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引领自主探索，发展数学思考能力
【教学内容】苏教版数学五年级下册第三单元“公倍数和公因数”第26～27页的例3、例4、“练一练”练习五的第1～5题。
【教学目标】
1.使学生在具体的操作活动中，认识公因数和最大公因数，会在集合图中分别表示两个数的因数和它们的公因数。
2.使学生学会用列举的方法找到10以内两个数的公因数和最大公因数，并能在解决问题的过程中主动探索简捷的方法，进行有条理的思考。
3.使学生在自主探索与合作交流的过程中，进一步发展与同伴进行合作交流的意识和能力，获得成功的体验。
【教学过程】
一、复习旧知，谈话导入
谈话：前一课我们用“猜测—验证—归纳”的方式学习了公倍数和最小公倍数，今天我们将用这种方法学习公因数和最大公因数。（板书课题：公因数和最大公因数）
（设计意图：前一节课学生已经学习了“公倍数和最小公倍数”，今天学习的内容与前一课学习的相类似，而学习的方法也与上一课相似，所以教师用简单的一句话开门见山导入新课，不但揭示了课题，而且对今天学习知识的方法进行了策略引领。）
二、引领探索，发展思维
（一）教学例3
1.呈现例3，提出猜想。
谈话：现在我们一起来看例3，先认真读一读（生自由读题），再在小组中交流，说说这道题是什么意思？
谈话：根据上一课学习的方法，我们可以先猜一猜哪种纸片正好铺满这个长方形，不过我们一定要养成一个好的习惯，要根据一定的依据猜测。谁先来猜一猜？
（设计意图：猜想是对研究的对象或问题进行观察、实验、分析、比较、联想、类比、归纳等，依据已有的材料和知识作出符合一定的经验与事实的推测性想象的思维方法。所以教学时教师有意让学生猜一猜，这有利于学生数学思考能力的发展，特别是教师“不过我们一定要养成一个好的习惯，要根据一定的依据猜测”的话语，是对学生进行正确思考的引领。）
生猜测后，小结：看来大家都认为边长6厘米的正方形纸片能铺满这个长方形，现在请大家用信封里的学具来验证我们的猜测是不是正确的。
2.引领操作，验证猜想。
学生操作，教师巡视，待学生操作完毕。
提问：通过刚才的操作，你发现哪一种正方形纸片能正好铺满这个长方形，与开始的猜测一样？
待学生回答后，谈话：刚才大家通过验证，得出了结论，边长6厘米的正方形纸片正好铺满这个长方形。
（设计意图：学生的猜想是否正确，这是学生非常关心的问题，所以在学生猜想后，让他们运用操作的方法去验证，不但可以满足学生的学习欲望，而且提升了学生的思维品质，因为学生的操作总是在视觉与触觉协同感知事物的同时，悄悄地展开了思维。）
提问：操作后，你们有没有再想一想，为什么边长6厘米的正方形纸片正好铺满这个长方形，而边长是4厘米的正方形纸片不能正好铺满这个长方形呢？我们能否列出一个算式来解释呢？谁来说说？
（学生可能回答：边长6厘米的正方形纸片正好铺满这个长方形，可以列出这样的算式：12÷6=2，18÷6=3）
提问：这里求出的2和3分别表示什么意思？用边长6厘米的正方形铺长方形正好可以铺多少个？
（学生可能回答：用边长6厘米的正方形铺长方形，沿着宽边铺，正好可以铺2行，沿着长边铺可以铺3列，所以用边长6厘米的正方形铺长方形正好可以铺6个）
提问：从刚才的算式中，你能用“因数”这个词来说明正好铺满这个长方形的道理吗？
引导学生回答：从这两个算式中可以知道，6既是12的因数，又是18的因数，所以能正好铺满。
提问：谁能用刚才的方法，列出算式，来说明边长是4厘米的正方形为什么不能正好铺满这个长方形的理由？
引导学生回答：因为12÷4=3，18÷4=4……2，所以用边长4厘米的正方形铺长方形，正好可以铺3行，如果铺4列，长边还余下2厘米。
提问：谁能用“因数”这个词来说明不能正好铺满这个长方形的道理？
引导学生回答：从这两个算式中可以知道，4是12的因数，但不是18的因数，所以不能正好铺满。
接着请学生一起说一说。
（设计意图：教师设计了几个较有价值的引领性问题：“你们有没有再想一想，为什么边长6厘米的正方形纸片正好铺满这个长方形，而边长是4厘米的正方形纸片不能正好铺满这个长方形呢？我们能否列出一个算式来解释呢”“你能用‘因数’这个词来说明正好铺满这个长方形的道理吗”……这些问题均恰到好处地引领学生朝着今天新学习的知识“公因数”迈进，这里一层一层环环相扣，为学生理解知识作了思维支撑。）
3.深入探究，归纳意义。
提问：从刚才的学习中，你们有没有发现，能铺满这个长方形的正方形纸片的边长有什么讲究？
谈话：现在我们分小组来研究，还有哪些边长是整厘米数的正方形纸片也能正好铺满这个长方形？（PPT呈现问题）
谈话：如果你觉得研究这个问题还有一点小困难，可以看看屏幕中老师的提示（提示：我们可以用列举的方法，从边长是1厘米的正方形纸片开始尝试）。
待小组研究完毕。
提问：哪个小组先来说说还有哪些边长是整厘米数的正方形纸片也能正好铺满这个长方形？
引导学生回答：还有边长是1厘米、2厘米、3厘米的正方形纸片能铺满这个长方形。
提问：如果用上“因数”这个词，你认为还可以怎样概括？
引导学生说出：只要看这个正方形纸片的边长是不是既是12的因数，又是18的因数就可以了。
提问：从刚才的学习中，我们已经知道哪些数既是12的因数，又是18的因数？ 小结：这里1、2、3、6既是12的因数，又是18的因数，我们就说1、2、3、6是12和18的公因数。（PPT呈现）
引导学生一起读一遍。
提问：谁来说一说，4是12和18的公因数吗？为什么？
谈话：通过刚才的学习，知道了什么是几个数的公因数，现在我们用学到的知识来解决一个问题。
（设计意图：教学中，在解决“还有哪些边长是整厘米数的正方形纸片也能正好铺满这个长方形”的问题时，教师运用小组合作研究的形式进行，有利于不同思维层次学生的需要，这里“如果你觉得研究这个问题还有一点小困难，可以看看屏幕中老师的提示”的引领，满足了不同思维层次学生的需要，因为当学生在探索而思维受阻时，可以通过教师的提示解决问题。）
（二）教学例4
1.呈现例4，合作探究。
提问：先独立思考，想一想，怎样来解决第一个问题？再以小组为单位，研究一下你们能想到几种方法。
待学生讨论完毕。
提问：现在我们一起来交流一下，你们想怎样来解决第一个问题？
（学生可能回答：分别找出8和12的因数，再找出它们的公因数）
谈话：这是我们找两个数的公因数经常用的一种方法。
提问：现在我们一起来看，8的因数有哪些？12的因数有哪些？8和12的公因数有哪些？（PPT同步呈现）
提问：哪个小组还想到另外的方法？
（学生可能回答：先写出8的因数，再看看8的因数中哪些是12的因数）
谈话：这也是一种找两个数的公因数的方法。我们一起来看8的因数有哪些？再看看8的因数中，哪些数也是12的因数？（PPT呈现解答过程）
小结：我们要想求8和12的公因数，可以分别写出两个数的因数，再找一找它们的公因数，也可以先找出8的因数，再从8的因数中找出12的因数。
2.比较策略，完善意义。
提问：现在我们来比较一下，这两种方法有什么相同和不同的地方，平时我们一般用怎样的方法解决问题？
提问：刚才大家已经找到了8和12的公因数，我们来看看8和12的公因数中哪个数最大。
小结：8和12的公因数中最大的是4，所以8和12的最大公因数是4。（PPT呈现，学生读一读）
提问：通过刚才的学习，谁能完整地说一说什么是两个数的公因数？什么是两个数的最大公因数？
谈话：8和12的公因数还可以用集合图来表示（呈现空白集合图），你们会自己填写吗？我们先来看两个集合相交的部分，谁来说说相交的部分表示什么？我们一般情况下先写什么比较好？现在请大家将你刚才求出的8和12的公因数填在集合圈中。（课前教师提供空白集合圈）
（待学生填写完毕，教师将集合圈画在黑板上，与学生自己填写的比较）
（三）完成练一练
1.呈现练一练。
提问：谁来说说题目的意思？
2.学生独立完成，完成后评析。
（设计意图：例4有两个方面的功能，一是通过例题的学习，让学生运用对公因数的理解，自己解决求两个数的最大公因数的问题，另一方面通过学习，让学生理解什么是两个数的最大公因数。所以在教学时，教师根据学生的认知水平，分层进行。首先小组合作用不同的方法完成找两个数的公因数，既体现解决问题策略的多样性，又展现了学生不同思维方法解决问题的个性，因为两种求公因数的方法各有其优越性，所以教师没有强调用什么方法找两个数的公因数，只是用问题的形式，提示学生一般找两个数的公因数的方法。）
三、分层练习，理解意义
（一）完成练习五的第1题
（学生独立完成，完成后集体校对）
提问：你是怎么知道18和30的公因数是1、2、3、6的？
引导学生回答：因为画“△”的都是18的因数，画“○”的都是30的因数，在1、2、3、6中既画了“△”又画了“○”，所以1、2、3、6既是18的因数又是30的因数，也就是18和30的公因数。
（二）完成练习五的第2题
（学生独立完成，完成后集体校对）
提问：谁来说说你是怎么知道8和10的公因数是1和2的？你又怎么知道8和20的公因数是1、2、4的？又是怎么知道10和20的公因数是1、2、5、10的？
（三）完成练习五的第3题
（学生独立完成，完成后集体校对）
（四）完成练习五的第4题
启发学生与教师一起逐一完成。
（设计意图：这里的练习，教师完全按照教材提供的材料展开，只是在解决问题时，分出层次，以让智力水平不同的学生都能得到发展。特别是练习五的第1题，在学生说出结果时，教师通过“你是怎么知道18和30的公因数是1、2、3、6的”这一问题，又一次为学生进一步理解公因数的意义作了引领。）
四、全课小结
提问：今天这节课我们学习了什么？你能用自己的语言说说什么是两个数的公因数，什么是两个数的最大公因数吗？
（江苏省苏州工业园区新城花园小学 215021）
【教学内容】苏教版数学五年级下册第三单元“公倍数和公因数”第26～27页的例3、例4、“练一练”练习五的第1～5题。
【教学目标】
1.使学生在具体的操作活动中，认识公因数和最大公因数，会在集合图中分别表示两个数的因数和它们的公因数。
2.使学生学会用列举的方法找到10以内两个数的公因数和最大公因数，并能在解决问题的过程中主动探索简捷的方法，进行有条理的思考。
3.使学生在自主探索与合作交流的过程中，进一步发展与同伴进行合作交流的意识和能力，获得成功的体验。
【教学过程】
一、复习旧知，谈话导入
谈话：前一课我们用“猜测—验证—归纳”的方式学习了公倍数和最小公倍数，今天我们将用这种方法学习公因数和最大公因数。（板书课题：公因数和最大公因数）
（设计意图：前一节课学生已经学习了“公倍数和最小公倍数”，今天学习的内容与前一课学习的相类似，而学习的方法也与上一课相似，所以教师用简单的一句话开门见山导入新课，不但揭示了课题，而且对今天学习知识的方法进行了策略引领。）
二、引领探索，发展思维
（一）教学例3
1.呈现例3，提出猜想。
谈话：现在我们一起来看例3，先认真读一读（生自由读题），再在小组中交流，说说这道题是什么意思？
谈话：根据上一课学习的方法，我们可以先猜一猜哪种纸片正好铺满这个长方形，不过我们一定要养成一个好的习惯，要根据一定的依据猜测。谁先来猜一猜？
（设计意图：猜想是对研究的对象或问题进行观察、实验、分析、比较、联想、类比、归纳等，依据已有的材料和知识作出符合一定的经验与事实的推测性想象的思维方法。所以教学时教师有意让学生猜一猜，这有利于学生数学思考能力的发展，特别是教师“不过我们一定要养成一个好的习惯，要根据一定的依据猜测”的话语，是对学生进行正确思考的引领。）
生猜测后，小结：看来大家都认为边长6厘米的正方形纸片能铺满这个长方形，现在请大家用信封里的学具来验证我们的猜测是不是正确的。
2.引领操作，验证猜想。
学生操作，教师巡视，待学生操作完毕。
提问：通过刚才的操作，你发现哪一种正方形纸片能正好铺满这个长方形，与开始的猜测一样？
待学生回答后，谈话：刚才大家通过验证，得出了结论，边长6厘米的正方形纸片正好铺满这个长方形。
（设计意图：学生的猜想是否正确，这是学生非常关心的问题，所以在学生猜想后，让他们运用操作的方法去验证，不但可以满足学生的学习欲望，而且提升了学生的思维品质，因为学生的操作总是在视觉与触觉协同感知事物的同时，悄悄地展开了思维。）
提问：操作后，你们有没有再想一想，为什么边长6厘米的正方形纸片正好铺满这个长方形，而边长是4厘米的正方形纸片不能正好铺满这个长方形呢？我们能否列出一个算式来解释呢？谁来说说？
（学生可能回答：边长6厘米的正方形纸片正好铺满这个长方形，可以列出这样的算式：12÷6=2，18÷6=3）
提问：这里求出的2和3分别表示什么意思？用边长6厘米的正方形铺长方形正好可以铺多少个？
（学生可能回答：用边长6厘米的正方形铺长方形，沿着宽边铺，正好可以铺2行，沿着长边铺可以铺3列，所以用边长6厘米的正方形铺长方形正好可以铺6个）
提问：从刚才的算式中，你能用“因数”这个词来说明正好铺满这个长方形的道理吗？
引导学生回答：从这两个算式中可以知道，6既是12的因数，又是18的因数，所以能正好铺满。
提问：谁能用刚才的方法，列出算式，来说明边长是4厘米的正方形为什么不能正好铺满这个长方形的理由？
引导学生回答：因为12÷4=3，18÷4=4……2，所以用边长4厘米的正方形铺长方形，正好可以铺3行，如果铺4列，长边还余下2厘米。
提问：谁能用“因数”这个词来说明不能正好铺满这个长方形的道理？
引导学生回答：从这两个算式中可以知道，4是12的因数，但不是18的因数，所以不能正好铺满。
接着请学生一起说一说。
（设计意图：教师设计了几个较有价值的引领性问题：“你们有没有再想一想，为什么边长6厘米的正方形纸片正好铺满这个长方形，而边长是4厘米的正方形纸片不能正好铺满这个长方形呢？我们能否列出一个算式来解释呢”“你能用‘因数’这个词来说明正好铺满这个长方形的道理吗”……这些问题均恰到好处地引领学生朝着今天新学习的知识“公因数”迈进，这里一层一层环环相扣，为学生理解知识作了思维支撑。）
3.深入探究，归纳意义。
提问：从刚才的学习中，你们有没有发现，能铺满这个长方形的正方形纸片的边长有什么讲究？
谈话：现在我们分小组来研究，还有哪些边长是整厘米数的正方形纸片也能正好铺满这个长方形？（PPT呈现问题）
谈话：如果你觉得研究这个问题还有一点小困难，可以看看屏幕中老师的提示（提示：我们可以用列举的方法，从边长是1厘米的正方形纸片开始尝试）。
待小组研究完毕。
提问：哪个小组先来说说还有哪些边长是整厘米数的正方形纸片也能正好铺满这个长方形？
引导学生回答：还有边长是1厘米、2厘米、3厘米的正方形纸片能铺满这个长方形。
提问：如果用上“因数”这个词，你认为还可以怎样概括？
引导学生说出：只要看这个正方形纸片的边长是不是既是12的因数，又是18的因数就可以了。
提问：从刚才的学习中，我们已经知道哪些数既是12的因数，又是18的因数？ 小结：这里1、2、3、6既是12的因数，又是18的因数，我们就说1、2、3、6是12和18的公因数。（PPT呈现）
引导学生一起读一遍。
提问：谁来说一说，4是12和18的公因数吗？为什么？
谈话：通过刚才的学习，知道了什么是几个数的公因数，现在我们用学到的知识来解决一个问题。
（设计意图：教学中，在解决“还有哪些边长是整厘米数的正方形纸片也能正好铺满这个长方形”的问题时，教师运用小组合作研究的形式进行，有利于不同思维层次学生的需要，这里“如果你觉得研究这个问题还有一点小困难，可以看看屏幕中老师的提示”的引领，满足了不同思维层次学生的需要，因为当学生在探索而思维受阻时，可以通过教师的提示解决问题。）
（二）教学例4
1.呈现例4，合作探究。
提问：先独立思考，想一想，怎样来解决第一个问题？再以小组为单位，研究一下你们能想到几种方法。
待学生讨论完毕。
提问：现在我们一起来交流一下，你们想怎样来解决第一个问题？
（学生可能回答：分别找出8和12的因数，再找出它们的公因数）
谈话：这是我们找两个数的公因数经常用的一种方法。
提问：现在我们一起来看，8的因数有哪些？12的因数有哪些？8和12的公因数有哪些？（PPT同步呈现）
提问：哪个小组还想到另外的方法？
（学生可能回答：先写出8的因数，再看看8的因数中哪些是12的因数）
谈话：这也是一种找两个数的公因数的方法。我们一起来看8的因数有哪些？再看看8的因数中，哪些数也是12的因数？（PPT呈现解答过程）
小结：我们要想求8和12的公因数，可以分别写出两个数的因数，再找一找它们的公因数，也可以先找出8的因数，再从8的因数中找出12的因数。
2.比较策略，完善意义。
提问：现在我们来比较一下，这两种方法有什么相同和不同的地方，平时我们一般用怎样的方法解决问题？
提问：刚才大家已经找到了8和12的公因数，我们来看看8和12的公因数中哪个数最大。
小结：8和12的公因数中最大的是4，所以8和12的最大公因数是4。（PPT呈现，学生读一读）
提问：通过刚才的学习，谁能完整地说一说什么是两个数的公因数？什么是两个数的最大公因数？
谈话：8和12的公因数还可以用集合图来表示（呈现空白集合图），你们会自己填写吗？我们先来看两个集合相交的部分，谁来说说相交的部分表示什么？我们一般情况下先写什么比较好？现在请大家将你刚才求出的8和12的公因数填在集合圈中。（课前教师提供空白集合圈）
（待学生填写完毕，教师将集合圈画在黑板上，与学生自己填写的比较）
（三）完成练一练
1.呈现练一练。
提问：谁来说说题目的意思？
2.学生独立完成，完成后评析。
（设计意图：例4有两个方面的功能，一是通过例题的学习，让学生运用对公因数的理解，自己解决求两个数的最大公因数的问题，另一方面通过学习，让学生理解什么是两个数的最大公因数。所以在教学时，教师根据学生的认知水平，分层进行。首先小组合作用不同的方法完成找两个数的公因数，既体现解决问题策略的多样性，又展现了学生不同思维方法解决问题的个性，因为两种求公因数的方法各有其优越性，所以教师没有强调用什么方法找两个数的公因数，只是用问题的形式，提示学生一般找两个数的公因数的方法。）
三、分层练习，理解意义
（一）完成练习五的第1题
（学生独立完成，完成后集体校对）
提问：你是怎么知道18和30的公因数是1、2、3、6的？
引导学生回答：因为画“△”的都是18的因数，画“○”的都是30的因数，在1、2、3、6中既画了“△”又画了“○”，所以1、2、3、6既是18的因数又是30的因数，也就是18和30的公因数。
（二）完成练习五的第2题
（学生独立完成，完成后集体校对）
提问：谁来说说你是怎么知道8和10的公因数是1和2的？你又怎么知道8和20的公因数是1、2、4的？又是怎么知道10和20的公因数是1、2、5、10的？
（三）完成练习五的第3题
（学生独立完成，完成后集体校对）
（四）完成练习五的第4题
启发学生与教师一起逐一完成。
（设计意图：这里的练习，教师完全按照教材提供的材料展开，只是在解决问题时，分出层次，以让智力水平不同的学生都能得到发展。特别是练习五的第1题，在学生说出结果时，教师通过“你是怎么知道18和30的公因数是1、2、3、6的”这一问题，又一次为学生进一步理解公因数的意义作了引领。）
四、全课小结
提问：今天这节课我们学习了什么？你能用自己的语言说说什么是两个数的公因数，什么是两个数的最大公因数吗？
（江苏省苏州工业园区新城花园小学 215021）