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两位四年级数学教师“同课异构”复习平行四边形和梯形的特征。复习内容是义务教育课程标准实验教科书苏教版四下第117页第19题（如下）：
1.教师A的处理。
四人小组合作讨论上述问题后全班交流。在交流围平行四边形最多与最少用到几种不同的小棒时，师生对答比较顺利；在交流围梯形最少用到几种不同的小棒时则出现了争议：有的组认为最少用到3种，有的组认为最少用到2种。课堂时间在学生的争议中过去了三分钟，而问题始终没得到解决，教师A当机立断，亲自在黑板上画出了最少用2种不同的小棒围成的梯形，学生似有所悟，频频点头，最终解决了这场纷争。
2.教师B的处理。
课前，教师B预计此内容对学生来说可能会有难度，就设计了一张研究单（如下），课堂上学生结合这张研究单，同桌间合作想、理、围，然后全班讨论交流。
在交流围梯形最少用到几种小棒时，学生在实物投影上边围边展开讨论：
生1：我认为围出梯形最少要用到3种不同的小棒（图1）。
生2：可以把上底2cm换成3cm，那么最少会用到2种不同的小棒（图2）。
两位学生一围一改，掀起了课堂辩论的高潮，在辩论修改中全班学生恍然大悟。
思考：
1.数学课要教给学生什么？
同样的教学内容，不同的教学方法，虽然最终学生都理解了知识，但此过程中学生所获得的发展是不一样的，这就引发了思考：数学课要教给学生什么？数学课不仅要传授数学知识，更重要的是利用数学知识这个载体来发展学生的思维能力，“只有在思维过程中获得的知识，而不是偶然得到的知识，才能具有逻辑的使用价值”。郑毓信教授曾指出，我们应将数学思维的培养与具体数学知识的学习很好地结合起来，真正实现“通过数学学习帮助学生学会思维”，培养学生的思维品质。教师A就过于重视知识传授，忽略了利用知识这个载体来发展学生的思维能力，教学效果就差了一些。
2.怎样“从学习数学到学会思维”？
赫尔巴特指出：“有时教师只需在某些事情上给学生以初步的推动，并继续注意引起他们的动机，给予他们材料，他们就会自己进行学习，并且也许会很快摆脱教师的照料。”研究单是数学研究性课堂中辅助学生开展研究的“脚手架”，也是教师辅导学生、分析研究课堂教学的重要资源。教师B能利用研究单引导学生整理记录、思考探索，学习出现问题时能动手操作去辩论验证，此时学生的学习过程就变成了研究问题的过程，也就是分析比较、抽象概括的思维过程。在此过程中，学生不但复习了知识，而且培养了能力，发展了思维，取得了较好的效果。
3.研究单与思维之间的关系。
为学生思维发展而教的一个前提是教师的思维必须发生改变，即教师自己首先要成为一个会思维的人。教学前，教师要研读教学内容，以知识为起点，重视学生思维方式的养成，开发设计研究单；教学中，学生使用研究单的过程就是学会思考的过程。学生通过研究单既学到了知识，更体会到了隐藏在知识背后的思维方法。知识内容与研究单、教师与学生、思维过程与思维品质之间的关系可用示意图表示如下（图3）：
实例解读：
在实际教学中，教师研读教材，在知识的生长点、教学的重难点、学习的困惑点等处设计研究单，让学生以研究单为载体展开学习，经历思维过程，养成思维品质。
1.找准知识的生长点，培养思维的深刻性。
在知识的生长点处设计研究单，可以培养学生思维的深刻性。如四上《乘法运算律》一课，教学前，教师应该会考虑到学生刚学过加法运算律，一定对乘法运算律有猜想、会验证。既然学生内心有强烈的探究欲望，也具备一定的分析类推能力，教师就可以设计如下的研究单：
这张研究单既反映出教师对教材的准确解读与全面把握，同时也把这种解读与把握很好地传递给了学生。学生在这张研究单的引领下，经历猜想与验证、比较与归纳等思维过程。相对于5×6=6×5这样的等式而言，最后得到的a×b=b×a是对诸多类似关系式的更高层次的概括，是透过表面现象揭示本质规律的思维过程，代表了学生认识上的重要进步，进而培养学生思维的深刻性。
2.突破教学的重难点，凸现思维的抽象性。
在教学的重难点处设计研究单，有助于凸现学生思维的抽象性。如六上《长方体、正方体的认识》一课，研究长方体的面、棱、顶点的特征是重难点。课堂上学生往往情绪高涨同时又手足无措，看到面的形状却丢了数量，数了棱的数量却丢了长度，迫切需要教师的悉心指导。此时，可以设计如下的研究单：
这张研究单首先反映的是教师对长方体的面、棱、顶点的全面认识，教师的前期思考为学生的思维活动把准了方向。在研究单的指引下，学生从长方体牙膏盒、正方体魔方等实物出发，从面的形状、数量、大小，棱的数量、长度等方面展开深入研究，得出长方体与正方体的特征。学生经历了比较分类、抽象概括等思维过程，凸现了学生思维的抽象性。
3.解析学习的困惑点，激发思维的独创性。
曾给五年级学生做过这样一道测试题：10张参观券，如果拿2张连号的，一共有几种不同的拿法？拿3张呢？结果发现，能直接报出答案的学生少之又少，学生大多处于模棱两可的状态，这就是学习的困惑点，教师以此为起点设计了下列研究单：
教师准确把握学生学习的困惑点，也就是思考的疑难点。开发这张研究单，学生根据研究单边尝试边填表，策略各有不同：有的平移，有的连线，有的计算。他们的思路新颖独特，感觉到规律后，学生把自己的发现与同学交流，同桌共同归纳概括出规律，学习的困惑得以解决。在探究规律的过程中，学生有自己独特的方法与感受，体现了一定的探索精神与创造精神，大大激发了学生思维的独创性。
（作者单位：南京市力学小学）
1.教师A的处理。
四人小组合作讨论上述问题后全班交流。在交流围平行四边形最多与最少用到几种不同的小棒时，师生对答比较顺利；在交流围梯形最少用到几种不同的小棒时则出现了争议：有的组认为最少用到3种，有的组认为最少用到2种。课堂时间在学生的争议中过去了三分钟，而问题始终没得到解决，教师A当机立断，亲自在黑板上画出了最少用2种不同的小棒围成的梯形，学生似有所悟，频频点头，最终解决了这场纷争。
2.教师B的处理。
课前，教师B预计此内容对学生来说可能会有难度，就设计了一张研究单（如下），课堂上学生结合这张研究单，同桌间合作想、理、围，然后全班讨论交流。
在交流围梯形最少用到几种小棒时，学生在实物投影上边围边展开讨论：
生1：我认为围出梯形最少要用到3种不同的小棒（图1）。
生2：可以把上底2cm换成3cm，那么最少会用到2种不同的小棒（图2）。
两位学生一围一改，掀起了课堂辩论的高潮，在辩论修改中全班学生恍然大悟。
思考：
1.数学课要教给学生什么？
同样的教学内容，不同的教学方法，虽然最终学生都理解了知识，但此过程中学生所获得的发展是不一样的，这就引发了思考：数学课要教给学生什么？数学课不仅要传授数学知识，更重要的是利用数学知识这个载体来发展学生的思维能力，“只有在思维过程中获得的知识，而不是偶然得到的知识，才能具有逻辑的使用价值”。郑毓信教授曾指出，我们应将数学思维的培养与具体数学知识的学习很好地结合起来，真正实现“通过数学学习帮助学生学会思维”，培养学生的思维品质。教师A就过于重视知识传授，忽略了利用知识这个载体来发展学生的思维能力，教学效果就差了一些。
2.怎样“从学习数学到学会思维”？
赫尔巴特指出：“有时教师只需在某些事情上给学生以初步的推动，并继续注意引起他们的动机，给予他们材料，他们就会自己进行学习，并且也许会很快摆脱教师的照料。”研究单是数学研究性课堂中辅助学生开展研究的“脚手架”，也是教师辅导学生、分析研究课堂教学的重要资源。教师B能利用研究单引导学生整理记录、思考探索，学习出现问题时能动手操作去辩论验证，此时学生的学习过程就变成了研究问题的过程，也就是分析比较、抽象概括的思维过程。在此过程中，学生不但复习了知识，而且培养了能力，发展了思维，取得了较好的效果。
3.研究单与思维之间的关系。
为学生思维发展而教的一个前提是教师的思维必须发生改变，即教师自己首先要成为一个会思维的人。教学前，教师要研读教学内容，以知识为起点，重视学生思维方式的养成，开发设计研究单；教学中，学生使用研究单的过程就是学会思考的过程。学生通过研究单既学到了知识，更体会到了隐藏在知识背后的思维方法。知识内容与研究单、教师与学生、思维过程与思维品质之间的关系可用示意图表示如下（图3）：
实例解读：
在实际教学中，教师研读教材，在知识的生长点、教学的重难点、学习的困惑点等处设计研究单，让学生以研究单为载体展开学习，经历思维过程，养成思维品质。
1.找准知识的生长点，培养思维的深刻性。
在知识的生长点处设计研究单，可以培养学生思维的深刻性。如四上《乘法运算律》一课，教学前，教师应该会考虑到学生刚学过加法运算律，一定对乘法运算律有猜想、会验证。既然学生内心有强烈的探究欲望，也具备一定的分析类推能力，教师就可以设计如下的研究单：
这张研究单既反映出教师对教材的准确解读与全面把握，同时也把这种解读与把握很好地传递给了学生。学生在这张研究单的引领下，经历猜想与验证、比较与归纳等思维过程。相对于5×6=6×5这样的等式而言，最后得到的a×b=b×a是对诸多类似关系式的更高层次的概括，是透过表面现象揭示本质规律的思维过程，代表了学生认识上的重要进步，进而培养学生思维的深刻性。
2.突破教学的重难点，凸现思维的抽象性。
在教学的重难点处设计研究单，有助于凸现学生思维的抽象性。如六上《长方体、正方体的认识》一课，研究长方体的面、棱、顶点的特征是重难点。课堂上学生往往情绪高涨同时又手足无措，看到面的形状却丢了数量，数了棱的数量却丢了长度，迫切需要教师的悉心指导。此时，可以设计如下的研究单：
这张研究单首先反映的是教师对长方体的面、棱、顶点的全面认识，教师的前期思考为学生的思维活动把准了方向。在研究单的指引下，学生从长方体牙膏盒、正方体魔方等实物出发，从面的形状、数量、大小，棱的数量、长度等方面展开深入研究，得出长方体与正方体的特征。学生经历了比较分类、抽象概括等思维过程，凸现了学生思维的抽象性。
3.解析学习的困惑点，激发思维的独创性。
曾给五年级学生做过这样一道测试题：10张参观券，如果拿2张连号的，一共有几种不同的拿法？拿3张呢？结果发现，能直接报出答案的学生少之又少，学生大多处于模棱两可的状态，这就是学习的困惑点，教师以此为起点设计了下列研究单：
教师准确把握学生学习的困惑点，也就是思考的疑难点。开发这张研究单，学生根据研究单边尝试边填表，策略各有不同：有的平移，有的连线，有的计算。他们的思路新颖独特，感觉到规律后，学生把自己的发现与同学交流，同桌共同归纳概括出规律，学习的困惑得以解决。在探究规律的过程中，学生有自己独特的方法与感受，体现了一定的探索精神与创造精神，大大激发了学生思维的独创性。
（作者单位：南京市力学小学）