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〔关键词〕 数学教学;转化思想;解题;应用
〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 A
〔文章编号〕 1004—0463(2012)18—0085—01
数学转化思想是非常重要的数学思想方法之一.在解决数学问题时,我们应用数学转化思想,将陌生的“新问题”转化为熟悉的“旧问题”,将“繁杂的问题”转化为“简单的问题”,从而使问题迎刃而解.现将数学转化思想在两类高考解题中的应用举例说明如下,希望能对广大学子们有所启迪和帮助.
结论一:已知函数y=f(x),x∈D(D是定义域),M∈R,且f(x)存在最值.
(1)对?坌x∈D,f(x)≥M恒成立?圳f(x)min≥M,x∈D.
(2)对?坌x∈D,f(x)≤M恒成立?圳f(x)max≤M,x∈D ;
(3)对?坌x1、x2∈D,恒有│f(x1)-f(x2)│≤f(x)max-f(x)min成立.
结论二:已知函数f(x) ,x∈D(D是定义域), M ∈R,且f(x)存在最值.
(1)若?埚x∈D,使得f(x)≤M成立?圳f(x)min≤M,x∈D;
(2)若?埚x∈D,使得f(x)≥M成立?圳f(x)max≥M,x∈D.
例1 已知f(x)=■x3-bx2+2x+a ,x=2是f(x)的一个极值点.
(1) 求函数f(x)的单调区间;
(2) 若当x∈[1,+∞)时,f(x)-■>a2恒成立,求实数a的取值范围.
解:(1)f′(x)=x2-2bx+2,由已知得f′(2)=4-4b+2=0,故b=■.
故f′(x)=x2-3x+2=(x-1)(x-2),由f′(x)>0得x<1或x>2;由f′(x)<0得1 (2)由(1)知f(x)在(1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,故当x∈[1,+∞)时,f(x)在x=2处取得最小值,f(x)min=f(2)=a+■.由x∈[1,+∞)时,f(x)-■>a2恒成立?圳f(x)min-■>a2, x∈[1,+∞)?圳a>a2 ?圳0 例2 (2011年全国高考浙江卷) 设函数f(x)=a2lnx-x2+ax,a>0.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)求所有的实数a,使得e-1 解:(1)由已知得f′(x)=■-2x+a=-■ =-■,x∈(0,+∞).∵a>0,∴f(x)的增区间为(0,a),减区间为(a,+∞).
(2)由题意得 f(1)=a-1≥e-1,即a≥e.∴[1,e]?奂(0,a),∴由(1)知f(x)在[1,e]内单调递增,故有 f(x)max=
f(e)=a2-e2+ae,f(x)min=f(1)=a-1.
故e-1 例3 已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x =±1处取得极值.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1、x2,都有 |f(x1)-f(x2)|≤4.
解:(1)f′(x)=3ax2+2bx-3,依题意得f′(1)=f′(-1)=0,即3a+2b-3=3a-2b-3=0,解得a=1,b=0,故
f(x)=x3-3x.
(2)f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),故当x<-1或x>1时,f′(x)> 0;当-1 ∴f(x)max=f(-1)=2,f(x)min=f(1)=-2.
故对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1、x2,都有∣f(x1)-f(x2)∣≤f(x)max-f(x)min=2-(-2)= 4.
总之,在解决数学问题时,只要善于运用数学转化思想,就能将问题化“新”为“旧”,化“繁”为“简”,化“陌生”为“熟悉”,数学思想方法的运用,将在解决问题的过程中起到神奇的效果,从而使一些较复杂的数学问题迎刃而解,达到解决问题的目的.
编辑:谢颖丽
〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 A
〔文章编号〕 1004—0463(2012)18—0085—01
数学转化思想是非常重要的数学思想方法之一.在解决数学问题时,我们应用数学转化思想,将陌生的“新问题”转化为熟悉的“旧问题”,将“繁杂的问题”转化为“简单的问题”,从而使问题迎刃而解.现将数学转化思想在两类高考解题中的应用举例说明如下,希望能对广大学子们有所启迪和帮助.
结论一:已知函数y=f(x),x∈D(D是定义域),M∈R,且f(x)存在最值.
(1)对?坌x∈D,f(x)≥M恒成立?圳f(x)min≥M,x∈D.
(2)对?坌x∈D,f(x)≤M恒成立?圳f(x)max≤M,x∈D ;
(3)对?坌x1、x2∈D,恒有│f(x1)-f(x2)│≤f(x)max-f(x)min成立.
结论二:已知函数f(x) ,x∈D(D是定义域), M ∈R,且f(x)存在最值.
(1)若?埚x∈D,使得f(x)≤M成立?圳f(x)min≤M,x∈D;
(2)若?埚x∈D,使得f(x)≥M成立?圳f(x)max≥M,x∈D.
例1 已知f(x)=■x3-bx2+2x+a ,x=2是f(x)的一个极值点.
(1) 求函数f(x)的单调区间;
(2) 若当x∈[1,+∞)时,f(x)-■>a2恒成立,求实数a的取值范围.
解:(1)f′(x)=x2-2bx+2,由已知得f′(2)=4-4b+2=0,故b=■.
故f′(x)=x2-3x+2=(x-1)(x-2),由f′(x)>0得x<1或x>2;由f′(x)<0得1
(1)求f(x)的单调区间;
(2)求所有的实数a,使得e-1
(2)由题意得 f(1)=a-1≥e-1,即a≥e.∴[1,e]?奂(0,a),∴由(1)知f(x)在[1,e]内单调递增,故有 f(x)max=
f(e)=a2-e2+ae,f(x)min=f(1)=a-1.
故e-1
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1、x2,都有 |f(x1)-f(x2)|≤4.
解:(1)f′(x)=3ax2+2bx-3,依题意得f′(1)=f′(-1)=0,即3a+2b-3=3a-2b-3=0,解得a=1,b=0,故
f(x)=x3-3x.
(2)f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),故当x<-1或x>1时,f′(x)> 0;当-1
故对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1、x2,都有∣f(x1)-f(x2)∣≤f(x)max-f(x)min=2-(-2)= 4.
总之,在解决数学问题时,只要善于运用数学转化思想,就能将问题化“新”为“旧”,化“繁”为“简”,化“陌生”为“熟悉”,数学思想方法的运用,将在解决问题的过程中起到神奇的效果,从而使一些较复杂的数学问题迎刃而解,达到解决问题的目的.
编辑:谢颖丽