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抽象函数因其“抽象”而成为难点，而它是表示函数性质的载体，所以又成为函数部分的重点.在考查抽象函数的诸多问题中,有些函数是周期函数,但其周期往往隐含在已知条件中,只要求得其周期，即可化未知为已知,问题便会迎刃而解.本文给出几种探求抽象函数周期的方法，并通过近年高考题的简易解决加以说明.
一、 由已知函数的关系式推导周期
例如,已知函数 f(x)在定义域上满足f(x+T)=-f(x)或f(x+T)=-1f(x)，则可推得2T为该函数的一个周期．
例1(2009年山东卷文)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x-4)=-f(x),且在区间［0，2］上是增函数,则
A.f(-25)＜f(11)＜f(80)
B. f(80)＜f(11)＜f(-25)
C.f(11)＜f(80)＜f(-25)
D.f(-25)＜f(80)＜f(11)
解析：由f(x-4)=-f(x),得f(x-8)=f(x),所以f(x)是以8为周期的周期函数,则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3),又因为f(x)在R上是奇函数,f(0)=0,得f(80)=f(0)=0,f(-25)=f(-1)=-f(1),又由f(x-4)=-f(x)得f(11)=f(3)=-f(-3)=-f(1-4)=f(1),因为f(x)在区间［0,2］上是增函数,所以f(1)＞f(0)=0,所以-f(1)＜0,即f(-25)＜f(80)＜f(11),故选D.
例2(2009年四川卷)已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数且x都有xf(x+1)=(1+x)f(x)，则ff52的值是（）
A. 0B. 12
C. 1D. 52
解析：由xf(x+1)=(x+1)f(x)，得f(x+1)x+1=f(x)x,令g(x)=f(x)x（x≠0），则有g(x+1)=g(x)(x≠-1)，因为f(x)是偶函数，则g(x)为奇函数，且g(x)是周期函数，1是它的一个周期，则有f52=52g52，g52=g12,而g12=g-1+12=g-12=-g12, ∴ g12=0, ∴ g52=0, f52=0, ∴ ff52=f(0),又由已知得f(0)=0f(1)=0，故选A.
评注：本题也可用特值法求得f52=0,进而得到答案，但以上构造新函数利用周期的解法更严谨，更能体现数学的本质.
二、 利用对称性与周期性的“定理”直接求得周期
定理1: 若函数y=f(x)图象同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b）,则y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是其一个周期．
定理2：若函数y=f(x)图象同时关于点 A（a,c）和点B（b,c）成中心对称 （a≠b），则 y=f(x)是周期函数，且 2|a-b|是其一个周期.
定理3: 若函数 y=f(x)图象关于点 A（a,c） 成中心对称，又关于直线x=b成轴对称 （a≠b），则y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是其一个周期．
以上定理可散见于多种资料，其证明在此从略.在做选择、填空题时可直接利用；做解答题时也可利用此定理先知道函数的一个周期，再加上必要的推证步骤即可，这种“先知先觉”将极大地缩短思维的距离.
例3（2007年天津卷）在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)=f(2-x)在区间［1，2］上是减函数，则f(x)
A. 在区间［-2，-1］上是增函数，在区间［3，4］上是增函数
B. 在区间［-2，-1］上是增函数，在区间［3，4］上是减函数
C. 在区间［-2，-1］上是减函数，在区间［3，4］上是增函数
D. 在区间［-2，-1］上是减函数，在区间［3，4］上是减函数
解析:由已知条件可知f(x)的图象关于x=0和x=1成轴对称，则由定理1知其一个周期为2，又由f(x)则［1，2］上是减函数，得在区间［3，4］上也是减函数；又f(x)是偶函数,图象关于轴对称，知在［-2，-1］上是增函数,故选B.
例4(2009年山东卷理)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x)，且在区间［0，2］上是增函数．若方程f(x)=m(m＞0)，在区间［-8，8］上有四个不同的根x1，x2，x3，x4,则 x1+x2+x3=.
解析：因为定义在R上的奇函数，所以f(x)的图象关于点（0，0）成中心对称，又满足f(x-4)=-f（x）,即f(x-4)=f(-x),所以函数图象关于直线x=-2成轴对称,则由定理3可知,f(x)为周期函数,其一个周期为4×|-2-0|=8.又因为f(x)在区间［0,2］上是增函数,所以f(x)在区间［-2,0］上也是增函数.如图所示,方程f(x)=m(m＞0)在区间［-8，8］上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1＜x2＜x3＜x4，由对称性知x1+x2=-12，x3+x4=4，故x1+x2+x3+x4=12+4=-8.
评注：从例3、例4、例5可以看出，抽象函数的周期性往往隐含在奇偶性的条件中，故常常实施以下转化：奇偶性对称性周期性，即由已知中的奇偶条件转化为原函数关于某直线的轴对称或某点的中心对称，然后用以上三个定理即可得到该函数的周期.此过程简单明快，而求得其周期是解题的关键！
三、 用特殊值法推断周期
例5(2010年重庆卷理)已知函数f(x)满足：f(1)=14，4f(x)f(y)=f（x+y）+f(x-y)，（x,y∈R），则f(2010) ．
解析： 法1： ∵ f(1)=14，取x=1，y=0得f(0)=12，依次对x,y取特殊值，易求得f(2)=-14，f(3)=-12，f(4)=-14，f(5)=14，f(6)=12，对照f(0)=12，可得周期为6.
法2： ∵ f(1)=14,令y=1，得f(x)=f(x+1)+f(x-1)，即f(x+1)=f(x)-f(x-1)，∴ f(x+2)=f(x+1)-f(x)=-f(x-1)，
∴ f(x+3)=f（x+1+2）=-f(x)，
则f(x+6)=f(x)，即得周期为6.故f(2010)=f(0)=12.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
一、 由已知函数的关系式推导周期
例如,已知函数 f(x)在定义域上满足f(x+T)=-f(x)或f(x+T)=-1f(x)，则可推得2T为该函数的一个周期．
例1(2009年山东卷文)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x-4)=-f(x),且在区间［0，2］上是增函数,则
A.f(-25)＜f(11)＜f(80)
B. f(80)＜f(11)＜f(-25)
C.f(11)＜f(80)＜f(-25)
D.f(-25)＜f(80)＜f(11)
解析：由f(x-4)=-f(x),得f(x-8)=f(x),所以f(x)是以8为周期的周期函数,则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3),又因为f(x)在R上是奇函数,f(0)=0,得f(80)=f(0)=0,f(-25)=f(-1)=-f(1),又由f(x-4)=-f(x)得f(11)=f(3)=-f(-3)=-f(1-4)=f(1),因为f(x)在区间［0,2］上是增函数,所以f(1)＞f(0)=0,所以-f(1)＜0,即f(-25)＜f(80)＜f(11),故选D.
例2(2009年四川卷)已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数且x都有xf(x+1)=(1+x)f(x)，则ff52的值是（）
A. 0B. 12
C. 1D. 52
解析：由xf(x+1)=(x+1)f(x)，得f(x+1)x+1=f(x)x,令g(x)=f(x)x（x≠0），则有g(x+1)=g(x)(x≠-1)，因为f(x)是偶函数，则g(x)为奇函数，且g(x)是周期函数，1是它的一个周期，则有f52=52g52，g52=g12,而g12=g-1+12=g-12=-g12, ∴ g12=0, ∴ g52=0, f52=0, ∴ ff52=f(0),又由已知得f(0)=0f(1)=0，故选A.
评注：本题也可用特值法求得f52=0,进而得到答案，但以上构造新函数利用周期的解法更严谨，更能体现数学的本质.
二、 利用对称性与周期性的“定理”直接求得周期
定理1: 若函数y=f(x)图象同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b）,则y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是其一个周期．
定理2：若函数y=f(x)图象同时关于点 A（a,c）和点B（b,c）成中心对称 （a≠b），则 y=f(x)是周期函数，且 2|a-b|是其一个周期.
定理3: 若函数 y=f(x)图象关于点 A（a,c） 成中心对称，又关于直线x=b成轴对称 （a≠b），则y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是其一个周期．
以上定理可散见于多种资料，其证明在此从略.在做选择、填空题时可直接利用；做解答题时也可利用此定理先知道函数的一个周期，再加上必要的推证步骤即可，这种“先知先觉”将极大地缩短思维的距离.
例3（2007年天津卷）在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)=f(2-x)在区间［1，2］上是减函数，则f(x)
A. 在区间［-2，-1］上是增函数，在区间［3，4］上是增函数
B. 在区间［-2，-1］上是增函数，在区间［3，4］上是减函数
C. 在区间［-2，-1］上是减函数，在区间［3，4］上是增函数
D. 在区间［-2，-1］上是减函数，在区间［3，4］上是减函数
解析:由已知条件可知f(x)的图象关于x=0和x=1成轴对称，则由定理1知其一个周期为2，又由f(x)则［1，2］上是减函数，得在区间［3，4］上也是减函数；又f(x)是偶函数,图象关于轴对称，知在［-2，-1］上是增函数,故选B.
例4(2009年山东卷理)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x)，且在区间［0，2］上是增函数．若方程f(x)=m(m＞0)，在区间［-8，8］上有四个不同的根x1，x2，x3，x4,则 x1+x2+x3=.
解析：因为定义在R上的奇函数，所以f(x)的图象关于点（0，0）成中心对称，又满足f(x-4)=-f（x）,即f(x-4)=f(-x),所以函数图象关于直线x=-2成轴对称,则由定理3可知,f(x)为周期函数,其一个周期为4×|-2-0|=8.又因为f(x)在区间［0,2］上是增函数,所以f(x)在区间［-2,0］上也是增函数.如图所示,方程f(x)=m(m＞0)在区间［-8，8］上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1＜x2＜x3＜x4，由对称性知x1+x2=-12，x3+x4=4，故x1+x2+x3+x4=12+4=-8.
评注：从例3、例4、例5可以看出，抽象函数的周期性往往隐含在奇偶性的条件中，故常常实施以下转化：奇偶性对称性周期性，即由已知中的奇偶条件转化为原函数关于某直线的轴对称或某点的中心对称，然后用以上三个定理即可得到该函数的周期.此过程简单明快，而求得其周期是解题的关键！
三、 用特殊值法推断周期
例5(2010年重庆卷理)已知函数f(x)满足：f(1)=14，4f(x)f(y)=f（x+y）+f(x-y)，（x,y∈R），则f(2010) ．
解析： 法1： ∵ f(1)=14，取x=1，y=0得f(0)=12，依次对x,y取特殊值，易求得f(2)=-14，f(3)=-12，f(4)=-14，f(5)=14，f(6)=12，对照f(0)=12，可得周期为6.
法2： ∵ f(1)=14,令y=1，得f(x)=f(x+1)+f(x-1)，即f(x+1)=f(x)-f(x-1)，∴ f(x+2)=f(x+1)-f(x)=-f(x-1)，
∴ f(x+3)=f（x+1+2）=-f(x)，
则f(x+6)=f(x)，即得周期为6.故f(2010)=f(0)=12.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文