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在《财务管理》的学习过程中，主要秉持两大价值理念，即资金的时间价值和风险价值。其中，风险价值的计算相对来说比较制式化，学生只需要结合在数学、统计学等学科中学到的“期望”、“方差”知识，将相关数据按照固定的步骤和每一步固定的公式代入，就可以计算出风险价值的大小。而另一个价值理念资金的时间价值一直是《财务管理》的重点和难点，之所以说它重要是因为该学科中筹资管理，投资管理等的决策都要依赖于资金时间价值的基础知识，但与风险价值的计算不同，时间价值的计算没有固定的条框可以遵循，因此一直是学生认为比较难攻克的一座大山。针对这个难题，笔者结合多年教学经验，分析了资金时间价值计算难点产生的原因，在此基础上以递延年金为例，就资金时间价值计算中的难点做以讨论和解决。
一、资金时间价值计算难点产生的原因
资金时间价值虽然也像风险价值一样，需要公式的代入，但是不同的是资金的时间价值被区分成了很多不同的类型，整个时间价值首先被区分为复利和年金两个概念，进一步细分的话，年金又包括了普通年金、预付年金、递延年金和永续年金四种类型，同时每种年金又要计算其终值和现值，个别年金的终值现值公式还不止一个，这就决定了资金时间价值的公式非常之多，学生不能单纯的代入公式，而是需要理解公式，同时准确解析题意，正确判断题目涉及到的是哪种年金，以及题目要算的是该种年金的终值还是现值。例如：“企业计划投资一个项目，需要投资500万元，项目建设期3年，可以使用10年，每年产生收益90万元，如果企业要求的投资报酬率9%，问该投资项目是否可行？”这道题的问题只是问项目是否可行，如果只是机械性的背诵所有的公式，学生在面对这道题目的时候根本无法判断应该使用哪个公式，即使确定使用哪个公式，但公式里的期数n这个要素也是需要进一步判别的，这就是时间价值比较难以被学生理解接受的其中一个原因。
导致时间价值比较难的另一个原因在于传统观念的束缚。在学习资金时间价值的过程中，首先要打破以往的单利思想，比如本金1000元，年利率10%，那么一年的利息就是1000*10%=100元，依此类推五年的利息就是5*100=500元，针对同样的条件，资金的时间价值则认为在第二年不仅仅只是本金1000元在继续产生利息，第一年产生的100元利息也在计息，并且往后的年份也是同样的道理，不仅仅是本金可以产生利息，以往年度的利息也在计息，也就是通常所说的“利滚利”的情况，在资金时间价值里把这个思路叫做复利。所以，认识资金时间价值的第一步就是树立复利思想。
在复利的基础上，时间价值之所以难懂的第三个原因在于现实生活中，可能每一年都有资金流的产生，不管是流入或者流出。比如说一个储户去银行存钱，可能第一年存1万元，第二年存3万元，第三年存2万元，这样我们整个的计算考虑的就不止是一笔钱的复利问题了，但是笔者刚刚提及的例子虽然每年都有资金流的产生，但是没有任何规律性，所以只能把这三笔钱单独看成三个复利问题，然后相加计算其终值或者现值。由此，我们在复利和多笔资金流的基础上衍生出了年金的概念，而时间价值的难点其实就是年金的难点。
二、资金时间价值难点的分析与解决
所谓年金，指的是在一定时期内每隔相同的时间发生相同数额的系列收付款項，如利息、折旧、保险、金租金等。在年金的计算中，存在几个特定的值，比如年金A，终值F，现值P，期数n，利率i，将这些值表现在现金流量图上如下：
在现金流量图里，时间轴上的每一个数字代表的是第n期的期末或者第n+1期初，比如图中“2”代表第2期期末，或者第3期期初，最左边的“0”代表现在这个时点，也就是现值“P”所在的位置，每一期等额同向的资金流就是年金“A”，而最后一期n位于时间轴的最右边，表示第n期期末，同时也是终值“F”所在的时点位置。资金时间价值的很多难点问题通过画图都能迎刃而解。
前文曾提到的，年金被细分成普通年金，预付年金，递延年金和永续年金四大类，这个分类的依据在于现金流产生的时点和期限。这四个类别的年金中，普通年金的现金流发生在每期期末，是最基本的年金，其他年金都是在普通年金的基础上派生出来的，尤其是后续的递延年金和永续年金，大多数教材中总结的公式都默认这两种年金的现金流产生在期末，所以公式都具有一定的局限性。在掌握最基础的普通年金计算之后，预付年金跟普通年金的差别在于它的现金流产生在每期期初，所以两者的计算只相差一期，最终的计算也只是多计息或者多贴现一期，即在普通年金的终值、现值公式的基础上多乘（1+i）。永续年金由于其期数n趋于无穷大，所以不存在终值的计算，而其现值的计算最终通过数学归纳法总结得到P=A/i，假若永续年金的现金流量产生在每期期初，只需要在此公式的基础上多贴现一期即可。最终年金的难点就集中在了最为复杂的递延年金上。
所谓的递延年金，是指等额系列收付款项发生在第一期以后的年金，即前m期没有现金流量产生，后n期才有等额系列收付款项发生，这里没有收付款项的若干期称为递延期（m）。
由图可以看出，递延期位于时间轴的左边，所以递延年金终值F的计算是完全不受递延期m影响的，因为终值F的位置在时间轴的右边，也就是说计算终值F的过程就是把时间轴上所有的收付款向右计算，至于左边的递延期，不管m=1还是m=100，丝毫不会影响递延年金的终值。那么，递延年金的计算难点就集中在其现值P的计算上。
递延年金现值P的计算就是将后n期的收付款向左计算到0时点，这就决定了计算现值P的过程一定要经过递延期m，这就加大了计算的难度。针对递延年金现值P的计算，大体归纳了三种解决方法：
（1）先求后n期年金在m期初的现值，再将该值贴现至0时点，求出其现值P，也就是 “两次折现法”，总结公式如下：P=A*（P/A， i ，n）*（P/F， i ，n）。
（2）将前m期递延期补充上等额系列收付款，这样原本的递延年金就变成了一个m+n期的普通年金，然后用m+n期普通年金的现值减去人为补充的m期普通年金的现值，这种方法叫“补齐扣除法”，总结公式如下：P=A*（P/A， i ，m+n）-A*（P/A， i ，m）。 （3）先求后n期年金在m+n期期末的终值，再将该终值复利折现至0时点，求出其在第1期初的现值P，也就是“先终值后折现法”，总结公式如下：P=A*（F/A， i ，n）*（P/F， i ，m+n）。
举个例子：“甲公司于年初投资一项目，预计投资期限为15年，但前5年为建设期，从第六年开始每年年末产生净收益500万，假定年收益率为10%，那么甲公司最初最多投资多少元才有利？”通过分析，这道题前5年没有现金流量产生，从第6年开始每年年末产生500万净收益，这是一个标准的递延年金，且可以直观判断出m+n=15，m=5，n=10，同时问题里的关键词“最初”决定了这道题要求的现值P，那么套用上面论述的三种方法，答案如下：
（1）两次折现法：
P=500*（P/A，10%，10）*（P/F，10%，5）=500*6.1446*0.6209=1907.59（万元）
（2）补齐扣除法：
P=500*（P/A，10%，15）-500*（P/A，10%，5）=500*7.6061-500*3.7908=1907.65（万元）
（3）先终值后折现法：
P=500*（F/A，10%，10）*（P/F，10%，15）=500*15.9370*0.2394=1907.66（万元）
这么看来，递延年金好像不是特别难，但是这三个方法有一个大的前提条件就是后续的资金流都是发生在每期期末，这才是标准的递延年金，我们可以通过读题，非常容易的判别出递延期m是多少，后续年金期n是多少，那么运用上述三个方法来解决递延年金是完全没有问题的。但是一旦我们尝试把上述的题目改写，将现金流量产生的时点改成每年年初，那么我们还可以说这道题的递延期m=5，n=10吗？显然是不可以的，毕竟年初（1月1日）与年末（12月31日）之间相差了1整年的时间，但并不意味着我们上述的三种方法就无用武之地了。我们依然可以利用上述方法进行计算，只是有一个前期准备工作就是我们要学会改写题目。笔者在前文介绍现金流量图的时候解释过图上每个时点的含义，即“时间轴上的每一个数字代表的就是第n期的期末或者第n+1的期初”，通过这一层含义我们可以得知“第6年年初即为第5年年末“，这样我们就再一次把题目还原成标准的递延年金问题了，现金流依旧发生在年末，同时还要树立一个思维就是“既然第5年年末才开始产生净收益，也就意味着前4年是没有产生净收益的”，这个想法就决定了改写后的题目递延期m=4，年金期n=11，接下来就是将新确定好的遞延期m，年金期n代入上述三种方法中进行运算即可。
最后还有一个难点不得不提，就是关于期数n的判断。除了在刚刚论述具体例题的情况下，笔者在描述期数时用到了“年”这个单位之外，其他地方均是以第n期来论述的。这也是资金时间价值学习过程中学生容易犯错的地方，大多数人会默认期数n的单位是年，但是遇到有些题目计息期短于一年的情况，如日、月、季度、半年等，依旧不会变通，还是直接代公式，这样的做法是错的，因为期数n已经不是以“年”为单位了，但是利率i依旧是年利率，这样的不一致会直接导致计算结果错误，这种题目我们只需要将题目的年利率换算成对应的日、月、季度、半年利率等就可以继续代入公式进行计算了。
综上所述，资金时间价值的计算需要在掌握其基本计算原理的基础上，灵活运用多种方法，同时不要刻板的记忆公式，而是在理解的基础上，结合现金流量图，改写句子等方法来更好的处理资金时间价值问题。（作者单位为广州工商学院）
一、资金时间价值计算难点产生的原因
资金时间价值虽然也像风险价值一样，需要公式的代入，但是不同的是资金的时间价值被区分成了很多不同的类型，整个时间价值首先被区分为复利和年金两个概念，进一步细分的话，年金又包括了普通年金、预付年金、递延年金和永续年金四种类型，同时每种年金又要计算其终值和现值，个别年金的终值现值公式还不止一个，这就决定了资金时间价值的公式非常之多，学生不能单纯的代入公式，而是需要理解公式，同时准确解析题意，正确判断题目涉及到的是哪种年金，以及题目要算的是该种年金的终值还是现值。例如：“企业计划投资一个项目，需要投资500万元，项目建设期3年，可以使用10年，每年产生收益90万元，如果企业要求的投资报酬率9%，问该投资项目是否可行？”这道题的问题只是问项目是否可行，如果只是机械性的背诵所有的公式，学生在面对这道题目的时候根本无法判断应该使用哪个公式，即使确定使用哪个公式，但公式里的期数n这个要素也是需要进一步判别的，这就是时间价值比较难以被学生理解接受的其中一个原因。
导致时间价值比较难的另一个原因在于传统观念的束缚。在学习资金时间价值的过程中，首先要打破以往的单利思想，比如本金1000元，年利率10%，那么一年的利息就是1000*10%=100元，依此类推五年的利息就是5*100=500元，针对同样的条件，资金的时间价值则认为在第二年不仅仅只是本金1000元在继续产生利息，第一年产生的100元利息也在计息，并且往后的年份也是同样的道理，不仅仅是本金可以产生利息，以往年度的利息也在计息，也就是通常所说的“利滚利”的情况，在资金时间价值里把这个思路叫做复利。所以，认识资金时间价值的第一步就是树立复利思想。
在复利的基础上，时间价值之所以难懂的第三个原因在于现实生活中，可能每一年都有资金流的产生，不管是流入或者流出。比如说一个储户去银行存钱，可能第一年存1万元，第二年存3万元，第三年存2万元，这样我们整个的计算考虑的就不止是一笔钱的复利问题了，但是笔者刚刚提及的例子虽然每年都有资金流的产生，但是没有任何规律性，所以只能把这三笔钱单独看成三个复利问题，然后相加计算其终值或者现值。由此，我们在复利和多笔资金流的基础上衍生出了年金的概念，而时间价值的难点其实就是年金的难点。
二、资金时间价值难点的分析与解决
所谓年金，指的是在一定时期内每隔相同的时间发生相同数额的系列收付款項，如利息、折旧、保险、金租金等。在年金的计算中，存在几个特定的值，比如年金A，终值F，现值P，期数n，利率i，将这些值表现在现金流量图上如下：
在现金流量图里，时间轴上的每一个数字代表的是第n期的期末或者第n+1期初，比如图中“2”代表第2期期末，或者第3期期初，最左边的“0”代表现在这个时点，也就是现值“P”所在的位置，每一期等额同向的资金流就是年金“A”，而最后一期n位于时间轴的最右边，表示第n期期末，同时也是终值“F”所在的时点位置。资金时间价值的很多难点问题通过画图都能迎刃而解。
前文曾提到的，年金被细分成普通年金，预付年金，递延年金和永续年金四大类，这个分类的依据在于现金流产生的时点和期限。这四个类别的年金中，普通年金的现金流发生在每期期末，是最基本的年金，其他年金都是在普通年金的基础上派生出来的，尤其是后续的递延年金和永续年金，大多数教材中总结的公式都默认这两种年金的现金流产生在期末，所以公式都具有一定的局限性。在掌握最基础的普通年金计算之后，预付年金跟普通年金的差别在于它的现金流产生在每期期初，所以两者的计算只相差一期，最终的计算也只是多计息或者多贴现一期，即在普通年金的终值、现值公式的基础上多乘（1+i）。永续年金由于其期数n趋于无穷大，所以不存在终值的计算，而其现值的计算最终通过数学归纳法总结得到P=A/i，假若永续年金的现金流量产生在每期期初，只需要在此公式的基础上多贴现一期即可。最终年金的难点就集中在了最为复杂的递延年金上。
所谓的递延年金，是指等额系列收付款项发生在第一期以后的年金，即前m期没有现金流量产生，后n期才有等额系列收付款项发生，这里没有收付款项的若干期称为递延期（m）。
由图可以看出，递延期位于时间轴的左边，所以递延年金终值F的计算是完全不受递延期m影响的，因为终值F的位置在时间轴的右边，也就是说计算终值F的过程就是把时间轴上所有的收付款向右计算，至于左边的递延期，不管m=1还是m=100，丝毫不会影响递延年金的终值。那么，递延年金的计算难点就集中在其现值P的计算上。
递延年金现值P的计算就是将后n期的收付款向左计算到0时点，这就决定了计算现值P的过程一定要经过递延期m，这就加大了计算的难度。针对递延年金现值P的计算，大体归纳了三种解决方法：
（1）先求后n期年金在m期初的现值，再将该值贴现至0时点，求出其现值P，也就是 “两次折现法”，总结公式如下：P=A*（P/A， i ，n）*（P/F， i ，n）。
（2）将前m期递延期补充上等额系列收付款，这样原本的递延年金就变成了一个m+n期的普通年金，然后用m+n期普通年金的现值减去人为补充的m期普通年金的现值，这种方法叫“补齐扣除法”，总结公式如下：P=A*（P/A， i ，m+n）-A*（P/A， i ，m）。 （3）先求后n期年金在m+n期期末的终值，再将该终值复利折现至0时点，求出其在第1期初的现值P，也就是“先终值后折现法”，总结公式如下：P=A*（F/A， i ，n）*（P/F， i ，m+n）。
举个例子：“甲公司于年初投资一项目，预计投资期限为15年，但前5年为建设期，从第六年开始每年年末产生净收益500万，假定年收益率为10%，那么甲公司最初最多投资多少元才有利？”通过分析，这道题前5年没有现金流量产生，从第6年开始每年年末产生500万净收益，这是一个标准的递延年金，且可以直观判断出m+n=15，m=5，n=10，同时问题里的关键词“最初”决定了这道题要求的现值P，那么套用上面论述的三种方法，答案如下：
（1）两次折现法：
P=500*（P/A，10%，10）*（P/F，10%，5）=500*6.1446*0.6209=1907.59（万元）
（2）补齐扣除法：
P=500*（P/A，10%，15）-500*（P/A，10%，5）=500*7.6061-500*3.7908=1907.65（万元）
（3）先终值后折现法：
P=500*（F/A，10%，10）*（P/F，10%，15）=500*15.9370*0.2394=1907.66（万元）
这么看来，递延年金好像不是特别难，但是这三个方法有一个大的前提条件就是后续的资金流都是发生在每期期末，这才是标准的递延年金，我们可以通过读题，非常容易的判别出递延期m是多少，后续年金期n是多少，那么运用上述三个方法来解决递延年金是完全没有问题的。但是一旦我们尝试把上述的题目改写，将现金流量产生的时点改成每年年初，那么我们还可以说这道题的递延期m=5，n=10吗？显然是不可以的，毕竟年初（1月1日）与年末（12月31日）之间相差了1整年的时间，但并不意味着我们上述的三种方法就无用武之地了。我们依然可以利用上述方法进行计算，只是有一个前期准备工作就是我们要学会改写题目。笔者在前文介绍现金流量图的时候解释过图上每个时点的含义，即“时间轴上的每一个数字代表的就是第n期的期末或者第n+1的期初”，通过这一层含义我们可以得知“第6年年初即为第5年年末“，这样我们就再一次把题目还原成标准的递延年金问题了，现金流依旧发生在年末，同时还要树立一个思维就是“既然第5年年末才开始产生净收益，也就意味着前4年是没有产生净收益的”，这个想法就决定了改写后的题目递延期m=4，年金期n=11，接下来就是将新确定好的遞延期m，年金期n代入上述三种方法中进行运算即可。
最后还有一个难点不得不提，就是关于期数n的判断。除了在刚刚论述具体例题的情况下，笔者在描述期数时用到了“年”这个单位之外，其他地方均是以第n期来论述的。这也是资金时间价值学习过程中学生容易犯错的地方，大多数人会默认期数n的单位是年，但是遇到有些题目计息期短于一年的情况，如日、月、季度、半年等，依旧不会变通，还是直接代公式，这样的做法是错的，因为期数n已经不是以“年”为单位了，但是利率i依旧是年利率，这样的不一致会直接导致计算结果错误，这种题目我们只需要将题目的年利率换算成对应的日、月、季度、半年利率等就可以继续代入公式进行计算了。
综上所述，资金时间价值的计算需要在掌握其基本计算原理的基础上，灵活运用多种方法，同时不要刻板的记忆公式，而是在理解的基础上，结合现金流量图，改写句子等方法来更好的处理资金时间价值问题。（作者单位为广州工商学院）