教学中抓住典型习题，从新的角度进行猜想、分析、论证、归纳，不但能够激发学生的求知欲，而且能揭示问题的本质，加深学生对所学知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力，进而提高学习效率，在教学中往往能起到事半功倍的效果.下面就从一个简单的实际问题入手讨论.
　　例1如图1，⊙O1、⊙O2外切于点A，且两个圆的半径相等.当⊙O1的固定不动，⊙O2
　　绕⊙O1无滑动地滚动一周时，⊙O2自转了多少度？
　　图1图2图3
　　分析：
　　对于这个问题，我们只要取出两个同样大小的硬币，做一个简单的实验，就能得出答案：⊙O2自转了720°，即⊙O2自转了两圈.
　　现在，我们不妨增加这个问题的难度，设⊙O1的半径为R，动圆⊙O2半径为r，其它条件不变，当R=2r、3r、4r、kr、…时， 那么当⊙O2绕⊙O1滚动一周的时候，⊙O2又分别自转了多少度呢？
　　例2如图2，已知正△ABC和⊙O，假设⊙O的周长恰好等于正△ABC的边长，那么当⊙O绕△ABC的各条边无滑动地滚动一周又回到原来的出发点时，⊙O自转了多少度呢？
　　分析：由于正△ABC的边长恰好等于⊙O的周长，所以，当⊙O沿△ABC的一边无滑动地从一个顶点滚动到另一个顶点时，正好自转了360°，即自转了一圈. ⊙O绕三角形的一个顶点从一条边滚动到另一条边时，自转的角度α恰好等于正△ABC的一个外角的度数.因此，⊙O沿△ABC的各边滚动一周时，自转的角度为：360°×3+360°=1440°，即自转了四圈.
　　通过上面的分析发现如果我们将该问题中的条件“正△ABC”改为“正方形”、“正五边形”、“正六边形”、“正k边形” 时，⊙O自转的角度分别为1800°、2160°、2520°、（1+k） ×360°.即⊙O自转的圈数分别为5、6、7、1+k.
　　随着该问题中的k的不断增大，正k边形会越来越接近于一个圆！由此我们可以大胆猜想：“设定⊙O1的半径为R，动圆⊙O2的半径为r， 且R=kr，则当⊙O2绕⊙O1无滑动地滚动一周时，动圆⊙O2自转了（k+1）圈”.
　　这个猜想成立吗？
　　例3
　　如图3，定圆⊙O1与动圆⊙O2外切于点P，⊙O1的半径为R，⊙O2的半径为r，且R=kr，设⊙O2绕⊙O1顺时针滚动的角度为α（公转），⊙O2自转的角度为β，试探求β与α之间的数量关系.
　　分析：设⊙O2绕⊙O1公转角度α后，⊙O2′切⊙O1于点Q，点P在⊙O2′上的对应点为P′，过O1、O2作直线EF，过O2′作E′F′∥EF，连结O2′P′，则∠O2 O1Q=∠O1 O2′F′=α，∠E′O2′P′=β.
　　由于 PQ=P′Q，
　　所以απR180=∠QO2′P′×
　　πr180，
　　所以∠Q O2′P′=kα，
　　所以β=α+∠QO2′P′= （1+k）α.
　　当α= 360°时，β=（1+k） ×360°，即动圆⊙O2自转了（k+1）圈.
　　研究在逐渐深化，若将该问题中的“外切”改为“内切”，而其他条件不变时，⊙O2自转的角度β与其公转的角度α之间又会有这样的数量关系.
　　如图4，定圆⊙O1与动圆⊙O2内切于点P，⊙O2绕⊙O1滚动角度α后切⊙O1于点Q，过点O1、O2
　　′作直线EF，过O2′作E′F′∥EF，点P在⊙O2′上的对应点为P′，连结O2′P′、O2′Q，则∠EO1 O2′=∠Q O2′F′=α， ∠F′O2′P′=β，
　　由于 PQ=P′Q，
　　所以απR180=∠Q O2′P′×
　　πr180，
　　所以∠QO2′P′=kα，
　　所以β=∠QO2′F′-∠Q O2′P′= （1-k）α （此时因为R　　图4图5
　　如图5，定圆⊙O1与动圆⊙O2内切于点P，⊙O1的半径为R，⊙O2的半径为r，且R=kr，k>1， 有兴趣的读者不妨思考：当⊙O2在⊙O1内部无滑动地滚动时，⊙O2自转的角度β与其公转的角度α之间又存在怎样的数量关系呢？相信读者不难找到答案.
　　数学教学是一门艺术，它博大精深，奥妙无穷.只要我们认真钻研，勇于探索，善于总结，就一定能为数学教学献上优美的华章.