第一条原则为“学习的实质是主动形成认知结构”。奥苏贝尔说：“所谓认知结构，就是学生头脑内的知识结构。”现代认知心理学研究告诉我们，学生学习数学的过程实际上是一个数学认知的过程，在这个过程中学生在教师的指导下把教材知识结构转化成自己的数学认知结构。如何把数学本身的知识结构转化为学生头脑中的认知结构？这就需要教师充分认识数学知识的内在本质与结构，从儿童的已有认知经验出发，以原有知识为基础对新的数学知识进行加工和改造，然后按照一定的方式将所要学习的新知识内化到头脑里面，使新旧知识融为一体，形成稳定的数学认知结构。
【教学片段2】六年级《解决问题的策略：替换》
例题：小明把720毫升果汁倒入6个小杯和1个大杯，正好都倒满。小杯的容量是大杯的。小杯和大杯的容量各是多少毫升？
变式题：把“小杯的容量是大杯的”改为“小杯的容量比大杯少20毫升”。
教师结合学生回答完善板书：
师：对比刚才进行的两次替换解决问题，你发现有什么不同？
生1：替换的依据不同，第一次依据“小杯的容量是大杯的”，第二次依据“小杯的容量比大杯少20毫升”。
生2：替换的结果不同，第一次结果总量不变，第二次结果总量变化了。
师：为什么第一次替换的结果不变而第二次结果变化了？
生：因为第一次是倍数关系，替换下来正好;第二次是相差关系，每次替换下来不正好。
师：再来观察两次替换中杯子的总个数，你有什么发现？
生1：倍数关系的替换，杯子总个数要么变多了（9个小杯），要么变少了（3个大杯）。
生2：相差关系的替换，杯子的总个数不变（都是9个杯子）。
师：是呀！果汁总量不变但杯子总个数却变了，果汁总量变了但杯子总个数却不变。数学就是这么奇妙，在变化和不变之间存在着内在规律，需要我们去发现。
数学是一门结构性很强的学科，知识只有形成结构才能达到深度理解并有可能产生新知识。在学生初步学习了倍数关系的替换策略之后，教师抓住替换的依据进行变式，由“小杯的容量是大杯的”改变为“小杯的容量比大杯少20毫升”，让学生进行替换策略的巩固，进而逐步形成结构化很强的板书。让学生观察板书时教师进行了三次思辨式提问（替换的依据、果汁的总量、杯子的总个数），适时组织学生讨论、辩论，从而使问题得到解决。这样的设计与教学，抓住两个量之间的关系，灵活变化，充分调动了学生的探究欲望，利用知识间的迁移，在循序渐进中突破了难点，并让学生在比较中内化已有知识结构，明确了倍比、差比两种不同类型的替换特征，在变化与不变中让学生探寻联系，感受到数学的一种规律美。 三、适度练习是掌握技能的保证
作为教育学的基本概念之一的技能是指个体运用已有的知识经验，通过练习而形成的一定的动作方式或智力活动方式。学生的数学技能形成具有阶段性特点，因此掌握技能不应一蹴而就，应该遵循数学技能的形成规律和儿童的认知特点，体现循序渐进与螺旋上升。过分重复与简单的练习容易使学生对学习失去兴趣与挑战性，而过早拔高难度与复杂的应用又容易造成基础知识和基本技能不扎实。 因此，基本技能的形成，需要一定量的训练，但要适度，不能依赖机械的重复操作，要注重训练的实效性。《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“教材编写建议”中指出：“习题的选择和编排突出层次性，设置巩固性问题、拓展性问题、探索性问题等。”
1.巩固性练习设计
【教学片段3】四年级《平均数》
（1）从“移多补少”到“取长补短”。
（课件先出示笔筒图，动态显示移多补少的过程，然后逐步变化为竖着的条形图，再变化为横着的条形图）
（2）从“取长补短”到“求和平分”。
（从横着的条形图变化为三条没有标注长度的带子图）
提问：如果用取长补短的方法，那最长的那条带子该剪下多长呢？中等长度的到底需不需要剪下一段呢？（引导学生产生对数据的需要，用求和平分的方法求平均数解决问题）
在学生初步理解平均数的来源和意义之后，如何灵活求出平均数是学生深度理解两种方法（移多补少和求和平分）的关键，也是学生从知识到方法的提升，是由理解到掌握的必由之路。移多补少法是学生在初步理解平均数时自然产生的方法，而求和平分法则是更为普遍与简洁的方法。教师没有机械地规定学生使用哪种方法，也没有让学生每题都要使用两种方法，而是设计了由具体到抽象、由简单到复杂、由单一到复合的方法，让学生学会选择与应用：笔筒直观图，学生直接移多补少得出平均数;竖式条形图，学生由实物图到条形图进行移多补少;横式条形图，学生由移多补少联想到取长补短;没有数据的彩带图，学生用移多补少法无法准确进行操作;有数据的彩带条形图，学生体验求和平分法的简便。这样的设计，帮助学生沟通了移多补少法与求和平分法之间的内在联系，以形成灵活的应用技能，达到对平均数的深度理解。
2.拓展性练习设计
【教学片段4】三年级《认识小数》
教师在学生初步学习例题之后，设计了三次拓展变式：
（1）第一次变式。（从长条图表示人民币单位1元变式为表示长度单位1米）
（2）第二次变式。（从一根长条图分解叠加变式为正方形，并且从数量变为数“1”）
（3）第三次变式。（从正方形图拆解、拼接、浓缩变式为带有箭头的直线）
学生首次认识和理解小数的含义需要完成认知上的飞跃。生活中最常见的小数常常出现在商品标价上，因此初次认识小数时从商品价格入手（即例题学习），但是要让学生认识到小数其实就是十进分数，还需要进一步的感知积累。第一次变式由人民币单位发展为长度单位，学生积累起丰富的感性经验：1角→元→0.1元，1分米→米→0.1米。第二次变式由具体的数量发展为单纯的数（“1”），让学生用分数和小数表示涂色部分，进而逐步理解了小数的由来，即“整数→分数→小数”。第三次变式由正方形演变为带箭头的直线，进一步抽象，使学生逐渐沟通起小数与整数、分数之间的密切联系。三次变式拓展，让学生在动手实践的基础上进行观察、模仿、比较、归纳，经历由具体的数量转化过渡到一般的十进分数，让学生在有序的数学思维活动过程中逐步感知小数的含义，形成小数的正确读写以及小数和分数、整数之间的互化技能。
3.探索性练习设计
【教学片段5】四年级《解决问题的策略：画图》
出示探索题的基本条件：张庄小学原来有一个长方形操场，长50米，宽40米。
（1）出示初步探索的条件和问题：（要求学生在头脑中画图）
①长增加8米，面积增加多少平方米？
（40×8=320）
②宽增加8米，面积增加多少平方米？
（50×8=400）
（2）出示再次探索的问题：（要求学生先脑中画图再纸上验证）
③长和宽各增加8米，面积增加多少平方米？
（学生容易产生负迁移，错误列式为320 400=720）
通过画图，学生可能出现的正确方法有：
方法一： 40×8 50×8 8×8
方法二：（50 8）×（40 8） -50×40
方法三：（50 8）×8 40×8
方法四： （40 8）×8 50×8
长和宽各减少8米，面积减少多少平方米？
（3）出示深入探索的条件和问题：（要求先猜测答案再画图验证）
④长增加8米，宽减少8米，面积改变吗？为什么？⑤长减少8米，宽增加8米呢？为什么？⑥有没有一种长方形，一条边增加与另一条边减少相同长度，面积不变？
对于四年级学生来说，画图解决图形面积变化问题是有一定难度的。这道练习题充满了探索性，充分体现了画图策略的价值所在。教师采用一题多变的方式，让学生在运用画图策略的過程中探索变化规律，享受数学思维活动的快乐。首先，题目出示的方式具有心理暗示的效应：先以文字的“误导”让学生轻易地获得答案，再通过画图的策略寻找问题的关键，并通过对比让学生充分感受到画图的价值。接下来的变式设计，更是把数学思维推向高潮：由“各增加”到“各减少”的演变使学生的思维更加趋向严密，由长增加（减少）同时宽减少（增加）相同长度而猜想面积的变化情况，培养学生的对比推理能力，再通过“变化”和“不变”的追问让学生体悟到数学辩证法思想。这道拓展题的精心设计，紧紧围绕画图策略，让学生不断猜测、验证和联想、推理，经历不同情形下的数形变化，探究图形变化中的内在规律，引导学生在数学思维活动中获得成功体验。