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（成都树德怀远中学 四川 成都 611230）
摘要：“数学是思维的体操”，而数学学科的本质是思维。要提高学生对数学的兴趣，关键是提高他们的思维反映能力。针对文科数学来讲，导数与函数相结合，是一个难点，在高考题目里怎样做到准确有效的解题，就需要从提高学生的能力和培养创新思维上入手。
关键词：导数；函数；高考；思维力
【中图分类号】G424.1
引言：作为文科生来讲，力求使学生掌握基础知识和常见题型，结合高考内容有适当的提升和综合。中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，是高考的重点和热点。导数处于初等数学和高等数学的衔接点，同时具备函数、不等式以及常量和变量的互动特点，自纳入高中数学以来就一直是命题的热点。
一、导数在高考试题中的分布
文科高考数学题一小一大，一般总计17分：基础分值为11分，属于通性通法，为学生可以掌握的内容；综合分值6分，往往涉及含参和恒成立的问题，有一定难度。综观近几年全国高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点：（1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围），和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题；（2）求极值， 函数单调性，应用题；（3）函数、数列和导数的综合应用问题。而其中增强学生运用导数研究函数的意识、体会、感悟，并学会用函数的思想方法在综合问题中的应用，提高分析转化问题以及构造函数解决问题的能力。
《考试大纲》对导数的考查要求一般分成三个层次：一是主要考查导数的概念及导数的几何意义，求导公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值、单调区间，判定函数的单调性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和有关不等式和函数的单调性等内容有机地结合在一起设计综合题，加强能力考查力度，使试题具有更广泛的实际意义。
二、高考热点问题示例
热点一：导数的几何意义
导数的几何意义是高考涉及导数知识时经常考查的一个知识点，如求切线的斜率、求切线的方程等，难点在于在于对其几何意义的正确理解。
例1 已知曲线y=13x3+43
（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程；
（2）求曲线过点P（2，4）的切线方程；
（3）求满足斜率为1的曲线的切线方程。
解析：（1）∵y′=x2
∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=y′|x=2=22=4
∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y—4=4（x—2）
即4x—y—4=0
（2）设曲线y=13x3+43与过点P（2，4）的切线相切于点A（x0，13x03+43），则切线的斜率k=y′|x=x0=x02
切线方程为y—（13x03+43）=x02（x—x0）；即y=x02·x—23x03+43
∵点P（2，4）在切线上， ∴4=2x02—23x03+43
即x03—3x02+4=0
∴x03—8—3x02+12=0；即（x0—2）2（x0+1）=0
解得x0=—1，或x0=2
故所求切线方程为4x—y—4=0或x—y+2=0
规律方法：根据条件列方程或方程组是解决该问题的主要方法，灵活运用x=x0处的导数就是该点处的切线的斜率是解决有关切线问题的关键.由导数的几何意义，可知点（x0，f（x0））处的切线方程为y=f′（x0）（x—x0）+f（x0）。
变式1、曲线y=x2—x在点（1，0）处切线的倾斜角为（ ）
变式2、（2010年四川）设曲线y=x2在点（1，a）处的切线与直线2x—y—6=0平行，则a=（ ）
思考：（2010·江苏）函数y=x2（x>0）的图象在点（ak，a2k）处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1，其中k∈N*，a1=16，则a1+a3+a5的值是________.
热点二：导数的简单应用
导数的简单应用包括：求函数的极值、单调区间，判定函数的单调性等
例2、（2008·湖北）已知函数f（x）= （m为常数，且m>0）有极大值9。
（1）求m的值；
（2）若斜率为—5的某直线是曲线y=f（x）的切线，求此直线方程。
解析：（1）令f′（x）=3x2+2mx—m2=（x+m）（3x—m）=0，则x=—m，或x=m3.
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：
从而可知，当x=—m时，函数f（x）取得极大值9，
即f（—m）=9，m=2。
（2）由（1）知，f（x）=x3+2x2—4x+1
依题意，知f′（x）=3x2+4x—4=—5
∴x=—1，或x=—13
又f（—1）=6，f —13=6827，
所以切线方程为y—6=—5（x+1），或y—6827=—5x+13
即5x+y—1=0，或135x+27y—23=0。
规律方法：此题属于逆向思维，但仍可根据求函数极值的步骤求解，但要注意极值点与导数之间的关系，利用这一关系f′（x）=0建立字母系数的方程（组），通过解方程（组）确定字母系数，从而解决问题。
练习1、若函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则 的取值范围为（ ）。
易错题：函数f（x）= x3+3x2+3x—a的极值个数为：
A.2 B.1 C.0 D.与a值有关
分析：（1）对多项式函数求导转化为函数根与判别式的关系；
（2）判断为极值的条件：○1 f′（x）=0。
○2在该点附近导数符号相反。
练习2、函数f（x）=12x—x3在区间 上最小值为 。 变式题：函数f（x）=12x—x3在区间 上满足f（x）>m恒成立，求m的取值范围。
可作如下分析：
○1在闭区间上最值的求法可简单理解为：极值+端点处的函数值大小比较。
○2变式题加了恒成立，本质上仍是求最小值。
热点3、利用导数求解不等式恒成立问题
例3、设函数f（x）=13x3—（1+a）x2+4ax+24a，其中常数a>1
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若当x≥0时，f（x）>0恒成立，求a的取值范围。
解：第（1）问略
（2）当x≥0时，f（x）在x=2a，或x=0处取得最小值.
f（2a）=13（2a）3—（1+a）（2a）2+4a·2a+24a
=—43a3+4a2+24a f（0）=24a
由x≥0时，f（x）≥0恒成立，得a>1，f?2a?>0，f?0?>0，
故a的取值范围是（1，6）
规律方法：（1）当函数中含有参数时，要根据解不等式的需要对参数进行分类讨论，讨论时要不重不漏；（2）要注意根据各个因式的符号将f′（x）>0等价转化为常见的不等式，很多情况下都是转化为一元二次不等式，所以对一元二次不等式的解法要熟练掌握，特别是含参数的一元二次不等式.（3）对恒成立问题和函数知识结合紧密，是学生的一个难点也是高考的一个考点，应对根的分布与不等式的最值问题慢慢让学生学会融会贯通。
练习：设函数f（x）=x4+ax3+2x2+b（x∈R），其中a，b∈R.
（1）当a=—103时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围；
（3）若对任意的a∈[—2，2]，不等式f（x）≤1在[—1，1]上恒成立，求b的取值范围。
三、展望高考
根据高考命题的特点，出题方向注重数学思想的考查和对知识的综合应用能力考查，尤其在解答题中表现的最为突出。他常在知识点的交汇处结合数学中的一些常用思想综合考虑来出题目。所以在解决此类问题中，注重学生对思想方法的思考与运用，在解答过程也要注意规范性，并要对计算能力一定要加强。因为从以往的考试和练习中，大部分学生都有“会而不对，对而不全”的情况。所以在教学过程中培养学生用化归（转化）思想处理数学问题的意识 数学问题可看作是一系列的知识形成的一个关系链 处理数学问题的实质，就是实现新问题向旧问题的转化，复杂问题向简单问题的转化，实现未知向已知的转化。
摘要：“数学是思维的体操”，而数学学科的本质是思维。要提高学生对数学的兴趣，关键是提高他们的思维反映能力。针对文科数学来讲，导数与函数相结合，是一个难点，在高考题目里怎样做到准确有效的解题，就需要从提高学生的能力和培养创新思维上入手。
关键词：导数；函数；高考；思维力
【中图分类号】G424.1
引言：作为文科生来讲，力求使学生掌握基础知识和常见题型，结合高考内容有适当的提升和综合。中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，是高考的重点和热点。导数处于初等数学和高等数学的衔接点，同时具备函数、不等式以及常量和变量的互动特点，自纳入高中数学以来就一直是命题的热点。
一、导数在高考试题中的分布
文科高考数学题一小一大，一般总计17分：基础分值为11分，属于通性通法，为学生可以掌握的内容；综合分值6分，往往涉及含参和恒成立的问题，有一定难度。综观近几年全国高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点：（1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围），和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题；（2）求极值， 函数单调性，应用题；（3）函数、数列和导数的综合应用问题。而其中增强学生运用导数研究函数的意识、体会、感悟，并学会用函数的思想方法在综合问题中的应用，提高分析转化问题以及构造函数解决问题的能力。
《考试大纲》对导数的考查要求一般分成三个层次：一是主要考查导数的概念及导数的几何意义，求导公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值、单调区间，判定函数的单调性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和有关不等式和函数的单调性等内容有机地结合在一起设计综合题，加强能力考查力度，使试题具有更广泛的实际意义。
二、高考热点问题示例
热点一：导数的几何意义
导数的几何意义是高考涉及导数知识时经常考查的一个知识点，如求切线的斜率、求切线的方程等，难点在于在于对其几何意义的正确理解。
例1 已知曲线y=13x3+43
（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程；
（2）求曲线过点P（2，4）的切线方程；
（3）求满足斜率为1的曲线的切线方程。
解析：（1）∵y′=x2
∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=y′|x=2=22=4
∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y—4=4（x—2）
即4x—y—4=0
（2）设曲线y=13x3+43与过点P（2，4）的切线相切于点A（x0，13x03+43），则切线的斜率k=y′|x=x0=x02
切线方程为y—（13x03+43）=x02（x—x0）；即y=x02·x—23x03+43
∵点P（2，4）在切线上， ∴4=2x02—23x03+43
即x03—3x02+4=0
∴x03—8—3x02+12=0；即（x0—2）2（x0+1）=0
解得x0=—1，或x0=2
故所求切线方程为4x—y—4=0或x—y+2=0
规律方法：根据条件列方程或方程组是解决该问题的主要方法，灵活运用x=x0处的导数就是该点处的切线的斜率是解决有关切线问题的关键.由导数的几何意义，可知点（x0，f（x0））处的切线方程为y=f′（x0）（x—x0）+f（x0）。
变式1、曲线y=x2—x在点（1，0）处切线的倾斜角为（ ）
变式2、（2010年四川）设曲线y=x2在点（1，a）处的切线与直线2x—y—6=0平行，则a=（ ）
思考：（2010·江苏）函数y=x2（x>0）的图象在点（ak，a2k）处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1，其中k∈N*，a1=16，则a1+a3+a5的值是________.
热点二：导数的简单应用
导数的简单应用包括：求函数的极值、单调区间，判定函数的单调性等
例2、（2008·湖北）已知函数f（x）= （m为常数，且m>0）有极大值9。
（1）求m的值；
（2）若斜率为—5的某直线是曲线y=f（x）的切线，求此直线方程。
解析：（1）令f′（x）=3x2+2mx—m2=（x+m）（3x—m）=0，则x=—m，或x=m3.
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：
从而可知，当x=—m时，函数f（x）取得极大值9，
即f（—m）=9，m=2。
（2）由（1）知，f（x）=x3+2x2—4x+1
依题意，知f′（x）=3x2+4x—4=—5
∴x=—1，或x=—13
又f（—1）=6，f —13=6827，
所以切线方程为y—6=—5（x+1），或y—6827=—5x+13
即5x+y—1=0，或135x+27y—23=0。
规律方法：此题属于逆向思维，但仍可根据求函数极值的步骤求解，但要注意极值点与导数之间的关系，利用这一关系f′（x）=0建立字母系数的方程（组），通过解方程（组）确定字母系数，从而解决问题。
练习1、若函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则 的取值范围为（ ）。
易错题：函数f（x）= x3+3x2+3x—a的极值个数为：
A.2 B.1 C.0 D.与a值有关
分析：（1）对多项式函数求导转化为函数根与判别式的关系；
（2）判断为极值的条件：○1 f′（x）=0。
○2在该点附近导数符号相反。
练习2、函数f（x）=12x—x3在区间 上最小值为 。 变式题：函数f（x）=12x—x3在区间 上满足f（x）>m恒成立，求m的取值范围。
可作如下分析：
○1在闭区间上最值的求法可简单理解为：极值+端点处的函数值大小比较。
○2变式题加了恒成立，本质上仍是求最小值。
热点3、利用导数求解不等式恒成立问题
例3、设函数f（x）=13x3—（1+a）x2+4ax+24a，其中常数a>1
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若当x≥0时，f（x）>0恒成立，求a的取值范围。
解：第（1）问略
（2）当x≥0时，f（x）在x=2a，或x=0处取得最小值.
f（2a）=13（2a）3—（1+a）（2a）2+4a·2a+24a
=—43a3+4a2+24a f（0）=24a
由x≥0时，f（x）≥0恒成立，得a>1，f?2a?>0，f?0?>0，
故a的取值范围是（1，6）
规律方法：（1）当函数中含有参数时，要根据解不等式的需要对参数进行分类讨论，讨论时要不重不漏；（2）要注意根据各个因式的符号将f′（x）>0等价转化为常见的不等式，很多情况下都是转化为一元二次不等式，所以对一元二次不等式的解法要熟练掌握，特别是含参数的一元二次不等式.（3）对恒成立问题和函数知识结合紧密，是学生的一个难点也是高考的一个考点，应对根的分布与不等式的最值问题慢慢让学生学会融会贯通。
练习：设函数f（x）=x4+ax3+2x2+b（x∈R），其中a，b∈R.
（1）当a=—103时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围；
（3）若对任意的a∈[—2，2]，不等式f（x）≤1在[—1，1]上恒成立，求b的取值范围。
三、展望高考
根据高考命题的特点，出题方向注重数学思想的考查和对知识的综合应用能力考查，尤其在解答题中表现的最为突出。他常在知识点的交汇处结合数学中的一些常用思想综合考虑来出题目。所以在解决此类问题中，注重学生对思想方法的思考与运用，在解答过程也要注意规范性，并要对计算能力一定要加强。因为从以往的考试和练习中，大部分学生都有“会而不对，对而不全”的情况。所以在教学过程中培养学生用化归（转化）思想处理数学问题的意识 数学问题可看作是一系列的知识形成的一个关系链 处理数学问题的实质，就是实现新问题向旧问题的转化，复杂问题向简单问题的转化，实现未知向已知的转化。