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【摘 要】 新的《数学课程标准》要求学生的数学学习内容“有利于学生主动地进行观察、实验、猜想、验证……等数学活动”,明确地给予直觉思维应有的地位。教师在课堂教学中应多角度、多层次、持之以恒地培养学生的直觉思维,最大限度地发挥直觉思维的作用,提高学生的素质。
【关键词】 新课标 数学直觉思维
新的中学数学教学大纲(试验修订本)将原大纲中培养学生的三大能力之一“逻辑思维能力”为“思维能力”,这就要求教师在教学过程注重逻辑思维能力培养的同时,还要注重观察能力、直觉能力、想象能力等能力的培养。新的《数学课程标准》要求学生的数学学习内容“有利于学生主动地进行观察、实验、猜想、验证……等数学活动”,明确地给予直觉思维应有的地位。
1 数学直觉思维概念的理解
直觉思维简单地说就是直接的觉察,更为严格的说法,就是大脑对于突现在其面前的新事物、新形象、新问题及其关系的一种迅速的识别、敏锐的洞察、直接本质理解和整体判断的一种思维活动,数学直觉思维是由数学活动中的想象和判断组成,简约、迅速、富有跳跃性,它是思维过程的压缩和简化。
从思维方式上来看,思维可以分为逻辑思维和直觉思维。长期以来人们刻意把两者分离开来,其实这是一种误解,逻辑思维与直觉思维从来就不是割离的。有一种观点认为逻辑重于演绎,而直观重于分析,从侧重角度来看,此话不无道理,但侧重并不等于完全,数学逻辑中是否会有直觉成分?数学直觉是否具有逻辑性?比如在日常生活中有许多说不清道不明的东西,人们对各种事件作出判断与猜想离不开直觉,甚至可以说直觉无时无刻不在起作用。数学也是对客观世界的反映,它是人们对生活现象与世界运行的秩序直觉的体现,再以数学的形式将思考的理性过程格式化。数学最初的概念都是基于直觉,数学在一定程度上就是在问题解决中得到发展的,问题解决也离不开直觉,下面我们就以数学问题的证明为例,来考察直觉在证明过程中所起的作用。
一个数学证明可以分解为许多基本运算或许多“演绎推理元素”,一个成功的数学证明是这些基本运算或“演绎推理元素”的一个成功的组合,仿佛是一条从出发点到目的地的通道,一个个基本运算和“演绎推理元素”就是这条通道的一个个路段,当一个成功的证明摆在我们面前时,逻辑可以帮助我们确信沿着这条路必定能顺利地到达目的地,但是逻辑却不能告诉我们,为什么这些路径的选取与这样的组合可以构成一条通道。事实上,出发不久就会遇上叉路口,也就是遇上了正确选择构成通道的路段的问题。庞加莱认为,即使能复写出一个成功的数学证明,但不知道是什么东西造成了证明的一致性……这些元素安置的顺序比元素本身更加重要。笛卡尔认为在数学推理中的每一步,直觉力都是不可缺少的。就好似我们平时打篮球,要靠球感一样,在快速运动中来不及去作逻辑判断,动作只是下意识的,而下意识的动作正是在平时训练产生的一种直觉。
2 数学直觉思维的特点
数学直觉思维是一种非逻辑思维活动,是一种潜意识活动参与,不受固定逻辑规则约束,由思维主体自觉领悟事物本质的活动。非逻辑性是数学思维的主要特征。
数学直接思维具有直接性、整体性、或然性、不可解释性等特点。
2.1 直接性。直觉思维是对思维对象从整体上考察,调动自己的全部知识经验,通过丰富的想象作出的敏锐而迅速的假设、猜想或判断,它省去了一步一步分析推理的中间环节,而采取了“跳跃式”的形式。它是一瞬间的思维火花,是长期积累上的一种升华,是思维者的灵感和顿悟,是思维过程的高度简化,但是它却清晰的触及到事物的“本质”。
2.2 整体性。数学直觉思维的结果是关于对象的整体性的认识,尽管这并非是一幅毫无遗漏的“图画”,它的某些细节甚至是模糊的,但是,它却清晰地表明了事物的本质或问题的所在。
2.3 独创性。直觉思维的独创性是指作出不同寻常的新奇反应的能力。它集中反映在面对问题时敢于独出心裁,推陈出新,达到出奇制胜的目的,培养学生的直觉思维的独创性。现代社会需要创造性的人才,我国的教材由于长期以来借鉴国外的经验,过多地注重培养逻辑思维,培养的人才大多数习惯于按部就班、墨守成规,缺乏创造能力和开拓精神。直觉思维是基于研究对象整体上的把握,不专意于细节的推敲,是思维的大手笔。正是由于思维的无意识性,它的想象才是丰富的,发散的,使人的认知结构向外无限扩展,因而具有反常规律的独创性。
3 数学直觉思维培养的策略
3.1 善于联想,促进迁移。联想是由此及彼的思考方法。联想要以一定的数学知识、技能和解题经验为基础。对某些数学问题,若能联想一些形式相同的、思考方法相似的、结构类似的熟悉问题或常规的问题,通过迁移将会悟出解决问题的思路。联想是直觉思维的一种常用思考方法。联想出新意,直觉要联想。
例1:知x、y、z∈R+,求证:■+■>■
解析:要证的不等式,外形上比较复杂,单从代数上处理,解题过程将十分繁琐,若能注意到不等式的特点及三个根式相同的结构特征,则易联想到余弦定理和三角形不等式,从而可设
a=■=■
b=■=■
c=■=■
构造如图三角形;由|AC|+|BC|>|AB|即可获证。
3.2 注重类比,启迪直觉。类比是一种格式化的推理形式,是一种常用的推理方法。通过类比,将调动人脑中的储存的知识信息,出现“顿悟”,进而知识组合,启迪思维。
例2:证明正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值。
分析:我们可以类比正三角形内任意一点到三边的距离之和为正三角形的高的证明方法。在正三角形内分割为三个小三角形利用面积公式求证,可以类比在正四面体内分割为三个小三棱锥利用体积公式来证明。
3.3 数形结合,诱发直觉。数学研究的对象是数与形,两者往往有紧密的联系。数学家华罗庚教授说:“数离形式少直观,形离数时难入微。”引导学生通过深入的观察、联想,由形思数,由数思形,利用图形直观诱发直觉。
例3:解不等式■>x+1
解:直接应用函数y=■和y=x+1的图象,y=■的图象即为抛物线y2=2(x+5)(y≥0)的一部分,它的顶点坐标为(-■,0),直线y=x+1与抛物线交点坐标为(2,3),所以不等式的解为:-■≤x<2.由此题可以看出解无理不等式借助于“形”,比较直观,可避开讨论。
3.4 归纳概括,合理猜想。创造心理学表明:猜想的来源是直觉,离开直觉就不可能提出猜想。创造条件让学生猜想是培养学生直觉思维一个重要途径。学生在猜想中,必须动用所有的有关知识和经验,必须抓住事物的本质特征和内在联系。在数学教学中,教师应编制出一些问题让学生去猜想。
例4:比较19921993与19931992的大小。
分析:这两个算式不可能手算,甚至一般的电子计算机在计算时也会溢出。
现归纳,n=1,2,3,4,5,分别计算nn+1与(n+1)n发现n=3,4,5时nn+1>(n+1)n,由此猜想:19921993>19931992,至此,学生已发现结论。教师趁热打铁告诉学生,猜想要成为坚信无疑的真理,还必须经过证明。于是学生兴趣盎然地投入到用数学归纳法或二项式定理的证明之中。
总之,数学直觉思维的培养,对于克服思维的单向性,具有十分重要的意义。数学直觉思维的培养是一个高品位的心智技能活动,又是一个长期而又渐进的过程,因此,教师在课堂教学中应多角度、多层次、持之以恒地培养学生的直觉思维,最大限度地发挥直觉思维的作用,提高学生的素质。
【关键词】 新课标 数学直觉思维
新的中学数学教学大纲(试验修订本)将原大纲中培养学生的三大能力之一“逻辑思维能力”为“思维能力”,这就要求教师在教学过程注重逻辑思维能力培养的同时,还要注重观察能力、直觉能力、想象能力等能力的培养。新的《数学课程标准》要求学生的数学学习内容“有利于学生主动地进行观察、实验、猜想、验证……等数学活动”,明确地给予直觉思维应有的地位。
1 数学直觉思维概念的理解
直觉思维简单地说就是直接的觉察,更为严格的说法,就是大脑对于突现在其面前的新事物、新形象、新问题及其关系的一种迅速的识别、敏锐的洞察、直接本质理解和整体判断的一种思维活动,数学直觉思维是由数学活动中的想象和判断组成,简约、迅速、富有跳跃性,它是思维过程的压缩和简化。
从思维方式上来看,思维可以分为逻辑思维和直觉思维。长期以来人们刻意把两者分离开来,其实这是一种误解,逻辑思维与直觉思维从来就不是割离的。有一种观点认为逻辑重于演绎,而直观重于分析,从侧重角度来看,此话不无道理,但侧重并不等于完全,数学逻辑中是否会有直觉成分?数学直觉是否具有逻辑性?比如在日常生活中有许多说不清道不明的东西,人们对各种事件作出判断与猜想离不开直觉,甚至可以说直觉无时无刻不在起作用。数学也是对客观世界的反映,它是人们对生活现象与世界运行的秩序直觉的体现,再以数学的形式将思考的理性过程格式化。数学最初的概念都是基于直觉,数学在一定程度上就是在问题解决中得到发展的,问题解决也离不开直觉,下面我们就以数学问题的证明为例,来考察直觉在证明过程中所起的作用。
一个数学证明可以分解为许多基本运算或许多“演绎推理元素”,一个成功的数学证明是这些基本运算或“演绎推理元素”的一个成功的组合,仿佛是一条从出发点到目的地的通道,一个个基本运算和“演绎推理元素”就是这条通道的一个个路段,当一个成功的证明摆在我们面前时,逻辑可以帮助我们确信沿着这条路必定能顺利地到达目的地,但是逻辑却不能告诉我们,为什么这些路径的选取与这样的组合可以构成一条通道。事实上,出发不久就会遇上叉路口,也就是遇上了正确选择构成通道的路段的问题。庞加莱认为,即使能复写出一个成功的数学证明,但不知道是什么东西造成了证明的一致性……这些元素安置的顺序比元素本身更加重要。笛卡尔认为在数学推理中的每一步,直觉力都是不可缺少的。就好似我们平时打篮球,要靠球感一样,在快速运动中来不及去作逻辑判断,动作只是下意识的,而下意识的动作正是在平时训练产生的一种直觉。
2 数学直觉思维的特点
数学直觉思维是一种非逻辑思维活动,是一种潜意识活动参与,不受固定逻辑规则约束,由思维主体自觉领悟事物本质的活动。非逻辑性是数学思维的主要特征。
数学直接思维具有直接性、整体性、或然性、不可解释性等特点。
2.1 直接性。直觉思维是对思维对象从整体上考察,调动自己的全部知识经验,通过丰富的想象作出的敏锐而迅速的假设、猜想或判断,它省去了一步一步分析推理的中间环节,而采取了“跳跃式”的形式。它是一瞬间的思维火花,是长期积累上的一种升华,是思维者的灵感和顿悟,是思维过程的高度简化,但是它却清晰的触及到事物的“本质”。
2.2 整体性。数学直觉思维的结果是关于对象的整体性的认识,尽管这并非是一幅毫无遗漏的“图画”,它的某些细节甚至是模糊的,但是,它却清晰地表明了事物的本质或问题的所在。
2.3 独创性。直觉思维的独创性是指作出不同寻常的新奇反应的能力。它集中反映在面对问题时敢于独出心裁,推陈出新,达到出奇制胜的目的,培养学生的直觉思维的独创性。现代社会需要创造性的人才,我国的教材由于长期以来借鉴国外的经验,过多地注重培养逻辑思维,培养的人才大多数习惯于按部就班、墨守成规,缺乏创造能力和开拓精神。直觉思维是基于研究对象整体上的把握,不专意于细节的推敲,是思维的大手笔。正是由于思维的无意识性,它的想象才是丰富的,发散的,使人的认知结构向外无限扩展,因而具有反常规律的独创性。
3 数学直觉思维培养的策略
3.1 善于联想,促进迁移。联想是由此及彼的思考方法。联想要以一定的数学知识、技能和解题经验为基础。对某些数学问题,若能联想一些形式相同的、思考方法相似的、结构类似的熟悉问题或常规的问题,通过迁移将会悟出解决问题的思路。联想是直觉思维的一种常用思考方法。联想出新意,直觉要联想。
例1:知x、y、z∈R+,求证:■+■>■
解析:要证的不等式,外形上比较复杂,单从代数上处理,解题过程将十分繁琐,若能注意到不等式的特点及三个根式相同的结构特征,则易联想到余弦定理和三角形不等式,从而可设
a=■=■
b=■=■
c=■=■
构造如图三角形;由|AC|+|BC|>|AB|即可获证。
3.2 注重类比,启迪直觉。类比是一种格式化的推理形式,是一种常用的推理方法。通过类比,将调动人脑中的储存的知识信息,出现“顿悟”,进而知识组合,启迪思维。
例2:证明正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值。
分析:我们可以类比正三角形内任意一点到三边的距离之和为正三角形的高的证明方法。在正三角形内分割为三个小三角形利用面积公式求证,可以类比在正四面体内分割为三个小三棱锥利用体积公式来证明。
3.3 数形结合,诱发直觉。数学研究的对象是数与形,两者往往有紧密的联系。数学家华罗庚教授说:“数离形式少直观,形离数时难入微。”引导学生通过深入的观察、联想,由形思数,由数思形,利用图形直观诱发直觉。
例3:解不等式■>x+1
解:直接应用函数y=■和y=x+1的图象,y=■的图象即为抛物线y2=2(x+5)(y≥0)的一部分,它的顶点坐标为(-■,0),直线y=x+1与抛物线交点坐标为(2,3),所以不等式的解为:-■≤x<2.由此题可以看出解无理不等式借助于“形”,比较直观,可避开讨论。
3.4 归纳概括,合理猜想。创造心理学表明:猜想的来源是直觉,离开直觉就不可能提出猜想。创造条件让学生猜想是培养学生直觉思维一个重要途径。学生在猜想中,必须动用所有的有关知识和经验,必须抓住事物的本质特征和内在联系。在数学教学中,教师应编制出一些问题让学生去猜想。
例4:比较19921993与19931992的大小。
分析:这两个算式不可能手算,甚至一般的电子计算机在计算时也会溢出。
现归纳,n=1,2,3,4,5,分别计算nn+1与(n+1)n发现n=3,4,5时nn+1>(n+1)n,由此猜想:19921993>19931992,至此,学生已发现结论。教师趁热打铁告诉学生,猜想要成为坚信无疑的真理,还必须经过证明。于是学生兴趣盎然地投入到用数学归纳法或二项式定理的证明之中。
总之,数学直觉思维的培养,对于克服思维的单向性,具有十分重要的意义。数学直觉思维的培养是一个高品位的心智技能活动,又是一个长期而又渐进的过程,因此,教师在课堂教学中应多角度、多层次、持之以恒地培养学生的直觉思维,最大限度地发挥直觉思维的作用,提高学生的素质。