论文部分内容阅读
摘 要：随着高考改革的不断深入，各学科应根据考试大纲要求对教学方法进行相应的优化改进。对于数学学科而言，利用导数求含参不等式恒成立问题是近年来的热门考点，该考点充分考查了函数求导、三角函数、不等式等知识点内容，知识内容涉及广且灵活，使得学生在应付该类试题上往往难以下手。因此本文通过从分析该类问题的方法和思路入手，总结恒等式问题中求参数取值范围方法，为高中数学教学的优化提供参考。
关键词：导数;不等式恒成立;方法
前言
含参不等式恒成立中参数取值范围问题一直是高中数学考试中的热门考点，这类数学问题充分考查了学生对数学知识的理解和综合运用，通常而言求解该类题目主要运用函数求导的基本方法。所有的不等式恒成立求参数取值范围问题，采用新建函数并求导能够达到一定的化简作用，但所有的不等式求取值范围问题并不是仅通过函数求导就能解答，而是需要学生具有“变式求解”的数学思维，基于函数求导进行深入的数学分析才能得出准确的数学结果。
一、分离参数法
分离参数法是求参数取值范围的一种重要方法，是利用导数求含参不等式恒成立參数取值中的基本解题方法。分离参数法的重点在于将不等式中的参数分离出后能否从新式中求解最值、值域、单调性等，大多数学生无法熟练掌握分离参数法的原因，主要是由于将分离参数法与分离常数法混淆，在高中数学的不等式问题中仅通过常数是无法判断参数的取值范围。例1：设函数f（x）=x3+2x 2+ax，x在[1，2]时f（x）不是单调函数，求解实数a的取值范围.这是一道典型的利用分离参数法求解不等式恒成立参数取值范围的问题，此题的分析过程应当是从函数f（x）观察入手，函数为三次幂函数并且当x在[1，2]中不是单调函数因此在此区间内函数具有多个单调性，函数中含有三项其中一次项含有a和x两个变量，所以说a的取值与函数的单调性有着一定的联系，如果在求解过程中如果不对函数进行处理而采用带入求解法则需要进行多次讨论，此题的最优解法是通过对函数f（x）直接求导，得出f'（x）=3x 2+4x+a的二次函数，进而利用对称轴公式求解出二次函数对称轴，因为f'（x）开口朝上，所以在区间[1，2]上单调递增，所以求得a的取值为（-16，-7）。
二、特值求解法
特值求解法在数学问题中运用的核心思想在于选择正确的特定值，减少函数式中未知量个数或化简函数式，而在含参不等式问题中特值求解法更多的是为了便于对参数取值范围的讨论。例2：已知函数f（x）=ax+sinx，x∈[0，π]，若f（x） 1+cosx求a的取值范围。面对例题应首先分析已知量的构成，函数是由一次函数与三角函数组成，问题需求解不大于1+cosx时参数a的取值，由于sinx与cosx函数在题目要求区间内所反映的单调性不同并且f（x）是一次函数与三角函数的组合函数具有多重性质，因此在求解时可以通过构造新函数g（x）=1+sinx-cosx-ax，进行求导并化简后得到g'（x）= sin（x+ π /4）-a，对于g'（x）而言函数的值域为[-1， ]，因为导数值正负关系反映原函数的单调性，所以得出a -1时g（x）单调递增且a取-1时等号成立，而当 -1<a<2/π时g（x）单调递减，分别将x=0和x=π带入g（x）选择最小值从而得出a 2/π。学生在实际的做题过程中如果经常采用特值求解则会使学生形成一种范式化的求解模式，一旦题目出现变化或未知量增多则无法顺利找到特殊值。解题方法多种多样，因此并不提倡学生使用特值求解进行解题，但特值求解法的核心思想可以应用到解题过程中帮助学生思考，寻找突破口。
三、放缩法
放缩法是在求解不等式成立问题中如遇到不等式两边数量关系无法比较时而采取寻找一个中间量进行比较的一种方法，中间量的寻找过程往往需要将原式放大或缩小，但处理后的结果可以更为准确地对不等量进行比较。放缩法应用在利用导数求解含参不等式恒成立中参数取值范围的问题时对于高中学生而言往往具有一定的难度，问题的考查点并不是让学生去寻找变式关系构造出中间变量，其重点应强调对函数的求导后变量取值范围的分析，找到不等式两边趋同点进而构造出中间量。放缩法需要学生具备一定的数学核心素养，依靠全面的数学分析和准确的中间量构造来实现解体目的。不言而喻，放缩法凝聚了多种数学思维和方法是数学知识综合应用的体现，学生对放缩法的掌握和应用，应从平时不断的练习中进行总结归纳。
总结
综上所述，利用导数求含参不等式恒成立问题中参数取值范围的数学方法，主要包括分离参数法、特值求解法和放缩法三种，但并不是说所有不等式恒成立问题都应围绕着这三种方法来思考求解。高中数学的学习更多的是讲求融会贯通性，只有让学生清晰掌握各知识内容间的联系及数学方法的运用技巧，并通过学生的亲身实践动手求解后，才能促使学生对该类数学问题灵活作答。
参考文献：
[1] 周凤玲. “利用导数求含参不等式恒成立问题中参数取值范围”的重要方法[J]. 中国科教创新导刊，2014（3）.
[2] 刘飞. 含参不等式恒成立问题中参数取值范围的求解策略[J]. 理科考试研究，2016（1）.
[3] 缪树模. 例谈含参不等式恒成立问题的解题方法[J]. 语数外学习（数学教育），2012（10）.
关键词：导数;不等式恒成立;方法
前言
含参不等式恒成立中参数取值范围问题一直是高中数学考试中的热门考点，这类数学问题充分考查了学生对数学知识的理解和综合运用，通常而言求解该类题目主要运用函数求导的基本方法。所有的不等式恒成立求参数取值范围问题，采用新建函数并求导能够达到一定的化简作用，但所有的不等式求取值范围问题并不是仅通过函数求导就能解答，而是需要学生具有“变式求解”的数学思维，基于函数求导进行深入的数学分析才能得出准确的数学结果。
一、分离参数法
分离参数法是求参数取值范围的一种重要方法，是利用导数求含参不等式恒成立參数取值中的基本解题方法。分离参数法的重点在于将不等式中的参数分离出后能否从新式中求解最值、值域、单调性等，大多数学生无法熟练掌握分离参数法的原因，主要是由于将分离参数法与分离常数法混淆，在高中数学的不等式问题中仅通过常数是无法判断参数的取值范围。例1：设函数f（x）=x3+2x 2+ax，x在[1，2]时f（x）不是单调函数，求解实数a的取值范围.这是一道典型的利用分离参数法求解不等式恒成立参数取值范围的问题，此题的分析过程应当是从函数f（x）观察入手，函数为三次幂函数并且当x在[1，2]中不是单调函数因此在此区间内函数具有多个单调性，函数中含有三项其中一次项含有a和x两个变量，所以说a的取值与函数的单调性有着一定的联系，如果在求解过程中如果不对函数进行处理而采用带入求解法则需要进行多次讨论，此题的最优解法是通过对函数f（x）直接求导，得出f'（x）=3x 2+4x+a的二次函数，进而利用对称轴公式求解出二次函数对称轴，因为f'（x）开口朝上，所以在区间[1，2]上单调递增，所以求得a的取值为（-16，-7）。
二、特值求解法
特值求解法在数学问题中运用的核心思想在于选择正确的特定值，减少函数式中未知量个数或化简函数式，而在含参不等式问题中特值求解法更多的是为了便于对参数取值范围的讨论。例2：已知函数f（x）=ax+sinx，x∈[0，π]，若f（x） 1+cosx求a的取值范围。面对例题应首先分析已知量的构成，函数是由一次函数与三角函数组成，问题需求解不大于1+cosx时参数a的取值，由于sinx与cosx函数在题目要求区间内所反映的单调性不同并且f（x）是一次函数与三角函数的组合函数具有多重性质，因此在求解时可以通过构造新函数g（x）=1+sinx-cosx-ax，进行求导并化简后得到g'（x）= sin（x+ π /4）-a，对于g'（x）而言函数的值域为[-1， ]，因为导数值正负关系反映原函数的单调性，所以得出a -1时g（x）单调递增且a取-1时等号成立，而当 -1<a<2/π时g（x）单调递减，分别将x=0和x=π带入g（x）选择最小值从而得出a 2/π。学生在实际的做题过程中如果经常采用特值求解则会使学生形成一种范式化的求解模式，一旦题目出现变化或未知量增多则无法顺利找到特殊值。解题方法多种多样，因此并不提倡学生使用特值求解进行解题，但特值求解法的核心思想可以应用到解题过程中帮助学生思考，寻找突破口。
三、放缩法
放缩法是在求解不等式成立问题中如遇到不等式两边数量关系无法比较时而采取寻找一个中间量进行比较的一种方法，中间量的寻找过程往往需要将原式放大或缩小，但处理后的结果可以更为准确地对不等量进行比较。放缩法应用在利用导数求解含参不等式恒成立中参数取值范围的问题时对于高中学生而言往往具有一定的难度，问题的考查点并不是让学生去寻找变式关系构造出中间变量，其重点应强调对函数的求导后变量取值范围的分析，找到不等式两边趋同点进而构造出中间量。放缩法需要学生具备一定的数学核心素养，依靠全面的数学分析和准确的中间量构造来实现解体目的。不言而喻，放缩法凝聚了多种数学思维和方法是数学知识综合应用的体现，学生对放缩法的掌握和应用，应从平时不断的练习中进行总结归纳。
总结
综上所述，利用导数求含参不等式恒成立问题中参数取值范围的数学方法，主要包括分离参数法、特值求解法和放缩法三种，但并不是说所有不等式恒成立问题都应围绕着这三种方法来思考求解。高中数学的学习更多的是讲求融会贯通性，只有让学生清晰掌握各知识内容间的联系及数学方法的运用技巧，并通过学生的亲身实践动手求解后，才能促使学生对该类数学问题灵活作答。
参考文献：
[1] 周凤玲. “利用导数求含参不等式恒成立问题中参数取值范围”的重要方法[J]. 中国科教创新导刊，2014（3）.
[2] 刘飞. 含参不等式恒成立问题中参数取值范围的求解策略[J]. 理科考试研究，2016（1）.
[3] 缪树模. 例谈含参不等式恒成立问题的解题方法[J]. 语数外学习（数学教育），2012（10）.