摘要：定积分是高等数学最重要的概念之一，是其它各种积分的基础。由于积分的概念抽象、计算方法多样，学生理解和掌握并不是很容易.在积分理论中，如果利用逆向思维，反方向探索和求解，往往会使得更加容易.本文通过积分中的具体例子，阐述了利用逆向思维求解积分的理论和方法，可以帮助学生加深对积分理论知识的理解，帮助学生们提高综合学习的能力。
　　关键词：逆向思维;高等数学;定积分;极限
　　中图分类号：TU 文献标识码：A 文章编号：（2021）-04-124
　　逆向思维，也称求异思维，就是让思维向着对立的方向发展，对问题从其反面深入地进行探索，树立新思想的一种思维模式。它能够克服人们的思维定势，破除由经验或习惯造成的僵化的认识模式，帮助我们独辟蹊径，在人们没有注意到的地方有所发现，有所建树，创造出人们往往意想不到的奇迹。在高等数学学习中，学生思考问题以及求解习题，往往是习惯于正向思考的思维定势，而对于逆向思考得问题，往往是很不习惯，事实上，逆向思考问题往往可以寻求新的解题思路、新的解决方法，培养学时思维的灵活性.因此，在高等数学得教学中，注重培养学生的逆向思维就显得非常重要.
　　高等数学得定积分中，有很多公式、定义、定理，计算方法多样，应用好这些公式、定义、定理是解题的关键.学生的思维定势通常是从从左到右的运用，也就是正向思维，对于逆向思维，即从右到左，很少有学生考虑。所以，我们在教学中，不仅要引导学生能正确地进行正向思考，而且还要能灵活地运用理论知识，进行逆向思维思考问题，解决问题。只有正向、逆向都能灵活地运用，才能形成解题的多种方法和技巧，提高学生们得综合解题能力.
　　如下我们通过示例，来阐述逆向思维在解决积分问题当中的一些应用
　　（x）=f（x），x，问牛顿-莱布尼茨公式是否一定成立？
　　分析：本题只是提出了问题，并没有给出明确的结论。但我们知道，在证明牛顿-莱布尼茨公式时，要求被积函数在积分区间上要连续，而这里只知道被积函数的原函数存在，但并不知道被积函数在积分区间上是否连续，因此，被积函数在积分区间上的积分就不一定存在。又什么样的函数的定积分不存在呢？由定义，显然在闭区间上的无界的函数在该区间上的常义积分就不存在，所以，只要能找到一个函数，在一个闭区间上处处可导，而它的导函数在此闭区间上无界就能说明，所给的牛顿-莱布尼茨公式不一定成立。
　　分析：按照通常的思维，由于这是一个比较简单的三角函数有理式的不定积分，很容易想到的方法，就是采用适当的变量代换，将其转化为有理函数的不定积分。比如：
　　上述两种解法，都将三角函数有理式的不定积分转化为有理函数的不定积分，但是，转化后的有理函数的不定积分，计算起来十分繁琐。下面，我们通过逆向思维来求试试看。
　　易见，逆向思维在求解中，有时，会使问题简化二得以顺利解决，带来非常好的效果。
　　综上所述，在教学中加强学生的逆向思维训练，不仅可以加深学生对知识的理解，进一步完善知识，而且还可以培养学生思维的敏捷性、深刻性和双向性，从而达到逐步提高学生思维能力.
　　参考文献
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　　[4]罗蕴玲，杨卓，王秀红，王颖，张景杰.伴你学数学---高等数学及其应用导学，第二版.北京;高等教育出版社.2016
　　[5]《高等数学例题与习题》同济大学高等数学教研室編，同济大学出版社
　　作者简介：杨付贵（1957.5.26）男，天津人，副教授。从事最优化方法研究。
　　广州工商学院通识教育学院 广东 佛山 528138