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一、案例呈现
(一)简单引入
从三角形内角和定理出发,直奔主题:学习四边形内角和定理。
(二)提出问题
根据学生所说“四边形内角和是360度”,我提出问题:“数学是很严谨的,这个结论需要我们经过证明,今天我们来研究如何证明这个定理。书本上介绍了一种方法,想必大家已经预习了,通过连结对角线把四边形转化为两个三角形的办法(出示图形,并指出这就是数学的转化化归思想)。还有其他方法吗?同学们可以单独思考,也可以与同桌小声讨论。”
不到两分钟,意料外的数学学习场景出现了。女生蒋淑倩站起来说:“我的证明方法是把四边形的其中三个角撕下来拼到剩下的一个角,发现四个角恰好组成一个周角,所以说四边形四个内角和为360度。”她的讲话引起大家的哄笑,都说,这不算证明。
我笑着鼓励说:“这是一个很好的验证方法,是一种数学实验法,但是数学要有严密的推理,才能证明定理的正确性。”
个子小巧的车路毅走上讲台,在黑板上画下一个四边形,连接了两条对角线(如图1),解释道:“两条对角线把四边形分割成四个三角形,内角和为4×180=720度,再减去对角线交点围成的周角,可以得到四边形内角和是360度。”掌声一片,同学认可了他的证明过程。车同学高兴地走下去。
女生朱军霞抢着走上讲台,画了一个四边形(如图2),说:“在边上任意取一个点P,连接另两个顶点,得到三个三角形,内角和为3×180=540度,再减去平角∠BPC,得到结论。”
蒋淑倩又举手说:“那P点可以任意在四边形内取,只要连接四个顶点均可以证明出结论。”说罢走上讲台演示一番(如图3)。
看到课堂气氛比较热烈,我不失时机地说:“看来大家的思路很开阔,可见我们班同学的学习思维能力很强,不知还有其他办法吗?”
学生都跃跃欲试,课堂气氛更加热烈了。
瘦高的男生丁国炯举手了,说:“老师,我有一种方法而且一定是对的。”他是个爱钻研的学生,我让他来讲解,他画了图(如图4),通过外角性质,把∠ABD,∠ADB搬到外角∠PAB,四边形内角和转化到平角∠PAD加上△BCD的内角和,也是360度。
数学科代表钱荧荧站起来接着说:“老师,我也有利用外角来求解的方法。”此时,教室内的气氛高涨到了极点,不同成绩水平的学生都睁大了眼,积极思考着。
钱荧荧在黑板上画了图(如图5),说:“延长BA,CD交于点P,由外角性质得到∠1=∠4+∠P,∠2=∠3+∠P,四边形内角转化为△PAD与△PBC两个三角形的内角和,恰好是360度。”看着她开心地走到座位,我心中真为学生有这样的思维能力而高兴。
这时,数学平时成绩比较差的男生沈思涛也举手了。我见他举手,心中一阵窃喜,请他上来,他腼腆地说:“我不知道对不对。”我和其他同学使劲鼓掌说:“没有关系,说吧!”
他在黑板上画了图(如图6),说:“过A、D作垂线交BC于E、F,利用垂直性质得到∠1+∠B=90度,∠2+∠C=90度,再根据垂线AE、DF互相平行有同旁内角∠3+∠4=180度,所以也得到四边形内角和是360度。”他的话音刚落,掌声雷动。我心中泛起无限感慨:多么缜密的思维,一个平时不被看好的学生,一旦潜能被激发,能力真是无可限量,看来我们真应该多关注他们啊。
到此,学生的学习探究热情完全被点燃,纷纷提出自己的证明方法。一堂课下来,学生共发现了十种证明方法。下课后,我带着得意的神情和喜悦的心情走出教室,忍不住感慨:“数学真奇妙,我的学生真好!”
二、案例分析和反思
这是一节很平常的课,但是却反映了很多值得思考的问题。
(一)数学思想是数学的灵魂
“数学为其他科学提供了语言、思想和方法,它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。”确实,数学思想是数学的灵魂。
什么是数学思想?新课标提出,数学思想是对数学知识和方法的本质认识,是对数学规律的理性认识。数学思想蕴涵在数学知识的发生、发展和应用的过程中。数学思想主要包括数形结合、分类讨论、转化化归、方程函数等。它不仅运用在数学问题的解决上,更是生活、工作的一种思维方式,所以可以说是它影响到人的生长。
将复杂问题转化为简单问题,将陌生问题转化为熟悉问题,将新的问题转化为已学知识的问题,等等,就是转化思想的运用。在上述案例中,学生都想到了把四边形转化成三角形,从三角形内角和、平行线性质和三角形外角的知识去求得结论,这就是数学转化思想的体现。
三角形是最基本的几何图形,三角形性质及其有关的研究方法,都是研究探索多边形的基础,换言之,多边形问题都可以从不同的角度转化为三角形问题。如,研究平行四边形的有关问题需要把平行四边形转化成三角形来解决的,其中三角形全等的性质与判定是一个基本工具。又如,梯形是一种不同于平行四边形的一种特殊四边形,解决梯形问题的关键,是通过作高、平移或延长等把梯形问题转化为三角形或平行四边形来解决。几何解题中,可以添加适当的辅助线,目的就是沟通已知与未知条件之间的关系,可构造、分解成基本图形。这些都体现了转化的数学思想。
(二)建立情感课堂
教学应该在一个民主、宽松、和谐的课堂氛围中进行,让学生在紧张、愉悦中活跃思维、感受学习的快乐。对于教师而言,这里还涉及两个问题:教学激情和教学智慧。
数学教师在课堂上解决数学问题特别需要激情,要让学生感受数学推理的严谨、数学问题的博大精深和数学知识的美妙。一个没有激情的数学老师往往也讲不好一个题目,讲不清数学的原理。
教学智慧是“教师面临复杂教学情境所表现出的一种敏感、迅速、准确的判断能力”。教学智慧强调教学情境,是一种关于教学践行的知识,它和教学经验的关系十分密切。教学智慧大部分是由突发事件、特殊情境和意外情况“逼”出来的,是教师个人应变能力和意外情况撞击而迅速迸发的火花。在上述案例中,我只是准备了两种证明四边形内角和定理的方法,但是当发现学生对定理的证明过程很有兴趣时,我便放弃了原来的教学设计,索性给予学生充分的时间,让学生能够充分表达,而学生的表述也很有创造性。
(三)开展有价值的探究活动
新课标强调,教师要向学生提供充分从事数学学习的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验。数学内容有许多可以通过探究来获得知识,这个过程本身就是数学学习的过程。但是,当前的数学课堂也存在一些假探究。所谓假探究,就是一些数学问题不需要探究就可以顺利解决,但是教师却让学生花大量时间来进行所谓的探究。要实现有价值的探究,须注意两个问题:材料本身有探究的价值与探究的意义;在探究中让学生有充分思考的时间。在上述案例中,如果我没有给学生思考与探索的时间,就不会有这么丰富的结果。
(一)简单引入
从三角形内角和定理出发,直奔主题:学习四边形内角和定理。
(二)提出问题
根据学生所说“四边形内角和是360度”,我提出问题:“数学是很严谨的,这个结论需要我们经过证明,今天我们来研究如何证明这个定理。书本上介绍了一种方法,想必大家已经预习了,通过连结对角线把四边形转化为两个三角形的办法(出示图形,并指出这就是数学的转化化归思想)。还有其他方法吗?同学们可以单独思考,也可以与同桌小声讨论。”
不到两分钟,意料外的数学学习场景出现了。女生蒋淑倩站起来说:“我的证明方法是把四边形的其中三个角撕下来拼到剩下的一个角,发现四个角恰好组成一个周角,所以说四边形四个内角和为360度。”她的讲话引起大家的哄笑,都说,这不算证明。
我笑着鼓励说:“这是一个很好的验证方法,是一种数学实验法,但是数学要有严密的推理,才能证明定理的正确性。”
个子小巧的车路毅走上讲台,在黑板上画下一个四边形,连接了两条对角线(如图1),解释道:“两条对角线把四边形分割成四个三角形,内角和为4×180=720度,再减去对角线交点围成的周角,可以得到四边形内角和是360度。”掌声一片,同学认可了他的证明过程。车同学高兴地走下去。
女生朱军霞抢着走上讲台,画了一个四边形(如图2),说:“在边上任意取一个点P,连接另两个顶点,得到三个三角形,内角和为3×180=540度,再减去平角∠BPC,得到结论。”
蒋淑倩又举手说:“那P点可以任意在四边形内取,只要连接四个顶点均可以证明出结论。”说罢走上讲台演示一番(如图3)。
看到课堂气氛比较热烈,我不失时机地说:“看来大家的思路很开阔,可见我们班同学的学习思维能力很强,不知还有其他办法吗?”
学生都跃跃欲试,课堂气氛更加热烈了。
瘦高的男生丁国炯举手了,说:“老师,我有一种方法而且一定是对的。”他是个爱钻研的学生,我让他来讲解,他画了图(如图4),通过外角性质,把∠ABD,∠ADB搬到外角∠PAB,四边形内角和转化到平角∠PAD加上△BCD的内角和,也是360度。
数学科代表钱荧荧站起来接着说:“老师,我也有利用外角来求解的方法。”此时,教室内的气氛高涨到了极点,不同成绩水平的学生都睁大了眼,积极思考着。
钱荧荧在黑板上画了图(如图5),说:“延长BA,CD交于点P,由外角性质得到∠1=∠4+∠P,∠2=∠3+∠P,四边形内角转化为△PAD与△PBC两个三角形的内角和,恰好是360度。”看着她开心地走到座位,我心中真为学生有这样的思维能力而高兴。
这时,数学平时成绩比较差的男生沈思涛也举手了。我见他举手,心中一阵窃喜,请他上来,他腼腆地说:“我不知道对不对。”我和其他同学使劲鼓掌说:“没有关系,说吧!”
他在黑板上画了图(如图6),说:“过A、D作垂线交BC于E、F,利用垂直性质得到∠1+∠B=90度,∠2+∠C=90度,再根据垂线AE、DF互相平行有同旁内角∠3+∠4=180度,所以也得到四边形内角和是360度。”他的话音刚落,掌声雷动。我心中泛起无限感慨:多么缜密的思维,一个平时不被看好的学生,一旦潜能被激发,能力真是无可限量,看来我们真应该多关注他们啊。
到此,学生的学习探究热情完全被点燃,纷纷提出自己的证明方法。一堂课下来,学生共发现了十种证明方法。下课后,我带着得意的神情和喜悦的心情走出教室,忍不住感慨:“数学真奇妙,我的学生真好!”
二、案例分析和反思
这是一节很平常的课,但是却反映了很多值得思考的问题。
(一)数学思想是数学的灵魂
“数学为其他科学提供了语言、思想和方法,它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。”确实,数学思想是数学的灵魂。
什么是数学思想?新课标提出,数学思想是对数学知识和方法的本质认识,是对数学规律的理性认识。数学思想蕴涵在数学知识的发生、发展和应用的过程中。数学思想主要包括数形结合、分类讨论、转化化归、方程函数等。它不仅运用在数学问题的解决上,更是生活、工作的一种思维方式,所以可以说是它影响到人的生长。
将复杂问题转化为简单问题,将陌生问题转化为熟悉问题,将新的问题转化为已学知识的问题,等等,就是转化思想的运用。在上述案例中,学生都想到了把四边形转化成三角形,从三角形内角和、平行线性质和三角形外角的知识去求得结论,这就是数学转化思想的体现。
三角形是最基本的几何图形,三角形性质及其有关的研究方法,都是研究探索多边形的基础,换言之,多边形问题都可以从不同的角度转化为三角形问题。如,研究平行四边形的有关问题需要把平行四边形转化成三角形来解决的,其中三角形全等的性质与判定是一个基本工具。又如,梯形是一种不同于平行四边形的一种特殊四边形,解决梯形问题的关键,是通过作高、平移或延长等把梯形问题转化为三角形或平行四边形来解决。几何解题中,可以添加适当的辅助线,目的就是沟通已知与未知条件之间的关系,可构造、分解成基本图形。这些都体现了转化的数学思想。
(二)建立情感课堂
教学应该在一个民主、宽松、和谐的课堂氛围中进行,让学生在紧张、愉悦中活跃思维、感受学习的快乐。对于教师而言,这里还涉及两个问题:教学激情和教学智慧。
数学教师在课堂上解决数学问题特别需要激情,要让学生感受数学推理的严谨、数学问题的博大精深和数学知识的美妙。一个没有激情的数学老师往往也讲不好一个题目,讲不清数学的原理。
教学智慧是“教师面临复杂教学情境所表现出的一种敏感、迅速、准确的判断能力”。教学智慧强调教学情境,是一种关于教学践行的知识,它和教学经验的关系十分密切。教学智慧大部分是由突发事件、特殊情境和意外情况“逼”出来的,是教师个人应变能力和意外情况撞击而迅速迸发的火花。在上述案例中,我只是准备了两种证明四边形内角和定理的方法,但是当发现学生对定理的证明过程很有兴趣时,我便放弃了原来的教学设计,索性给予学生充分的时间,让学生能够充分表达,而学生的表述也很有创造性。
(三)开展有价值的探究活动
新课标强调,教师要向学生提供充分从事数学学习的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验。数学内容有许多可以通过探究来获得知识,这个过程本身就是数学学习的过程。但是,当前的数学课堂也存在一些假探究。所谓假探究,就是一些数学问题不需要探究就可以顺利解决,但是教师却让学生花大量时间来进行所谓的探究。要实现有价值的探究,须注意两个问题:材料本身有探究的价值与探究的意义;在探究中让学生有充分思考的时间。在上述案例中,如果我没有给学生思考与探索的时间,就不会有这么丰富的结果。