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摘要文章分析了当前大学数学教学中存在的一些问题,并从高等数学中连续和可导关系的教学内容以及线性代数中的线性变化和矩阵关系的教学内容出发,对大学数学的教学观念、教学方法、教学模式、教学内容等方面进行了具体的探讨。
中图分类号:G420文献标识码:A
数学是现代科学技术的基础工具,其思想方法渗透于科学发现和理论形成过程中。大学数学已成为高等教育的重要基础课之一。随着科技的不断进步,当前大学数学教学改革的已经成为高等教育中的一个重要内容。很多数学教育工作者围绕数学教材、 教学方法、 教学手段,从教师主体,从学生主体展开了详尽的探讨和思考。但多数是方法上综述,而从具体的教学内容和教学细节上探讨较少。本文从大学数学教学的多年教学经验中,从具体实例,对数学教学改革与读者进行经验交流和探讨。
1 高等数学中连续与可导关系的讲授
同济大学应用数学系主编的教材《高等数学》第84页中,具体介绍了函数可导性与连续性的关系,并且得到结论:函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件,但不是充分条件。也就是说,函数在定义区间上,可导一定连续,反之不一定成立。
结论完全是数学语言描述,一般教学过程中,讲解完基本概念和性质以及该结论的严格理论证明,很少再做进一步的解释。然而,为了加强学生的感性认识,让学生深刻体会数学没有脱离现实,不是空中楼阁,而是对现实世界从数量方面的抽象表述。笔者在讲授时,通常在黑板上先画出如下图1三条曲线:
曲线1曲线2曲线3
图1
从视觉直观上容易作出判断,曲线1和曲线2是连着没有断开,曲线3有断点,没有全部连接起来,所以曲线1和曲线2是连续曲线,曲线3不连续存在间断。不仅是以上曲线1和曲线2,实际生活中,只要是不分离,相连着没有间隔的直观感性,就是数学要抽象表达的一个概念:连续。比如水是连续的,时间是连续的,对于这种人类的直观,数学中从数量方面表述,舍弃了实际事物的具体形状、大小、颜色、状态、位置等等。何谓连,不分也;何谓分,不连也。这种最简单的直观就是数学中重要的连续概念,数学家从数量方面研究了连续,从数量方面用数学的语言进行了定义。
如果你开一辆汽车行驶,那么曲线1就可能是你汽车的轨迹线路图,而曲线2绝不可能是行车路线图,因为人类目前不拥有让汽车在A点突然如此改变行驶方向的技术。曲线3有间断,当然也不可能是正常情况下的行车路线图。开车行驶在曲线1的路线中,则在任意一点,汽车突然失去任何外力作用,则将沿着直线飞出去,这条线就是数学中定义的切线。但曲线2中,在点A处,如果汽车从A左边和右边开来,并且在A点失去外力作用,则汽车会沿着两条不同的直线飞出去,这就是数学中定义的不可导点。由此可见,带有尖点的就是不可导的点,所以日常生活中,用手摸去有刺感的东西一定是数学中的不可导的点。用手摸去有缺口的点一定是不连续的点。并且由此抽象出数学中光滑曲线的定义:若函数f (x)在区间(a,b)内具有一阶连续导数,则其图形为一条处处有切线的曲线,且切线随切点的移动而连续转动,这样的曲线称为光滑曲线。
以上通过具体的实例形象地剖析准确的数学概念,学生很容易理解并且记住可导一定连续,连续不一定可导这一重要结论。因此,教学中充分利用直观的几何图像深入浅出地讲解抽象的数学概念或定理,可以帮助学生尽快地理解和掌握这些基本知识点,让抽象的数学变得生动有趣,并且可以激发学生学习的积极性和主动性。
2 线性代数中线性变换与矩阵之间对应关系的讲解
同济大学应用数学系主编的教材《线性代数》32页,讨论矩阵与线性变换之间有一一对应的关系。
为让学生加深理解这种对应关系,可以通过具体例题详细说明。画出一平面图形,然后沿轴旋转180度,得到原图像的对称图形。图2所示。
图2
原图像上的任意一点(x,y),其关于x轴旋转180度得到点(x, -y)。点(x,y)可以认为是1行2列矩阵,由点变换到点(x, -y),可以看成(x,y)实施第二列元素乘以-1的列变换,则以上旋转的坐标变化可以用矩阵乘法表示为:
所以矩阵就是与图形旋转180变换对应。
如图3所示,一图形沿直线y = x,即一三象限角平分线旋转180度,求出对应旋转变换的矩阵。
对于图形上任意一点(a,b),沿对直线y = x,即一三象限角平分线旋转180度,得到点(b,a)。矩阵表示为:
因此矩阵就是所求的变换矩阵。
图3
以上实例可以加深学生对矩阵的初等变换、矩阵的乘法、线性变换与矩阵的对应的理解。教材中用一页篇幅介绍了两个实例,缺少用理论解决实际问题的详细实例。注重抽象理论的体系教育,忽视了怎样把理论用之于实践的培养。
3 小结
21世纪要培养学生的创新思维、创新意识、创新能力以及创新教育,必须从具体的教学环节出发,而不是范范地论证,需要教师在具体的教学过程中充分利用现代的多媒体技术,不断探索新的教学方法,冲破传统的束缚,构造新的教学内容和模式,加强数学实际应用,增强学生用理论解决实际问题的能力,把传统强调数学理论培养的思路,转化到强调学生的实际动手能力上来。
参考文献
[1]郑洲顺,韩旭里.更新教学内容和教学方法培养学生现代应用数学素质.数学理论与应用,2003.23(4).
[2]田存福,刘莉.非数学类专业线性代数教学内容改革初探.高等理科教育,1999.19(4).
[3]薛有才.大学数学立体化课程教学模式的实践报告.浙江科技学院学报,2008.20(2).
[4]程少华,陈伟青,刘林.大学数学教学改革的探索与思考.郑州航空工业管理学院学报(社会科学版),2006.25(5).
[5]向昭红.关于高等数学教学改革的几点思考[J].数学理论与应用,2001(4).
中图分类号:G420文献标识码:A
数学是现代科学技术的基础工具,其思想方法渗透于科学发现和理论形成过程中。大学数学已成为高等教育的重要基础课之一。随着科技的不断进步,当前大学数学教学改革的已经成为高等教育中的一个重要内容。很多数学教育工作者围绕数学教材、 教学方法、 教学手段,从教师主体,从学生主体展开了详尽的探讨和思考。但多数是方法上综述,而从具体的教学内容和教学细节上探讨较少。本文从大学数学教学的多年教学经验中,从具体实例,对数学教学改革与读者进行经验交流和探讨。
1 高等数学中连续与可导关系的讲授
同济大学应用数学系主编的教材《高等数学》第84页中,具体介绍了函数可导性与连续性的关系,并且得到结论:函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件,但不是充分条件。也就是说,函数在定义区间上,可导一定连续,反之不一定成立。
结论完全是数学语言描述,一般教学过程中,讲解完基本概念和性质以及该结论的严格理论证明,很少再做进一步的解释。然而,为了加强学生的感性认识,让学生深刻体会数学没有脱离现实,不是空中楼阁,而是对现实世界从数量方面的抽象表述。笔者在讲授时,通常在黑板上先画出如下图1三条曲线:
曲线1曲线2曲线3
图1
从视觉直观上容易作出判断,曲线1和曲线2是连着没有断开,曲线3有断点,没有全部连接起来,所以曲线1和曲线2是连续曲线,曲线3不连续存在间断。不仅是以上曲线1和曲线2,实际生活中,只要是不分离,相连着没有间隔的直观感性,就是数学要抽象表达的一个概念:连续。比如水是连续的,时间是连续的,对于这种人类的直观,数学中从数量方面表述,舍弃了实际事物的具体形状、大小、颜色、状态、位置等等。何谓连,不分也;何谓分,不连也。这种最简单的直观就是数学中重要的连续概念,数学家从数量方面研究了连续,从数量方面用数学的语言进行了定义。
如果你开一辆汽车行驶,那么曲线1就可能是你汽车的轨迹线路图,而曲线2绝不可能是行车路线图,因为人类目前不拥有让汽车在A点突然如此改变行驶方向的技术。曲线3有间断,当然也不可能是正常情况下的行车路线图。开车行驶在曲线1的路线中,则在任意一点,汽车突然失去任何外力作用,则将沿着直线飞出去,这条线就是数学中定义的切线。但曲线2中,在点A处,如果汽车从A左边和右边开来,并且在A点失去外力作用,则汽车会沿着两条不同的直线飞出去,这就是数学中定义的不可导点。由此可见,带有尖点的就是不可导的点,所以日常生活中,用手摸去有刺感的东西一定是数学中的不可导的点。用手摸去有缺口的点一定是不连续的点。并且由此抽象出数学中光滑曲线的定义:若函数f (x)在区间(a,b)内具有一阶连续导数,则其图形为一条处处有切线的曲线,且切线随切点的移动而连续转动,这样的曲线称为光滑曲线。
以上通过具体的实例形象地剖析准确的数学概念,学生很容易理解并且记住可导一定连续,连续不一定可导这一重要结论。因此,教学中充分利用直观的几何图像深入浅出地讲解抽象的数学概念或定理,可以帮助学生尽快地理解和掌握这些基本知识点,让抽象的数学变得生动有趣,并且可以激发学生学习的积极性和主动性。
2 线性代数中线性变换与矩阵之间对应关系的讲解
同济大学应用数学系主编的教材《线性代数》32页,讨论矩阵与线性变换之间有一一对应的关系。
为让学生加深理解这种对应关系,可以通过具体例题详细说明。画出一平面图形,然后沿轴旋转180度,得到原图像的对称图形。图2所示。
图2
原图像上的任意一点(x,y),其关于x轴旋转180度得到点(x, -y)。点(x,y)可以认为是1行2列矩阵,由点变换到点(x, -y),可以看成(x,y)实施第二列元素乘以-1的列变换,则以上旋转的坐标变化可以用矩阵乘法表示为:
所以矩阵就是与图形旋转180变换对应。
如图3所示,一图形沿直线y = x,即一三象限角平分线旋转180度,求出对应旋转变换的矩阵。
对于图形上任意一点(a,b),沿对直线y = x,即一三象限角平分线旋转180度,得到点(b,a)。矩阵表示为:
因此矩阵就是所求的变换矩阵。
图3
以上实例可以加深学生对矩阵的初等变换、矩阵的乘法、线性变换与矩阵的对应的理解。教材中用一页篇幅介绍了两个实例,缺少用理论解决实际问题的详细实例。注重抽象理论的体系教育,忽视了怎样把理论用之于实践的培养。
3 小结
21世纪要培养学生的创新思维、创新意识、创新能力以及创新教育,必须从具体的教学环节出发,而不是范范地论证,需要教师在具体的教学过程中充分利用现代的多媒体技术,不断探索新的教学方法,冲破传统的束缚,构造新的教学内容和模式,加强数学实际应用,增强学生用理论解决实际问题的能力,把传统强调数学理论培养的思路,转化到强调学生的实际动手能力上来。
参考文献
[1]郑洲顺,韩旭里.更新教学内容和教学方法培养学生现代应用数学素质.数学理论与应用,2003.23(4).
[2]田存福,刘莉.非数学类专业线性代数教学内容改革初探.高等理科教育,1999.19(4).
[3]薛有才.大学数学立体化课程教学模式的实践报告.浙江科技学院学报,2008.20(2).
[4]程少华,陈伟青,刘林.大学数学教学改革的探索与思考.郑州航空工业管理学院学报(社会科学版),2006.25(5).
[5]向昭红.关于高等数学教学改革的几点思考[J].数学理论与应用,2001(4).