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摘 要：文章针对高等数学中的复杂函数、定积分、常微分方程三个部分教学内容，在课堂教学中使用计算机与数学软件分别予以图像展示、工程应用展示及建模案例展示的教学设计方法，使学生可以从视觉感知、数学理论应用及逻辑推理与知识应用相结合的角度加深对课堂内容的理解、掌握和使用，实现提高高等数学课堂教学质量的目标。
关键词：MATLAB;函数图像;视觉感知;数值积分; 函数;目标追踪模型
中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2021）19-0102-04
Abstract： In order to achieve the goal of improving the teaching quality of "Advanced Mathematics" ， the teaching design methods of image display， engineering application display and mathematical modeling case display are given respectively for the three teaching contents of "Advanced Mathematics" such as complex function， definite integral and ordinary differential equation， by using computer and mathematical software. Students can deepen the understanding， mastery and use of the classroom content from the perspective of visual perception， application of mathematical theory and the combination of logical reasoning and mathematical knowledge application.
Keywords： MATLAB; function graph; visual perception; numerical integration; Trapz function; target tracking model
全國大学生数学建模竞赛是由教育部高等教育司和中国工业与应用数学学会1992年开始主办的面向全国高等院校所有专业的一项竞赛，竞赛于每年9月份的第二周举行，是全国高校最大的基础性学科竞赛。数学建模竞赛提高了学生的综合素质、推动了高校的教学改革[1]。竞赛自创办以来，通过从事数学建模教学和赛前培训的过程，特别使得年轻数学教师拓宽了知识面、改善了知识结构、提高了利用数学工具和计算机技术解决实际问题的意识和能力[2]。
本文结合高等数学课程中的三个教学内容部分，使用计算机和数学软件，分别从视觉感知、工程应用、数学逻辑推理与应用相结合的角度对高等数学的知识、思想、科学研究的应用进行了展示。以期学生在课堂教学中加深对高等数学知识的理解、掌握与课后应用，激发学生对高等数学学习的兴趣，提高课堂教学的质量。
一、复杂函数图像的课堂展示
函数部分是高等数学的重要研究内容，对比于高中时期的基本初等函数，很多初等函数的表现形式复杂，没有进行联想的素材，其函数图像的板书绘制也较为困难。为了提高这一部分教材内容的教学效果，教师在教学过程中应更倚重视觉。科学研究表明，视觉是人类接收外界信息的主要通道，视觉的信息流强度是听觉的4倍。通过数学软件MATLAB[3]等，在课堂教学中对学生进行图像[4]展示，使学生在脑海中将公式与函数图形成对应，加深学生课堂学习的印象。例如：
例1： （1）
在课堂上打开MATLAB软件后，在命令窗口中输入：
后，弹出绘图结果如图1。
通过图形的展示，星形线的含义就直观地呈现在课堂教学之中，且占用课堂时间较短。图形的特征将会是驱动学生记住星形线参数方程的一个重要因素。
例2：螺旋线： （2）
该方程中涉及的参数较多，为了便于软件制图，可对方程中参数进行简单的赋值，例如：可令a=？棕=v=1，则原参数方程就简化为了：
（3）
使用MATLAB绘制 范围的图像，可在软件的命令窗口中输入：
绘制结果见图2。
见图知意，相比于板书绘图来说，数学软件的制图效果立体感受强，学生在课堂听课过程中，通过视觉的感知更容易将函数图形与函数的名称联系在一起。
例3：双曲抛物面（马鞍面）： （4）
双曲抛物面是高等数学空间曲面教学内容中的一个典型案例，因其图形与马鞍形似而得以命名。为了在课堂教学中引起学生的兴趣，图像展示是一个不二的选择。在曲面及其方程的课堂教学中，引入MATLAB绘图，可令参数a=2，b=3，在命令窗口输入：
得到双曲抛物面（马鞍面）的图形（见图3）。
然后通过MATLAB图形窗口中的旋转，在课堂上实施多角度的图形展示，辅之于MATLAB绘图命令的简要讲解，可以极大地丰富课堂讲课的素材。同时在视觉感知方面也加深了同学们对空间曲面教学内容的印象。
二、定积分的数值解 定积分是高等数学课程教学内容中的最重要部分之一，教材中给出的定义为：若函数f（x）在区间[a，b]上连续或者f（x）在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则函数f（x）在[a，b]上可积[5]。函数的可积与否由被积函数与积分区间决定，与积分区间的分法和分出区间中点的选择无关。令 ，有：
微积分中对无穷小量的运算是研究客观世界数量关系和空间形式的有力工具[6]。在科学工程中对于无法解析求解的定积分，工程师和科学家采用数值积分的方法，使用有限区间得到定积分的近似解。例如MATLAB软件中的trapz函数使用梯形求和公式对被积函数求定积分的数值解：
trapz函数求解过程中，对积分区间的划分越细，求出的数值解精确程度就会越高。为了便于近似解与精确解的对照，在课堂的教学设计中，以函数f（x）=x3在区间[0，1]上的积分为例。为了给出积分区间细分程度的视觉感知，使用linspace函数对区间[0，1]分别进行10等分与20等分，并进行区间端点的梯形连接。分别得到图形如图4、图5。
然后使用trapz函数进行不同区间细分程度的计算与数值精度对比的课堂展示，程序如下：
程序1： 程序2：
这个积分的理论解为：
对积分区间10等分与20等分求出的数值解的相对误差[7]分别是1%与0.24%。可以看到对积分区间划分愈细，数值解的精确程度是越高的。在课堂上通过对trapz函数求解原理的讲解，使用数学软件作为课堂教学的辅助手段，能够促进学生的思考，帮助学生更好地理解和掌握定积分的概念[8]。
三、常微分方程内容的课堂教学设计中引入数学建模案例
常微分方程是数学的一个重要分支，在教学中如何将理论紧密结合实践，调动学生学习的积极性，培养学生的动手能力与应用能力[9]，以提高教学质量，是一线教师应该思考的问题。针对常微分方程教学内容，在教学过程中适当引入数学建模课程中的教学案例，为同学们讲解案例建模、求解的全过程，可以从逻辑推理和数学应用[10]两个方面培养学生掌握、使用数学知识解决实际问题的能力。
目标跟踪案例[11]：设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上A（1，0）处的乙舰发射导弹，导弹始终对准乙舰。如果乙舰以最大的速度v0（v0是常数）沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线及乙船行驶多远时将其击中？
解：设导弹的轨迹曲线为y=y（x），经过时间t导弹位于点P（x，y），乙舰位于点Q（1，v0t）。如图6。
图6 导弹运行轨迹切线示意图
由于导弹始终对准乙舰，故此时导弹与船的连线PQ就是导弹轨迹曲线弧OP在点P处的切线：
（8）
即：
（9）
再根据导弹的速度是船运行速度的5倍可以得出，OP的长度为线段|AQ|的5倍，由弧长积分公式得出：
将（9）式代入（10）式，得到：
等式（11）两边关于x求导，注意等式右端使用变上限积分函数求导公式，得到：
由初值条件y（0）=0，y′（0）=0，使用数学软件MATLAB中的dsolve命令求解析解，并进行简化之后得到导弹曲线运行方程：
由（13）式可知，当x=1时，y=，即当乙舰航行到（1，）处时被导弹击中。此时导弹的运行时间为t=。如果v0=1，则乙船在t=0.21时刻被击中。导弹运行轨迹与舰船的运行轨迹交点为T（1，0.21），见图7。
在这个数学建模的教学案例中，使用常微分方程的知识、导数的几何意义、弧长的曲线积分公式建立了导弹运行轨迹的方程，使用数学软件求出了方程的解析解。模型的建立与求解过程涉及到了数学知识的逻辑推理、数学软件的编程求解、运动过程的图像演示，多举措保证学生对课堂教学内容的理解、掌握和使用。
四、结束语
本文针对高等数学中复杂函数、定积分、常微分方程这三个部分的教学内容，在课堂教学中结合计算机与数学软件分别予以图像展示、工程应用展示及建模案例展示的教学设计方法，使学生可以从视觉感知、数学理论应用及逻辑推理与知识应用相结合的角度加深对课堂内容的理解、掌握和使用，实现提高高等数学课堂教学质量的目标。
参考文献：
[1]姜启源，李志宏.开展数学建模竞赛提高学生综合素质[J].教学与教材研究，1999（3）：21-23.
[2]谢金星.科学组织大学生数学建模竞赛促进创新人才培养和数学教育改革[J].中国大学教学，2009（2）：10-13.
[3]张志涌.精通MATLAB 6.5版[M].北京：北京航空航天大学出版社，2003.
[4]周德亮，白岩.用MATLAB解决高等数学中的图形问题[J].数学的实践与认识，2002，32（1）：122-124.
[5]同济大学应用数学系.高等数学（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2002.
[6]林建同.微积分——非标准分析方法[J].华南师范大学学报（自然科学版），1977（2）：116-130.
[7]JohnH.Mathews，KurtisD.Fink.数值方法（MATLAB版）[M].周璐，等译.北京：电子工业出版社，2008.
[8]叶其孝.把数学建模、数学实验的思想和方法融人高等数学课的教学中去[J].工程数学学报，2003，20（8）：3-13.
[9]韦程东，高扬，陈志强.在常微分方程教学中融入数学建模思想的探索与实践[J].数学的实践与认识，2008（20）：228-233.
[10]何伟.在高等数学教学中如何体现数学建模的思想[J].数学的实践与认识，2003（10）：142-144.
[11]赵静，但琦.数学建模与数学实验（第4版）[M].北京：高等教育出版社，2014.
基金项目：2017年广东省本科高校高等教育教学研究与改革项目“基于计算思维的独立学院大学计算机课程教学改革研究”（粤教高函[2018]1號）
作者简介：崔志涛（1980-），男，汉族，河北邯郸人，硕士，讲师，研究方向：应用数学。
关键词：MATLAB;函数图像;视觉感知;数值积分; 函数;目标追踪模型
中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2021）19-0102-04
Abstract： In order to achieve the goal of improving the teaching quality of "Advanced Mathematics" ， the teaching design methods of image display， engineering application display and mathematical modeling case display are given respectively for the three teaching contents of "Advanced Mathematics" such as complex function， definite integral and ordinary differential equation， by using computer and mathematical software. Students can deepen the understanding， mastery and use of the classroom content from the perspective of visual perception， application of mathematical theory and the combination of logical reasoning and mathematical knowledge application.
Keywords： MATLAB; function graph; visual perception; numerical integration; Trapz function; target tracking model
全國大学生数学建模竞赛是由教育部高等教育司和中国工业与应用数学学会1992年开始主办的面向全国高等院校所有专业的一项竞赛，竞赛于每年9月份的第二周举行，是全国高校最大的基础性学科竞赛。数学建模竞赛提高了学生的综合素质、推动了高校的教学改革[1]。竞赛自创办以来，通过从事数学建模教学和赛前培训的过程，特别使得年轻数学教师拓宽了知识面、改善了知识结构、提高了利用数学工具和计算机技术解决实际问题的意识和能力[2]。
本文结合高等数学课程中的三个教学内容部分，使用计算机和数学软件，分别从视觉感知、工程应用、数学逻辑推理与应用相结合的角度对高等数学的知识、思想、科学研究的应用进行了展示。以期学生在课堂教学中加深对高等数学知识的理解、掌握与课后应用，激发学生对高等数学学习的兴趣，提高课堂教学的质量。
一、复杂函数图像的课堂展示
函数部分是高等数学的重要研究内容，对比于高中时期的基本初等函数，很多初等函数的表现形式复杂，没有进行联想的素材，其函数图像的板书绘制也较为困难。为了提高这一部分教材内容的教学效果，教师在教学过程中应更倚重视觉。科学研究表明，视觉是人类接收外界信息的主要通道，视觉的信息流强度是听觉的4倍。通过数学软件MATLAB[3]等，在课堂教学中对学生进行图像[4]展示，使学生在脑海中将公式与函数图形成对应，加深学生课堂学习的印象。例如：
例1： （1）
在课堂上打开MATLAB软件后，在命令窗口中输入：
后，弹出绘图结果如图1。
通过图形的展示，星形线的含义就直观地呈现在课堂教学之中，且占用课堂时间较短。图形的特征将会是驱动学生记住星形线参数方程的一个重要因素。
例2：螺旋线： （2）
该方程中涉及的参数较多，为了便于软件制图，可对方程中参数进行简单的赋值，例如：可令a=？棕=v=1，则原参数方程就简化为了：
（3）
使用MATLAB绘制 范围的图像，可在软件的命令窗口中输入：
绘制结果见图2。
见图知意，相比于板书绘图来说，数学软件的制图效果立体感受强，学生在课堂听课过程中，通过视觉的感知更容易将函数图形与函数的名称联系在一起。
例3：双曲抛物面（马鞍面）： （4）
双曲抛物面是高等数学空间曲面教学内容中的一个典型案例，因其图形与马鞍形似而得以命名。为了在课堂教学中引起学生的兴趣，图像展示是一个不二的选择。在曲面及其方程的课堂教学中，引入MATLAB绘图，可令参数a=2，b=3，在命令窗口输入：
得到双曲抛物面（马鞍面）的图形（见图3）。
然后通过MATLAB图形窗口中的旋转，在课堂上实施多角度的图形展示，辅之于MATLAB绘图命令的简要讲解，可以极大地丰富课堂讲课的素材。同时在视觉感知方面也加深了同学们对空间曲面教学内容的印象。
二、定积分的数值解 定积分是高等数学课程教学内容中的最重要部分之一，教材中给出的定义为：若函数f（x）在区间[a，b]上连续或者f（x）在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则函数f（x）在[a，b]上可积[5]。函数的可积与否由被积函数与积分区间决定，与积分区间的分法和分出区间中点的选择无关。令 ，有：
微积分中对无穷小量的运算是研究客观世界数量关系和空间形式的有力工具[6]。在科学工程中对于无法解析求解的定积分，工程师和科学家采用数值积分的方法，使用有限区间得到定积分的近似解。例如MATLAB软件中的trapz函数使用梯形求和公式对被积函数求定积分的数值解：
trapz函数求解过程中，对积分区间的划分越细，求出的数值解精确程度就会越高。为了便于近似解与精确解的对照，在课堂的教学设计中，以函数f（x）=x3在区间[0，1]上的积分为例。为了给出积分区间细分程度的视觉感知，使用linspace函数对区间[0，1]分别进行10等分与20等分，并进行区间端点的梯形连接。分别得到图形如图4、图5。
然后使用trapz函数进行不同区间细分程度的计算与数值精度对比的课堂展示，程序如下：
程序1： 程序2：
这个积分的理论解为：
对积分区间10等分与20等分求出的数值解的相对误差[7]分别是1%与0.24%。可以看到对积分区间划分愈细，数值解的精确程度是越高的。在课堂上通过对trapz函数求解原理的讲解，使用数学软件作为课堂教学的辅助手段，能够促进学生的思考，帮助学生更好地理解和掌握定积分的概念[8]。
三、常微分方程内容的课堂教学设计中引入数学建模案例
常微分方程是数学的一个重要分支，在教学中如何将理论紧密结合实践，调动学生学习的积极性，培养学生的动手能力与应用能力[9]，以提高教学质量，是一线教师应该思考的问题。针对常微分方程教学内容，在教学过程中适当引入数学建模课程中的教学案例，为同学们讲解案例建模、求解的全过程，可以从逻辑推理和数学应用[10]两个方面培养学生掌握、使用数学知识解决实际问题的能力。
目标跟踪案例[11]：设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上A（1，0）处的乙舰发射导弹，导弹始终对准乙舰。如果乙舰以最大的速度v0（v0是常数）沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线及乙船行驶多远时将其击中？
解：设导弹的轨迹曲线为y=y（x），经过时间t导弹位于点P（x，y），乙舰位于点Q（1，v0t）。如图6。
图6 导弹运行轨迹切线示意图
由于导弹始终对准乙舰，故此时导弹与船的连线PQ就是导弹轨迹曲线弧OP在点P处的切线：
（8）
即：
（9）
再根据导弹的速度是船运行速度的5倍可以得出，OP的长度为线段|AQ|的5倍，由弧长积分公式得出：
将（9）式代入（10）式，得到：
等式（11）两边关于x求导，注意等式右端使用变上限积分函数求导公式，得到：
由初值条件y（0）=0，y′（0）=0，使用数学软件MATLAB中的dsolve命令求解析解，并进行简化之后得到导弹曲线运行方程：
由（13）式可知，当x=1时，y=，即当乙舰航行到（1，）处时被导弹击中。此时导弹的运行时间为t=。如果v0=1，则乙船在t=0.21时刻被击中。导弹运行轨迹与舰船的运行轨迹交点为T（1，0.21），见图7。
在这个数学建模的教学案例中，使用常微分方程的知识、导数的几何意义、弧长的曲线积分公式建立了导弹运行轨迹的方程，使用数学软件求出了方程的解析解。模型的建立与求解过程涉及到了数学知识的逻辑推理、数学软件的编程求解、运动过程的图像演示，多举措保证学生对课堂教学内容的理解、掌握和使用。
四、结束语
本文针对高等数学中复杂函数、定积分、常微分方程这三个部分的教学内容，在课堂教学中结合计算机与数学软件分别予以图像展示、工程应用展示及建模案例展示的教学设计方法，使学生可以从视觉感知、数学理论应用及逻辑推理与知识应用相结合的角度加深对课堂内容的理解、掌握和使用，实现提高高等数学课堂教学质量的目标。
参考文献：
[1]姜启源，李志宏.开展数学建模竞赛提高学生综合素质[J].教学与教材研究，1999（3）：21-23.
[2]谢金星.科学组织大学生数学建模竞赛促进创新人才培养和数学教育改革[J].中国大学教学，2009（2）：10-13.
[3]张志涌.精通MATLAB 6.5版[M].北京：北京航空航天大学出版社，2003.
[4]周德亮，白岩.用MATLAB解决高等数学中的图形问题[J].数学的实践与认识，2002，32（1）：122-124.
[5]同济大学应用数学系.高等数学（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2002.
[6]林建同.微积分——非标准分析方法[J].华南师范大学学报（自然科学版），1977（2）：116-130.
[7]JohnH.Mathews，KurtisD.Fink.数值方法（MATLAB版）[M].周璐，等译.北京：电子工业出版社，2008.
[8]叶其孝.把数学建模、数学实验的思想和方法融人高等数学课的教学中去[J].工程数学学报，2003，20（8）：3-13.
[9]韦程东，高扬，陈志强.在常微分方程教学中融入数学建模思想的探索与实践[J].数学的实践与认识，2008（20）：228-233.
[10]何伟.在高等数学教学中如何体现数学建模的思想[J].数学的实践与认识，2003（10）：142-144.
[11]赵静，但琦.数学建模与数学实验（第4版）[M].北京：高等教育出版社，2014.
基金项目：2017年广东省本科高校高等教育教学研究与改革项目“基于计算思维的独立学院大学计算机课程教学改革研究”（粤教高函[2018]1號）
作者简介：崔志涛（1980-），男，汉族，河北邯郸人，硕士，讲师，研究方向：应用数学。