换元法是常见的典型方法，又称变量代换法。在解决数学问题时，我们常遇到关于二元二次方程的问题，因其变量较多，限制较多，而不易求解。利用换元的思想将二次函数与方程和三角函数的知识联系起来，利用其三角函数值范围的限制，在解题中灵活运用三角换元，常能化繁为简，化难为易。
　　一、目的
　　探究三角换元在不同数学问题中的活用方法，应用在函数值域、圆锥曲线、线型规划、数列等方面。
　　二、三角基本知识
　　在三角函数中有角的度数
　　同角三角函数基本关系式：
　　二倍角公式：
　　诱导公式
　　三、应用典例分析
　　1.函数的值域与最值
　　例1 求值域
　　解：令
　　值域为
　　例2 求值域
　　解：令
　　值域为
　　例3 已知函数，则函数的最大值为
　　解：令
　　当
　　故最大值为
　　例4 函数的值域是 ————
　　解：令
　　即
　　即
　　解得值域为
　　小结：利用三角换元求函数值域，关键在将其转化为一角一函数进行求角，同时应注意角的范围。
　　2.最值与“1”的变形
　　例1 求的最值
　　解：令
　　例2 若且满足求的最大值和最小值
　　解：由得
　　令
　　当
　　当
　　3.圆锥曲线
　　例1 已知椭圆方程点A（0，1）在椭圆上，点P为椭圆上一动点，求最大值.
　　解：令
　　例2 已知是双曲线E 上的一点，A、B是双曲线左右顶点，△ABM是等腰△，且顶角是120°，则双曲线的离心率是
　　解：设
　　∵△ABM是等腰三角形，设∠ABM为顶角，则
　　例3 （福建理2014.9） 设P、Q分别为圆和椭圆上的点，求、两点间最大距离。
　　解：设圆心为O，
　　小结：找准圆锥曲线方程对应的三角函数参数方程，用三角函数将所求最值表示成一元二次函数求解
　　4.数列
　　例：设实数列为等差数列，则取值范围是
　　解：令