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摘要：将培养和发展学生的数学思维能力作为全面培养学生的数学能力的主要途径，是高中数学新课标中的一个重要的思想。数学的学习就是为了培养学生解决数学问题的能力，过多盲目地做题是无法培养学生的这一能力的。“一题多解”作为一种非常灵活和有效的数学教学方式，在培养学生灵活的解决数学问题的能力和数学思维能力，有着非常重要的作用。本文将从一题多解在公式推导中、在例题讲解中与练习和习题中的应用，来探究一题多解在高中数学教学中的应用。
关键词：一题多解；公式推导；例题讲解；习题练习
在数学的教学过程中，利用一切有利条件进行联想、对比的一题多解的教学方法不仅能够帮助学生在做题的时候“举一反三”，还可以培养学生思维的灵活性、广阔性和探索性。学生在一题多解的过程中很容易获得成就感，也进一步激发了学生的学习数学的兴趣。
一、在公式的推导中运用一题多解
在数学的学习中，数学公式所占的地位是非常重要的。对于数学公式的理解，尤其是对于数学公式的熟练运用，在学生的数学学习中往往决定着能否真正的掌握和解決一类题型。但公式的学习其实并不于记忆，而在于理解它的推导过程。公示的推导过程其实就是一种一题多解。例如：等差数列通项公式an=a1+（n-1）d的推理就有多种方法，
累加得 从而得到 an=a1+（n-1）d
方法一是通过举例观察，最后进行总结猜想得出的结论，这种方式在数学中我们称之为不完全归纳法。这种方法一般在一些选择题或者填空题中学生非常的常用，也是在一些奥数题中经常会用到的方法。但是这种推导公式的方法并不够严密，所以为了培养学生的严谨的学习态度，就可以向学生介绍第二种推导数列通项公式的方法。方法二运用的是迭加法，这种方法在学生学习数学的时候也常常用到。所以，在公式的推导中运用一题多解的方式可以使学生在学习公式和记忆公式的同时，还学到了很多的学习方法，拓展了学生的数学思维。并且，通过多种方式的公式推导可以使学生对公式的记忆比较深刻，学生也可以在多种推导方式中选择自己最熟练的方式进行公式的推到，促进学生对公式的深刻理解。
二、在例题的讲解中运用一题多解
在数学教学中运用一题多解的方式有助于推动学生拓宽自己的解题思路，发展学生的思维能力。大量的题会使学生一头雾水，产生畏难的情绪，而一道例题的多种方法讲解不仅是学生从数量上减轻了心里的压力，同时一题多解给学生带来的惊喜可以激发学生学习的积极性，帮助学生举一反三的掌握所学的知识。比如：关于求函数值域的问题就有很多的方法，所以在进行函数值的解题方法的课上就可以运用一题多解的方式，帮助学生通过一道例题掌握多种方法。
例：求函数 的值域。
解法一：（有界性法）
由 ，得： 。 ， ，解之得： 。即所求函数的值域为：
注：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
解法二：（分离变量法）
由 ，得： ， ， ， 。即所求函数的值域为：
注：先求出具有分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理做出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数（叠加后这些特解满足边界条件不满足初始条件，再由初始条件确定通解中的未知的数）。
解法三：（判别式法）
设 ，由 ，得： ，即 ，可化为： ，由判别式可得： ，解得： ，即所求函数的值域为： 。
注：判别式法是求二次分式函数的基本方法之一，即先去分母，把函数转化成关于x的二次方程f（x，y）=0，因为方程有实根，所以判别式△≥0，通过解不等式求得原函数的值域。需注意的是判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内。
解法四：（导数法）
先证明函数 在 上是增函数。故： ，即： 。 所求函数的值域为：
解法五：由 （结合斜率公式），则 可看成是由定点 与动点 连线的斜率。显然，
点在线段 上，如图1所示，可得：
。
即所求函数的值域为：
在上面的五种解法中，前四种解法通过求解函数的值域还复习了“三角函数的有界性”、“函数的定义域、值域、性质”等知识。不仅加深了学生对于函数值域的解题方法的理解，还融会贯通的帮助学生了解了知识间的沟通，复习了所学的知识点。同时培养了学生解题的转化策略，体现了函数与方程的思想在数学中的作用。尤其在第五种解法中，还带领学生将早已学过的“斜率公式”再次回忆了以便，加深了对所学知识的巩固。
三、在练习和习题中训练一题多解
既然一题多解不仅可以帮助学生掌握所学的知识点，同时可以激发学生的兴趣，并且对于学生数学思维的发展也有着非常有利的作用，那么在练习和习题中要求学生运用一题多解的方式就值得我们去实践运用。
例如在学习解不等式时，不需要大量的布置给学生不同的习题，只要布置一道类似于 的不等式求解，学生就可以通过多种方法举一反三的掌握所学的知识。
解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解
（1）当 时，不等式可化为
（2）当 时，不等式可化为
综上：该不等式的解集为
解法二：转化为不等式组求解
原不等式等价于
综上：该不等式的解集为
解法三：利用等价命题法
原不等式等价于
不等式的几何意义时数轴上的点x到 的距离大于 ，且小于 ，由图得，解集为
这样，通过运用不同的解题方式重复的解答同一个问题，可以是学生熟练这种类型的题目，也可以开拓学生解题的思维，避免在考试中一种方法不会就放弃一道题的现象。这样发散性思维的培养对于学生未来学习数学有着很重要的作用，学生的数学思维也会通过这样的长期训练得到良好的培养。
总之，无论是在数学课堂上还是在课后，无论是对于公示的推导还是对于典型题目的解答，一题多解都是非常有效的教学方式。采用一题多解的教学方式，有助于启发学生分析思考，有助于为学生创设有效的数学情景，从而有利于激发学生的学习兴趣，拓宽学生的知识面，发展学生的穿凿思维，还可以帮助学生对知识的理解更加具有系统性和广泛性。所以，我们在以后的高中数学教学中可以多试着运用一题多解的教学方式。
关键词：一题多解；公式推导；例题讲解；习题练习
在数学的教学过程中，利用一切有利条件进行联想、对比的一题多解的教学方法不仅能够帮助学生在做题的时候“举一反三”，还可以培养学生思维的灵活性、广阔性和探索性。学生在一题多解的过程中很容易获得成就感，也进一步激发了学生的学习数学的兴趣。
一、在公式的推导中运用一题多解
在数学的学习中，数学公式所占的地位是非常重要的。对于数学公式的理解，尤其是对于数学公式的熟练运用，在学生的数学学习中往往决定着能否真正的掌握和解決一类题型。但公式的学习其实并不于记忆，而在于理解它的推导过程。公示的推导过程其实就是一种一题多解。例如：等差数列通项公式an=a1+（n-1）d的推理就有多种方法，
累加得 从而得到 an=a1+（n-1）d
方法一是通过举例观察，最后进行总结猜想得出的结论，这种方式在数学中我们称之为不完全归纳法。这种方法一般在一些选择题或者填空题中学生非常的常用，也是在一些奥数题中经常会用到的方法。但是这种推导公式的方法并不够严密，所以为了培养学生的严谨的学习态度，就可以向学生介绍第二种推导数列通项公式的方法。方法二运用的是迭加法，这种方法在学生学习数学的时候也常常用到。所以，在公式的推导中运用一题多解的方式可以使学生在学习公式和记忆公式的同时，还学到了很多的学习方法，拓展了学生的数学思维。并且，通过多种方式的公式推导可以使学生对公式的记忆比较深刻，学生也可以在多种推导方式中选择自己最熟练的方式进行公式的推到，促进学生对公式的深刻理解。
二、在例题的讲解中运用一题多解
在数学教学中运用一题多解的方式有助于推动学生拓宽自己的解题思路，发展学生的思维能力。大量的题会使学生一头雾水，产生畏难的情绪，而一道例题的多种方法讲解不仅是学生从数量上减轻了心里的压力，同时一题多解给学生带来的惊喜可以激发学生学习的积极性，帮助学生举一反三的掌握所学的知识。比如：关于求函数值域的问题就有很多的方法，所以在进行函数值的解题方法的课上就可以运用一题多解的方式，帮助学生通过一道例题掌握多种方法。
例：求函数 的值域。
解法一：（有界性法）
由 ，得： 。 ， ，解之得： 。即所求函数的值域为：
注：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
解法二：（分离变量法）
由 ，得： ， ， ， 。即所求函数的值域为：
注：先求出具有分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理做出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数（叠加后这些特解满足边界条件不满足初始条件，再由初始条件确定通解中的未知的数）。
解法三：（判别式法）
设 ，由 ，得： ，即 ，可化为： ，由判别式可得： ，解得： ，即所求函数的值域为： 。
注：判别式法是求二次分式函数的基本方法之一，即先去分母，把函数转化成关于x的二次方程f（x，y）=0，因为方程有实根，所以判别式△≥0，通过解不等式求得原函数的值域。需注意的是判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内。
解法四：（导数法）
先证明函数 在 上是增函数。故： ，即： 。 所求函数的值域为：
解法五：由 （结合斜率公式），则 可看成是由定点 与动点 连线的斜率。显然，
点在线段 上，如图1所示，可得：
。
即所求函数的值域为：
在上面的五种解法中，前四种解法通过求解函数的值域还复习了“三角函数的有界性”、“函数的定义域、值域、性质”等知识。不仅加深了学生对于函数值域的解题方法的理解，还融会贯通的帮助学生了解了知识间的沟通，复习了所学的知识点。同时培养了学生解题的转化策略，体现了函数与方程的思想在数学中的作用。尤其在第五种解法中，还带领学生将早已学过的“斜率公式”再次回忆了以便，加深了对所学知识的巩固。
三、在练习和习题中训练一题多解
既然一题多解不仅可以帮助学生掌握所学的知识点，同时可以激发学生的兴趣，并且对于学生数学思维的发展也有着非常有利的作用，那么在练习和习题中要求学生运用一题多解的方式就值得我们去实践运用。
例如在学习解不等式时，不需要大量的布置给学生不同的习题，只要布置一道类似于 的不等式求解，学生就可以通过多种方法举一反三的掌握所学的知识。
解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解
（1）当 时，不等式可化为
（2）当 时，不等式可化为
综上：该不等式的解集为
解法二：转化为不等式组求解
原不等式等价于
综上：该不等式的解集为
解法三：利用等价命题法
原不等式等价于
不等式的几何意义时数轴上的点x到 的距离大于 ，且小于 ，由图得，解集为
这样，通过运用不同的解题方式重复的解答同一个问题，可以是学生熟练这种类型的题目，也可以开拓学生解题的思维，避免在考试中一种方法不会就放弃一道题的现象。这样发散性思维的培养对于学生未来学习数学有着很重要的作用，学生的数学思维也会通过这样的长期训练得到良好的培养。
总之，无论是在数学课堂上还是在课后，无论是对于公示的推导还是对于典型题目的解答，一题多解都是非常有效的教学方式。采用一题多解的教学方式，有助于启发学生分析思考，有助于为学生创设有效的数学情景，从而有利于激发学生的学习兴趣，拓宽学生的知识面，发展学生的穿凿思维，还可以帮助学生对知识的理解更加具有系统性和广泛性。所以，我们在以后的高中数学教学中可以多试着运用一题多解的教学方式。