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一、题目自身特点对解题正确性的影响
(一)思维过程的难易程度对错误率高低的影响
1.关于被除数各个数位上的数都是除数的倍数
被除数各位数字均是除数倍数的题目相比同类其他题目错误率较低。如下面两题:
从解题的步骤上来看,两者是完全一样的。但是如果从学生解题的思维步骤来看,两者则有较大差异。
从上表可以看出,将解题过程按学生思考的过程进行要素分解,后者的思考步骤更为复杂,其中第3、4步还涉及到了对余数不为零除法意义的理解。因此尽管两题同为两位数除以一位数、余数为零的除法,但是学生在实际解题的过程中思维的过程有很大差异,这也就造成了被除数各位数字不全为除数倍数的题目错题数更多。
2.除数的特征
除数是小数还是整数、除数是两位数还是一位数(或整十数)、除数的个位数字是1-5还是6-9等情况都对题目的正确率有一定的影响。对于除数是小数的题目,学生在计算时除需考虑计算的正确性,还要考虑小数点的位置,而小数点位置的确定就涉及到了对商不变性质的理解。
(二)学生在确定商时的困难
1.商中没写零
商中没有写零的错误主要出现在商中有零的除法中。
2.商的首位数字写错位置
商的首位数字写错位置主要是指,学生在试商过程中,由于竖式中商的位置写错造成商的末尾多零。
3.商中多写零
商中多写零的错误在错误类型中也占有比较高的比例。商中多写零与前面“商中没写零”的错误相反,在商中原本不该出现零的反而出现了。另外,这类错误与前面提到的“商的首位数字写错位置”也有一定关系。
4.商大
商大的错误常见于余数很接近除数的题目中,学生在试商的过程中,一般根据被除数的首位数字确定商的大小,接下来的计算不同的学生则各有不同。
5.商小
相应的,有商大的情况就有商小了的情况。学生在试商过程中,不易直接判断出正确的商,往往需要多次试验,这也是导致学生得出“不合理商”的主要原因。
6.余数末尾不写零
余数末尾不写零的错误主要集中在被除数、除数末尾有零、余数末尾也有零的除法上,该类题目主要集中在四年级。余数的末尾不写零,主要是学生在遇到被除数、除数末尾都有零时,往往采用“简单”的方法解决问题。
二、学生自身特点对解题正确性的影响
(一)认知特点
1.感知不够精细
感知不够精细主要表现在学生在做题过程中抄错数,这类错误的产生并非学生不会做题,也并非学生对某步的运算有困难,如果没有抄错数,学生的答案是完全正确的。对于这些学生来讲,错误产生的原因在于其个人对数字、符号的感知不全面。抄题时会遗漏某些数字,抄答案时又会将除数、商、余数搞混。对于小学生来讲,这种情况是完全正常的,因此,小学生的注意力以及感知功能有待完善。
2.感知不够全面
随着学习内容的逐渐加深,学生在进行除法竖式计算过程中,需要考虑的要素也逐渐增多。对于小学生来讲,感知能力仍处在不断发展的过程中,在学习上的表现就是难以从整体上把握问题,较难顾及到构成问题的全部要素,从而造成计算错误。
3.学生的认知能力还未达到评价的水平
例如,题目要求学生量出一个给定角的大小,从图上可以明显看出图示是一个锐角,但是学生量得的角度却属于钝角的范围。实际上如果学生能够在量出角度后重新看一下图示,就应该可以发现自己的错误,进而改正的。同样,在除法竖式计算过程中出现的很多错误,如果学生可以在计算完毕后,回头看看自己计算的过程和结果,完全是可以避免的。可以看出,该阶段的小学生还不能达到能够对解答做出评价的水平。
(二)思维特点
1.小学生解题过程易受先前学习的影响
学习新知识时,是新知识体系的建立过程,同时也是对旧知识体系的颠覆或补充的过程。这时,原有的知识会对新的学习产生一定的影响,有助于新的学习或阻碍新的学习。
2.思维的灵活性有待增强
在最初学习减法时,学生对减法意义的理解会使学生认为减法就是要用“大数减小数”,随着学习的逐步深入,学生应逐步调整自己的错误观念。但是在进行除法运算时,减法对学生来讲已比较熟练。另外,根据题目的要求,学生的注意力主要集中在除法运算(主要是试商)上,这就使得原来在减法计算时出现的问题反而暴露了出来。
3.前知识的缺乏是导致计算错误的原因之一
错误的产生与学生的学习经验有密切关系。如下面两题:
这两题都是三位数除以一位数的除法,并且被除数的百位数字都是除数的倍数。但不同的是第二题商的十位数字为零。尽管只有这一点不同,但对学生来讲,两题的难度就有了很大差别。
第一题,首先要用被除数百位上的4除以除数4商1;第二步,要用被除数十位上的5除以4,此时商1余1;第三步,将余下的1变成10,与个位上的6合并成16,再去除以4,商4,并得到最终的结果114。对于第二题,第一步和第一题类似,得到商1;第二步,应该用被除数十位上的数字3除以7,实际上就是用7去分3,不能分,商0。但是学生在学习除法的过程中没有正式接触过类似于3除以7商几余几的题目,因此在计算类似于735除以7的题目时,由于缺少了己有的经验,学生难免在计算时出错。
(三)情感因素
除法竖式是人们为了方便而创造的一种笔算方法,它的运算法则和运算形式都是人为规定的规则,主要目的是将计算的过程分步书写出来,使思维能够集中于计算,而无需记住每一步的结果,从而减轻思维的负担。既然是人为规定的规则,就没有唯一正确的标准,只是现阶段人们规定采用现在的形式进行计算。学生在计算时,往往倾向于用自己喜欢的方法解决问题。
(一)思维过程的难易程度对错误率高低的影响
1.关于被除数各个数位上的数都是除数的倍数
被除数各位数字均是除数倍数的题目相比同类其他题目错误率较低。如下面两题:
从解题的步骤上来看,两者是完全一样的。但是如果从学生解题的思维步骤来看,两者则有较大差异。
从上表可以看出,将解题过程按学生思考的过程进行要素分解,后者的思考步骤更为复杂,其中第3、4步还涉及到了对余数不为零除法意义的理解。因此尽管两题同为两位数除以一位数、余数为零的除法,但是学生在实际解题的过程中思维的过程有很大差异,这也就造成了被除数各位数字不全为除数倍数的题目错题数更多。
2.除数的特征
除数是小数还是整数、除数是两位数还是一位数(或整十数)、除数的个位数字是1-5还是6-9等情况都对题目的正确率有一定的影响。对于除数是小数的题目,学生在计算时除需考虑计算的正确性,还要考虑小数点的位置,而小数点位置的确定就涉及到了对商不变性质的理解。
(二)学生在确定商时的困难
1.商中没写零
商中没有写零的错误主要出现在商中有零的除法中。
2.商的首位数字写错位置
商的首位数字写错位置主要是指,学生在试商过程中,由于竖式中商的位置写错造成商的末尾多零。
3.商中多写零
商中多写零的错误在错误类型中也占有比较高的比例。商中多写零与前面“商中没写零”的错误相反,在商中原本不该出现零的反而出现了。另外,这类错误与前面提到的“商的首位数字写错位置”也有一定关系。
4.商大
商大的错误常见于余数很接近除数的题目中,学生在试商的过程中,一般根据被除数的首位数字确定商的大小,接下来的计算不同的学生则各有不同。
5.商小
相应的,有商大的情况就有商小了的情况。学生在试商过程中,不易直接判断出正确的商,往往需要多次试验,这也是导致学生得出“不合理商”的主要原因。
6.余数末尾不写零
余数末尾不写零的错误主要集中在被除数、除数末尾有零、余数末尾也有零的除法上,该类题目主要集中在四年级。余数的末尾不写零,主要是学生在遇到被除数、除数末尾都有零时,往往采用“简单”的方法解决问题。
二、学生自身特点对解题正确性的影响
(一)认知特点
1.感知不够精细
感知不够精细主要表现在学生在做题过程中抄错数,这类错误的产生并非学生不会做题,也并非学生对某步的运算有困难,如果没有抄错数,学生的答案是完全正确的。对于这些学生来讲,错误产生的原因在于其个人对数字、符号的感知不全面。抄题时会遗漏某些数字,抄答案时又会将除数、商、余数搞混。对于小学生来讲,这种情况是完全正常的,因此,小学生的注意力以及感知功能有待完善。
2.感知不够全面
随着学习内容的逐渐加深,学生在进行除法竖式计算过程中,需要考虑的要素也逐渐增多。对于小学生来讲,感知能力仍处在不断发展的过程中,在学习上的表现就是难以从整体上把握问题,较难顾及到构成问题的全部要素,从而造成计算错误。
3.学生的认知能力还未达到评价的水平
例如,题目要求学生量出一个给定角的大小,从图上可以明显看出图示是一个锐角,但是学生量得的角度却属于钝角的范围。实际上如果学生能够在量出角度后重新看一下图示,就应该可以发现自己的错误,进而改正的。同样,在除法竖式计算过程中出现的很多错误,如果学生可以在计算完毕后,回头看看自己计算的过程和结果,完全是可以避免的。可以看出,该阶段的小学生还不能达到能够对解答做出评价的水平。
(二)思维特点
1.小学生解题过程易受先前学习的影响
学习新知识时,是新知识体系的建立过程,同时也是对旧知识体系的颠覆或补充的过程。这时,原有的知识会对新的学习产生一定的影响,有助于新的学习或阻碍新的学习。
2.思维的灵活性有待增强
在最初学习减法时,学生对减法意义的理解会使学生认为减法就是要用“大数减小数”,随着学习的逐步深入,学生应逐步调整自己的错误观念。但是在进行除法运算时,减法对学生来讲已比较熟练。另外,根据题目的要求,学生的注意力主要集中在除法运算(主要是试商)上,这就使得原来在减法计算时出现的问题反而暴露了出来。
3.前知识的缺乏是导致计算错误的原因之一
错误的产生与学生的学习经验有密切关系。如下面两题:
这两题都是三位数除以一位数的除法,并且被除数的百位数字都是除数的倍数。但不同的是第二题商的十位数字为零。尽管只有这一点不同,但对学生来讲,两题的难度就有了很大差别。
第一题,首先要用被除数百位上的4除以除数4商1;第二步,要用被除数十位上的5除以4,此时商1余1;第三步,将余下的1变成10,与个位上的6合并成16,再去除以4,商4,并得到最终的结果114。对于第二题,第一步和第一题类似,得到商1;第二步,应该用被除数十位上的数字3除以7,实际上就是用7去分3,不能分,商0。但是学生在学习除法的过程中没有正式接触过类似于3除以7商几余几的题目,因此在计算类似于735除以7的题目时,由于缺少了己有的经验,学生难免在计算时出错。
(三)情感因素
除法竖式是人们为了方便而创造的一种笔算方法,它的运算法则和运算形式都是人为规定的规则,主要目的是将计算的过程分步书写出来,使思维能够集中于计算,而无需记住每一步的结果,从而减轻思维的负担。既然是人为规定的规则,就没有唯一正确的标准,只是现阶段人们规定采用现在的形式进行计算。学生在计算时,往往倾向于用自己喜欢的方法解决问题。