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摘 要：蕴含着数学文化背景的试题是从数学本源上考察学生的数学核心素养水平，其中包含着数学抽象的思考、数学建模的应用，教学必须确实的从知识、思想、精神上助力学生，才能让数学核心素养真正落地生根。
关键词：核心素养;数学文化题
一、问题的提出
《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《课标》）中建议数学高考的命题需：“聚焦学生对重要数学概念、定理、方法、思想的理解和应用，强调基础性、综合性;注重数学本质、通性通法，淡化解题技巧，融入数学文化”;而数学文化是指“数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展;还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动。”随着我国教育改革的推进，蕴含着数学文化背景的试题（以下简称数学文化题）成为了高考试题中一道不可或缺的亮丽的风景，它不仅能从数学理性的角度来考查学生的数学学科核心素养的培养程度，更能够将人类繁荣和发展的人文气息与科技脉络融入学生学习的评价。故以此文与大家共享对数学文化题的再认知。
二、解题的研究
例1（2021年八省市高考适应性考第20题）
北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用。刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容。用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和。例如：正四面体在每个顶点有3個面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为4π。
（1）求四棱锥的总曲率;
（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数=2，证明：这类多面体的总曲率是常数。
解析：
（1）设四棱锥的总曲率为K，四棱锥的面角之和为θ，则四棱锥的所有面角之和θ等于4个三角形的所有内角之和加上1个四边形的内角。
四棱锥的所有顶点的曲率之和
。
（2）不妨设多面体的总曲率为K，面角之和为θ，棱数为E，面数为F，顶点数为V，并将F个面分别为记为边形，显然，则此F个面的面角之和
又V-E+F=2
故多面体的总曲率
答：此多面体的总曲率K为4π。
评论：本题的第一个难点在于新概念的理解;第二个难点是每个顶点的面角之和不好一一表示：第三个难点在于解题中需利用初中学过的多边形的内角和公式，故知识的跨度是从大学到高中再到初中，让学生的思维逆流而往，调取的知识时间长度大大增长，因此对学生而言思维的展开也更加困难。然而也只有这样的考查才是真正地体现学生学会学习，学会思考，学会学习数学的本质，才能确确实实的考查出学生的数学素养。
三、形成共识
（一）基于数学抽象的思考
数学文化题本质上是固着文化的外衣，于是文化的风彩与文字的精妙隐约闪烁在其中，而且中国文化博大而精深，因此学生首先需要有比较好的数学抽象素养来支撑其对数学文化题的理解与提取，即对于数学文化题要进行必要的分解阅读与深刻地理解，才能将文字语言精准的转化为数学语言，完成良好地解题开篇。
本题中“用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和。”这句话在阅读时，应当第一步，抓住主干知识：“……的曲率等于……的差”;第二步，补充主干知识：“谁的曲率”即：多面体顶点的曲率;“谁的差”即“2π与多面体在该点的面角之和的差”;第三步，明确新的定义“该点的面角”即“多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制”;第四步，特殊的说明理解，针对不是顶点处的面上的点的曲率认识即“多面体面上非顶点的曲率均为零”与“多面体的总曲率”即“多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和”。如此琢磨透本题的“规定”，从分析法的角度捋顺解题线索的走向为：总曲率等于各顶点的曲率之和，一个顶点的曲率又等于2π与该点的面角之和的差，于是可先分而置之。再利用综合法明了，解题的第一步为：求多面体的每一个顶点的面角之和;第二步为：求出多面体的每一个顶点的曲率;第三步为：计算出各顶点的曲率之和，即解决问题。
由上述分析可知，要将数学文化题的文本语言转化为数学的问题表征，需不断的细化题目中的文字语意的表达，从一级主干文字分析，接着到二级主干辅助性文字说明，再着到三级补充性文字说明，最后到四级的其他要义性的文字说明，逐层逼近，剥茧抽丝，最后终于抽取出涵盖本题的数学要素，才能快速的明确本题的数学问题本质，由此可见，数学抽象核心素养对于学生解数学文化题而言犹如是画龙点睛之笔，学会断句、分清主次、有序推进才是解数学文化题的破题之刃。
（二）基于数学建模的应用
数学文化题之于数学而言本质上就是数学建模，当掀开数学文化题的五彩外衣之后，很明显，大家立马就可以看出数学文化题的问题根源与出处，于是就可以搜罗所学的数学知识，于相同处入手，相似处思考，将新问题稼接在旧知的生长点处，建立一个属于新问题的旧的数学模型，从而借数学模型之脚架即可一蹴而就，解决问题。
本题中问题（1）的思考：要解决四棱锥的总曲率，从根本上就是求五个顶点处的面角之和，而题目中给的例子：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为4π。对于“正四面体”应用的解题模式是各个顶点分别突破，但在一般的四棱锥中，对于任意给定的一个顶点各个击破似乎是不太现实的，于是需要打破定势思维重新思考解决问题的方向，正向不可，逆势而上，从分类与整合的思想方向前进，于是有：四棱锥的所有面角之和θ等于4个三角形的所有内角之和加上1个四边形的内角，于是问题迎刃而解，依此思路可得问题（2）的解题切入点，于是由四棱锥推及多面体，充分的借助整体观全局表达，顺利解题。 于此，再论数学文化题中的数学建模素养的探求，通常题目中有着简单表象的表述，给大家一个错觉，似乎可以直接建立数学模型了，但这种不经思索的模型就象漂浮于海中的冰山，让所有不愿深思熟虑的同学撞了个墙，因此要从根本上建立一个适合的数学模型，更应当从模型形成的过程去探究，关注数学知识的联系与数学直觉的引领，重视数学思想与方法的整合，数理逻辑与语言表达的推敲。由此可见，数学建模核心素养对于学生解数学文化题而言是一种真正地考验与本质的认识，也有助于学生的更全面成长。
四、推广应用
例2（2019年全国理科数学I卷（理）6）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦。在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是：
A. B. C. D.
分析：本题是以我国古代典籍《周易》中富含哲学思想的“卦”文化为载体，重点体现“卦”的表达方式简易又变化多样的本质，本质上理解或然与必然的数学思想，基于数学抽象的思考，则可明确问题的对象“阳爻”与“阴爻”可抽象为数学中的两个自然数“1，2”，而基于数学建模的应用可知本题就是概率主题，具体为计数原理及排列组合的运用，故本题相当于问“在由两个自然数“1，2”组成的六位数中，数字“1”出现3次的六位数的概率”。
解：由题知，两个数“1，2”组成的六位数有26种，其中数字“1”出现3次的六位数有C63种，所以数字“1”出现3次的六位数的概率为;故选A。
五、思考与建议
在教学中对于数学文化题，教师要以核心素养的渗透为指导思想，引导学生进行程序化，模式化的思考，可以有效地解决学生对于数学文化题的畏难情绪。充分的模式的范例，使学生更容易从本质上看透数学文化题的来龙去脉，从而理清解决问题的方向与路径。因此教学数学文化题还是任重而道远，需要教师根植于数学的本质，即数量关系与空间形式的认识。同时在教学中建议：要创造机会让学生去阅读、思考;留足时间让学生学会辨析、选择。学生所拥有的能力与素养是来源于平时一点一滴的数学学习的基本经验的体会与积累，良好与丰富的数学基本活动经验，让学生在知识的生成过程中的思维抽取、分析、建模的更系统化与习惯化，让学生有自己思考问题的时间与空间，学生才能经历思维与知识生产的阵疼，才能真正提升自我的核心素养。
参考文献
[1].中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.
[2].史宁中、林玉慈、陶剑、郭民.关于高中数学教育中的数学核心素養[J].课程·教材·教法（京），2017（4）：3-8.
本文系福建省“十三五”中小学名师名校长培养工程专项课题“基于类比思想的高中数学课堂问题清单研究”（立项批准号：DTRSX2019012）的阶段性研究成果.
关键词：核心素养;数学文化题
一、问题的提出
《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《课标》）中建议数学高考的命题需：“聚焦学生对重要数学概念、定理、方法、思想的理解和应用，强调基础性、综合性;注重数学本质、通性通法，淡化解题技巧，融入数学文化”;而数学文化是指“数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展;还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动。”随着我国教育改革的推进，蕴含着数学文化背景的试题（以下简称数学文化题）成为了高考试题中一道不可或缺的亮丽的风景，它不仅能从数学理性的角度来考查学生的数学学科核心素养的培养程度，更能够将人类繁荣和发展的人文气息与科技脉络融入学生学习的评价。故以此文与大家共享对数学文化题的再认知。
二、解题的研究
例1（2021年八省市高考适应性考第20题）
北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用。刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容。用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和。例如：正四面体在每个顶点有3個面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为4π。
（1）求四棱锥的总曲率;
（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数=2，证明：这类多面体的总曲率是常数。
解析：
（1）设四棱锥的总曲率为K，四棱锥的面角之和为θ，则四棱锥的所有面角之和θ等于4个三角形的所有内角之和加上1个四边形的内角。
四棱锥的所有顶点的曲率之和
。
（2）不妨设多面体的总曲率为K，面角之和为θ，棱数为E，面数为F，顶点数为V，并将F个面分别为记为边形，显然，则此F个面的面角之和
又V-E+F=2
故多面体的总曲率
答：此多面体的总曲率K为4π。
评论：本题的第一个难点在于新概念的理解;第二个难点是每个顶点的面角之和不好一一表示：第三个难点在于解题中需利用初中学过的多边形的内角和公式，故知识的跨度是从大学到高中再到初中，让学生的思维逆流而往，调取的知识时间长度大大增长，因此对学生而言思维的展开也更加困难。然而也只有这样的考查才是真正地体现学生学会学习，学会思考，学会学习数学的本质，才能确确实实的考查出学生的数学素养。
三、形成共识
（一）基于数学抽象的思考
数学文化题本质上是固着文化的外衣，于是文化的风彩与文字的精妙隐约闪烁在其中，而且中国文化博大而精深，因此学生首先需要有比较好的数学抽象素养来支撑其对数学文化题的理解与提取，即对于数学文化题要进行必要的分解阅读与深刻地理解，才能将文字语言精准的转化为数学语言，完成良好地解题开篇。
本题中“用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和。”这句话在阅读时，应当第一步，抓住主干知识：“……的曲率等于……的差”;第二步，补充主干知识：“谁的曲率”即：多面体顶点的曲率;“谁的差”即“2π与多面体在该点的面角之和的差”;第三步，明确新的定义“该点的面角”即“多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制”;第四步，特殊的说明理解，针对不是顶点处的面上的点的曲率认识即“多面体面上非顶点的曲率均为零”与“多面体的总曲率”即“多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和”。如此琢磨透本题的“规定”，从分析法的角度捋顺解题线索的走向为：总曲率等于各顶点的曲率之和，一个顶点的曲率又等于2π与该点的面角之和的差，于是可先分而置之。再利用综合法明了，解题的第一步为：求多面体的每一个顶点的面角之和;第二步为：求出多面体的每一个顶点的曲率;第三步为：计算出各顶点的曲率之和，即解决问题。
由上述分析可知，要将数学文化题的文本语言转化为数学的问题表征，需不断的细化题目中的文字语意的表达，从一级主干文字分析，接着到二级主干辅助性文字说明，再着到三级补充性文字说明，最后到四级的其他要义性的文字说明，逐层逼近，剥茧抽丝，最后终于抽取出涵盖本题的数学要素，才能快速的明确本题的数学问题本质，由此可见，数学抽象核心素养对于学生解数学文化题而言犹如是画龙点睛之笔，学会断句、分清主次、有序推进才是解数学文化题的破题之刃。
（二）基于数学建模的应用
数学文化题之于数学而言本质上就是数学建模，当掀开数学文化题的五彩外衣之后，很明显，大家立马就可以看出数学文化题的问题根源与出处，于是就可以搜罗所学的数学知识，于相同处入手，相似处思考，将新问题稼接在旧知的生长点处，建立一个属于新问题的旧的数学模型，从而借数学模型之脚架即可一蹴而就，解决问题。
本题中问题（1）的思考：要解决四棱锥的总曲率，从根本上就是求五个顶点处的面角之和，而题目中给的例子：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为4π。对于“正四面体”应用的解题模式是各个顶点分别突破，但在一般的四棱锥中，对于任意给定的一个顶点各个击破似乎是不太现实的，于是需要打破定势思维重新思考解决问题的方向，正向不可，逆势而上，从分类与整合的思想方向前进，于是有：四棱锥的所有面角之和θ等于4个三角形的所有内角之和加上1个四边形的内角，于是问题迎刃而解，依此思路可得问题（2）的解题切入点，于是由四棱锥推及多面体，充分的借助整体观全局表达，顺利解题。 于此，再论数学文化题中的数学建模素养的探求，通常题目中有着简单表象的表述，给大家一个错觉，似乎可以直接建立数学模型了，但这种不经思索的模型就象漂浮于海中的冰山，让所有不愿深思熟虑的同学撞了个墙，因此要从根本上建立一个适合的数学模型，更应当从模型形成的过程去探究，关注数学知识的联系与数学直觉的引领，重视数学思想与方法的整合，数理逻辑与语言表达的推敲。由此可见，数学建模核心素养对于学生解数学文化题而言是一种真正地考验与本质的认识，也有助于学生的更全面成长。
四、推广应用
例2（2019年全国理科数学I卷（理）6）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦。在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是：
A. B. C. D.
分析：本题是以我国古代典籍《周易》中富含哲学思想的“卦”文化为载体，重点体现“卦”的表达方式简易又变化多样的本质，本质上理解或然与必然的数学思想，基于数学抽象的思考，则可明确问题的对象“阳爻”与“阴爻”可抽象为数学中的两个自然数“1，2”，而基于数学建模的应用可知本题就是概率主题，具体为计数原理及排列组合的运用，故本题相当于问“在由两个自然数“1，2”组成的六位数中，数字“1”出现3次的六位数的概率”。
解：由题知，两个数“1，2”组成的六位数有26种，其中数字“1”出现3次的六位数有C63种，所以数字“1”出现3次的六位数的概率为;故选A。
五、思考与建议
在教学中对于数学文化题，教师要以核心素养的渗透为指导思想，引导学生进行程序化，模式化的思考，可以有效地解决学生对于数学文化题的畏难情绪。充分的模式的范例，使学生更容易从本质上看透数学文化题的来龙去脉，从而理清解决问题的方向与路径。因此教学数学文化题还是任重而道远，需要教师根植于数学的本质，即数量关系与空间形式的认识。同时在教学中建议：要创造机会让学生去阅读、思考;留足时间让学生学会辨析、选择。学生所拥有的能力与素养是来源于平时一点一滴的数学学习的基本经验的体会与积累，良好与丰富的数学基本活动经验，让学生在知识的生成过程中的思维抽取、分析、建模的更系统化与习惯化，让学生有自己思考问题的时间与空间，学生才能经历思维与知识生产的阵疼，才能真正提升自我的核心素养。
参考文献
[1].中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.
[2].史宁中、林玉慈、陶剑、郭民.关于高中数学教育中的数学核心素養[J].课程·教材·教法（京），2017（4）：3-8.
本文系福建省“十三五”中小学名师名校长培养工程专项课题“基于类比思想的高中数学课堂问题清单研究”（立项批准号：DTRSX2019012）的阶段性研究成果.