论文部分内容阅读
数学是一门非常重要的工具学科，在数学的教学过程中我们要发展学生的思维，培养学生的数学能力，重视数学思想的教学，使学生掌握数学学习方法，进而形成综合学习的能力.
数学是一门非常重要的工具学科，有些学生在学习数学的时候，由于没有掌握好正确的数学学习方法，从而陷入题海，茫然不知所措.如果学生领会数学思想，则可以较快地提高学习质量和数学能力.因此在数学的教学过程中我们要发展学生的思维，培养学生的数学能力，重视数学思想的教学.
初中数学中最基本的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、转化思想、函数思想.下面对这几种常见的数学思想进行举例说明.
一、 数形结合思想
我国著名的数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形无数时难入微”，这是对数形结合思想的高度概括.数形结合培养学生的空间观念和数感，是使学生进行形象思维与抽象思维互相促进，和谐发展的主要形式；数形结合教学又有利于培养学生灵活运用知识的能力.
例1求1+2+3+4+…+n的值，其中n是正整数.
对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头相加），问题虽然可以解决，但如果采用数形结合的方法，那就非常直观，给人一种“惊艳”的感觉了.
图1
解析：如图1，斜线左边的三角形图案由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n个小圆圈排列组成.而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1+2+3+4+…+n的值.现在把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形.此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n+1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n+1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为n（n+1）2，即1+2+3+4+…+n=n（n+1）2.
例2如图2，是连接在一起的两个正方形，大正方形的边长是小正方形边长的2倍.若只许剪两刀应如何裁剪才能拼成一个新的大正方形？
图2
解析：虽然从已知到结论图形变了，但是面积却没变，设小正方形面积为1，则边长也是1，总面积为5，因此只要沿着图中边长为5的线段去考虑裁剪即可.
二、分类讨论思想
数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想.分类可以使复杂的事物条理化、系统化，从而为我们深入学习创造条件.如果学生能理解并掌握分类讨论的思想方法，在解题中进行正确、合理、严谨的分类，这既有利于把复杂的问题转为简单的问题来处理，同时也可以培养学生的综合分析能力和发展他们思维的条理性、严谨性和完整性.
例3若a是实数，︱a︱-a能不能是负数？为什么？
解析：这是一个比较简单的分类讨论的题目，a为实数，可能是正实数，0或负实数，因此，当a>0时，︱a︱-a=a-a=0；当a=0时，︱a︱-a=0；当a<0时，︱a︱-a=-2a>0.所以，对于任意实数a，︱a︱-a都不可能是负数.
例4已知函救y=（m-1）x2+（m-2）x-1（m是实数），如果函数的图象和x轴只有一个交点，求m的值.
解析：这里分m-1=0和m-1≠0两种情况来研究解决问题.当m-1=0，即m=1时，函数为一次函数y=-x-1，它与x轴的交点为（-1，0）.当m-1≠0，即m≠1时，函数为二次函数y=（m-1）x2+（m-2）x-1，令Δ=（m-2）2+4（m-1）=0，解得m=0，因此抛物线y=-x2-2x-1的顶点（-1，0）在x轴上.
三、转化思想
转化是解数学题的一种重要的思维方法.解题的过程其实就是转化的过程，把生疏的问题转化为熟悉的问题，把复杂的问题转化为简单的问题，把未知的问题转化为已知的问题等等.它是分析问题、解决问题的有效途径.
例5已知x2-x-1=0，则代数式-x2+x+2009的值为多少？
解析：把x2-x-1=0看成一个整体，整理-x2+x+2009得-（x2-x-1）-1+2009，把（x2-x-1）看作整体为0，代入-（x2-x-1）-1+2009，结果为2008.
图3
例6如图3，“回”字形的道路宽为1米，整个“回”字形的长为8米，宽为7米，一个人从入口点A沿着道路中央走到终点B，他共走了.
解析：设拖把的宽为1米，某人拿拖把沿着小路向前推，走完小路也就相当于把整块场地拖完，而拖1 m2的场地等于向前走了1米，整块场地面积为7×8=56（m2），因此那人从A走到B共走了56米.在这个问题中我们是把求线段长度问题转化成了求面积问题.
由以上例题可见，转化思想在解题过程中常常能收到化难为易、变生为熟的效果.
四、函数思想
函数思想就是运用函数的概念和性质，通过分析、对比、转化构造出合理的函数，最终解决问题.函数思想能让数学问题变得简洁、清晰，在解题的过程中起到化繁为简的作用.在数学教学中，如果能重视函数思想及方法的传授，将有利于学生掌握开启知识的钥匙，也是对学生将知识转化为能力的加速.
例7某市政府大力扶持大学生创业.李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=-10x+500.
（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本=进价×销售量）
解析：（1）要解决“销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？”，就是把实际问题转化为二次函数的最值问题.由每月利润=每件产品利润×销售产品件数，可得：w=（x-20）·y=（x-20）·（-10x+500），整理可得w=-10x2+700x-10000=-10（x-35）2+12250解得x=35，即当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润.
（2）要解决该问题可转化为列一元二次方程解应用题，由已知可得：（x-20）·（-10x+500）=2000，解这个方程得：x1=30，x2=40.所以要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元.
（3）要解决该问题则需将本题转化成函数的有关性质来完成.因为二次函数w=-10x2+700x-10000，a=-10<0，抛物线开口向下所以当30≤x≤40时，w≥2000；又因为销售单价不得高于32元，所以当30≤x≤32时，w≥2000；设成本为z（元），则：z=20（-10x+500）=-200x+10000，因为k=-200<0，所以z随x的增大而减小，因为30≤x≤32，所以当x=32时，z=3600，因此要实现销售单价不高于32元，每月利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元.
总之，数学思想方法只有在反复的运用中才能被学生所熟悉掌握，这需要数学教师有意识的渗透到平时的教学之中.一旦学生领悟到这些数学思想方法的内涵与真谛，将会更深刻地理解知识，灵活运用知识解决问题，从而形成分析、解决问题的能力.就像日本著名数学教育家米山国藏曾说的：“我搞了多年的数学教育，发现学生在初中、高中阶段学习的数学知识……离校后不到一二年，便会很快遗忘掉了.然而无论他们从事什么工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学精神、数学思维方法、研究方法……却随时随地发生作用，使他们受益终生.”
数学是一门非常重要的工具学科，有些学生在学习数学的时候，由于没有掌握好正确的数学学习方法，从而陷入题海，茫然不知所措.如果学生领会数学思想，则可以较快地提高学习质量和数学能力.因此在数学的教学过程中我们要发展学生的思维，培养学生的数学能力，重视数学思想的教学.
初中数学中最基本的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、转化思想、函数思想.下面对这几种常见的数学思想进行举例说明.
一、 数形结合思想
我国著名的数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形无数时难入微”，这是对数形结合思想的高度概括.数形结合培养学生的空间观念和数感，是使学生进行形象思维与抽象思维互相促进，和谐发展的主要形式；数形结合教学又有利于培养学生灵活运用知识的能力.
例1求1+2+3+4+…+n的值，其中n是正整数.
对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头相加），问题虽然可以解决，但如果采用数形结合的方法，那就非常直观，给人一种“惊艳”的感觉了.
图1
解析：如图1，斜线左边的三角形图案由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n个小圆圈排列组成.而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1+2+3+4+…+n的值.现在把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形.此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n+1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n+1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为n（n+1）2，即1+2+3+4+…+n=n（n+1）2.
例2如图2，是连接在一起的两个正方形，大正方形的边长是小正方形边长的2倍.若只许剪两刀应如何裁剪才能拼成一个新的大正方形？
图2
解析：虽然从已知到结论图形变了，但是面积却没变，设小正方形面积为1，则边长也是1，总面积为5，因此只要沿着图中边长为5的线段去考虑裁剪即可.
二、分类讨论思想
数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想.分类可以使复杂的事物条理化、系统化，从而为我们深入学习创造条件.如果学生能理解并掌握分类讨论的思想方法，在解题中进行正确、合理、严谨的分类，这既有利于把复杂的问题转为简单的问题来处理，同时也可以培养学生的综合分析能力和发展他们思维的条理性、严谨性和完整性.
例3若a是实数，︱a︱-a能不能是负数？为什么？
解析：这是一个比较简单的分类讨论的题目，a为实数，可能是正实数，0或负实数，因此，当a>0时，︱a︱-a=a-a=0；当a=0时，︱a︱-a=0；当a<0时，︱a︱-a=-2a>0.所以，对于任意实数a，︱a︱-a都不可能是负数.
例4已知函救y=（m-1）x2+（m-2）x-1（m是实数），如果函数的图象和x轴只有一个交点，求m的值.
解析：这里分m-1=0和m-1≠0两种情况来研究解决问题.当m-1=0，即m=1时，函数为一次函数y=-x-1，它与x轴的交点为（-1，0）.当m-1≠0，即m≠1时，函数为二次函数y=（m-1）x2+（m-2）x-1，令Δ=（m-2）2+4（m-1）=0，解得m=0，因此抛物线y=-x2-2x-1的顶点（-1，0）在x轴上.
三、转化思想
转化是解数学题的一种重要的思维方法.解题的过程其实就是转化的过程，把生疏的问题转化为熟悉的问题，把复杂的问题转化为简单的问题，把未知的问题转化为已知的问题等等.它是分析问题、解决问题的有效途径.
例5已知x2-x-1=0，则代数式-x2+x+2009的值为多少？
解析：把x2-x-1=0看成一个整体，整理-x2+x+2009得-（x2-x-1）-1+2009，把（x2-x-1）看作整体为0，代入-（x2-x-1）-1+2009，结果为2008.
图3
例6如图3，“回”字形的道路宽为1米，整个“回”字形的长为8米，宽为7米，一个人从入口点A沿着道路中央走到终点B，他共走了.
解析：设拖把的宽为1米，某人拿拖把沿着小路向前推，走完小路也就相当于把整块场地拖完，而拖1 m2的场地等于向前走了1米，整块场地面积为7×8=56（m2），因此那人从A走到B共走了56米.在这个问题中我们是把求线段长度问题转化成了求面积问题.
由以上例题可见，转化思想在解题过程中常常能收到化难为易、变生为熟的效果.
四、函数思想
函数思想就是运用函数的概念和性质，通过分析、对比、转化构造出合理的函数，最终解决问题.函数思想能让数学问题变得简洁、清晰，在解题的过程中起到化繁为简的作用.在数学教学中，如果能重视函数思想及方法的传授，将有利于学生掌握开启知识的钥匙，也是对学生将知识转化为能力的加速.
例7某市政府大力扶持大学生创业.李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=-10x+500.
（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本=进价×销售量）
解析：（1）要解决“销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？”，就是把实际问题转化为二次函数的最值问题.由每月利润=每件产品利润×销售产品件数，可得：w=（x-20）·y=（x-20）·（-10x+500），整理可得w=-10x2+700x-10000=-10（x-35）2+12250解得x=35，即当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润.
（2）要解决该问题可转化为列一元二次方程解应用题，由已知可得：（x-20）·（-10x+500）=2000，解这个方程得：x1=30，x2=40.所以要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元.
（3）要解决该问题则需将本题转化成函数的有关性质来完成.因为二次函数w=-10x2+700x-10000，a=-10<0，抛物线开口向下所以当30≤x≤40时，w≥2000；又因为销售单价不得高于32元，所以当30≤x≤32时，w≥2000；设成本为z（元），则：z=20（-10x+500）=-200x+10000，因为k=-200<0，所以z随x的增大而减小，因为30≤x≤32，所以当x=32时，z=3600，因此要实现销售单价不高于32元，每月利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元.
总之，数学思想方法只有在反复的运用中才能被学生所熟悉掌握，这需要数学教师有意识的渗透到平时的教学之中.一旦学生领悟到这些数学思想方法的内涵与真谛，将会更深刻地理解知识，灵活运用知识解决问题，从而形成分析、解决问题的能力.就像日本著名数学教育家米山国藏曾说的：“我搞了多年的数学教育，发现学生在初中、高中阶段学习的数学知识……离校后不到一二年，便会很快遗忘掉了.然而无论他们从事什么工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学精神、数学思维方法、研究方法……却随时随地发生作用，使他们受益终生.”