函数单调性是函数的核心内容之一，多以考查复合函数的单调性居多. 复合函数的单调性的复合规律为：若函数y=f（u）与u=g（x）的增减性相同（相反），则y=f[g（x）]是增（减）函数，可概括为“同增异减”.为了帮助考生对复合函数的单调性有一个全面的认识，本文结合例题，对复合函数的单调区间的求法及单调性的应用加以归纳总结。
　　一、引言
　　什么是复合函数.对于函数y=f（u） u∈B与u=g（x） x∈A，如果x∈A时u=g（x）的值域C与函数y=f（u）的定义域B的交集非空，即C∩B≠€%o，那么就说y=f（u） u∈B与u=g（x） x∈A可以复合，称函数y=f（g（x））叫做y=f（u） u∈B与u=g（x） x∈A的复合函数，其中y=f（u）叫做外函数，u=g（x）叫做内函数.
　　比如， （x∈R）的复合函数是u=-X2 ∵u=-x2≤0与u≥0的交集为{0}，∴二者可以复合，但定义域发生了变化，复合后的函数的定义域既不是u≥0，也不是x∈R， 而是x=0.也就是说复合函数的定义域既受外函数的制约也受内函数的制约（主要受外函数的制约）.由定义知道 就不能复合成f（g（x））。
　　二、复合函数单调性的判断总体步骤
　　复合函数y=f[g（x）]的单调性可按下列步骤判断：
　　（1）将复合函数分解成两个简单函数：y=f（u）与u=g（x）.其中y=f（u）又称为外层函数， u=g（x）称为内层函数；
　　（2）确定函数的定义域；
　　（3）分别确定分解成的两个函数的单调性；
　　（4）若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=f[g（x）]为增函数；
　　（5）若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=f[g（x）]为减函数.
　　复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”.
　　三、详细分析
　　（1）观察下面两组在相应区间上的函数，然后指出这两组函数之间在性质上的主要区别是什么？
　　第一组：
　　第二组：
　　显然第一组函数，函数值y随x的增大而增大；第二组组函数，函数值y随x的增大而减小。
　　这正是两组函的主要区别.当x变大时，
　　第一组函数的函数值都变大，而第二函数的函数值都变小.虽然在每一组函数中，函数值变大或变小的方式并不相同，但每一每函数却具有一种共同的性质.我们在学习一次函数、二次函数、反比例函数以及幂函数时，就曾经根据函数的图像研究过函数的函数值随自变量的变大而变大或变小的性质，而这些研究结论是直观地由图像得到的.在函数的集合中有很多函数具有这种性质，因此我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究.
　　（2）对概念的分析
　　在增函数和减函数的定义中用了两个简单的不等关系“x1f（x2），它刻画了函数的单调递增或单调递减的性质.这就是数学的魅力！现在请看刚才的两组图中的第一个函数y=f1（x）和y=f2（x）的图像，体会这种魅力。
　　图中y=f1（x）对于区间[a，b]上的任意x1，x2，当x1f2（x2），因此y=f2（x）在间[a，b]上是单调递减的，区间[a，b]是函数y=f2（x）的单调减区间.因此我们可以说，增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较大的函数值的函数.那么减函数呢？减函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数。
　　（3）概念的应用
　　例 能说反比例函数f（x）=k/x （x>0）在整个定义域内是单调函数吗？并用定义证明你的结论.
　　反比例函数f（x）= k/x （k>0）的定义域是什么？
　　f（x）= k/x （k>0）的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）.
　　对于这个例子如果认为f（x）= k/x （k>0）在（-∞，0）以及（0+∞）上都是减函数，那就是错误的.因为如果认为这个函数不是整个定义域内的减函数，不符合减函数的定义。比如取x1 （-∞，0）取x2 （0+∞），x10，显然
　　有f（x1）f（x2），因此它不是定义域内的减函数。
　　那能否说明f（x） （k>0）是定义域内的增函数呢？
　　也不能这样认为，因为由图像可知，它分别在（-∞，0）和（0+∞）上都是减函数.
　　经过刚才的分析，我们知道f（x）= k/x （k>0）即不是定义域内的增函数，也不是定义域内的减函数，它在（-∞，0）和（0+∞）每一个单调区间内都是减函数.因此在函数的几个单调增（减）区间之间不要用符号“∪”连接，另外，x=0不是定义域中的元素，此时不要写成闭区间.实际上f（x）=k/x （k>0）在（-∞，0上是减函数， f（x）=k/x（k>0）在（0+∞）上是减函数。
　　（作者单位：湖北襄阳职业技术学院公共课部）