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摘 要：在几何直观视域下培养学生的推理能力，需要理解图形的特征，把握图形的本质，让学生的推理有基础；需要让学生学会画好示意图，把握问题本质，让学生学会借助于图形去思考；需要以形辅数，借助于图形思维，让学生从图形去把握数与数之间的关系。
关键词：图形特征；示意图；以形辅数
华罗庚说：“数无形少直观，形无数难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。”从数学学科本身来说，运用数与形结合可以让学生直观理解抽象的数学知识。从儿童心理发展来说，几何直观可以让儿童借助于图形去直观地思考问题，培养儿童的推理能力。在小学，儿童学习数学的过程中，可以从这样几个方面去关注几何直观，培养儿童的推理能力。
一、 理解图形特征，把握图形本质
在几何直观视域下学生的推理学习，图形教学是一个关键。所以要依附图形教学，让学生在认识图形，研究图形特征，思考与图形有关问题的过程中，以图形为载体进行学习与思考，培养学生的推理能力。具体可以从这样几个方面进行：
（一） 初步认识，根据名称作图形
在初步认识图形的过程中，学生看到图形的形状，能够说出图形的名称，在学生建立了图形的形状与名称之间的联系后，在后续学习的过程中，可以进一步转换学习的方式，让学生根据名称作图形，培养学生的推理能力。例如，在苏教版小学数学一年级下册《认图形（二）》的教学过程中，在学生能够根据图形的形状判断出是长方形还是正方形后，可以通过下面的活动，巩固对图形的认识，培养学生的推理能力：围一围，根据要求在钉子板上围出长方形、正方形和三角形；选一选，从袋子里的积木中找到上面有长方形、正方形、三角形和圆的积木；找一找，从生活中找到有哪些物体的面是长方形、正方形、三角形和圆。上述三个过程，学生在围、找和选的过程中，都是先在大脑中想象出长方形、正方形、三角形和圆的形状，然后依据形状进行操作，培养了学生的推理能力。
（二） 研究特征，灵活转换图形
学生在后续学习过程中，需要进一步研究图形的特征。在学生认识了图形的特征后，可以进行不同图形之间的转换，借助想象打通不同图形之间的关联。例如，在认识了长方形和正方形的特征后，给学生一个正方形，想一想，如何把它变成长方形？再给一个长方形，想一想：如何把长方形变成正方形？在学生想象后，进行操作验证。学生在想象的过程中，首先在头脑里想象图形的形状，然后在头脑里根据图形的特征合理调整，最后通过操作，进一步验证调整的合理性。根据图形特征让学生对不同图形进行转换，学生的思维在想象与操作之间进行转换，有效培养学生的推理能力。
（三） 解决问题，学会想象图形
学生认识了图形的特征后，在解决有关于图形的问题时，可以通过不同层次的要求去培养学生的形象思维。例如，在蘇教版小学数学六年级上册《认识长方体和正方体》的学习过程中，有这样一道例题：做一个无盖的长4分米，宽3分米和高3分米的鱼缸，需要玻璃多少平方分米？在学生学习的过程中，可以通过这样几个层次逐步培养学生的推理能力：首先在题目出示后，给题目配上规范的示意图，让学生在图上标上数据，根据图形去解决问题；其次，在学生能够看图解决问题后，撤除示意图，让学生自己画出示意图，然后解决问题；最后，在学生能够画出示意图解决问题后，直接让学生在头脑里想象出图形去解决问题。通过上述从有图到画图，最后到无图解决问题的过程中，学生逐步学会在大脑里想象图形，并且在大脑里对图形进行适当的操作，培养学生的推理能力。
二、 画好示意图形，把握问题本质
学生在认识图形，研究图形特征以及解决与图形有关的问题过程中，通过让学生借助于图形思考问题，培养学生的形象思维。学生在解决一些关于数与代数的问题过程中，同样也可以运用相关示意图去描述问题之间的关系，把问题之间的隐性联系直观化，让学生更加直观地把握问题之间的联系，培养学生的推理能力。
（一） 自创示意图，把意义直观化
有些数学概念相对而言比较抽象，学生理解这些抽象的数学概念的时候，可以把这些抽象的概念直观化，让抽象的意义依附于基本的示意图而存在，培养学生的推理能力。例如，学生在理解加法和减法意义的过程中，可以让学生自创示意图，表示“合起来”和“去掉”两个意义。学生可以借助于两个长方形合并成一个长方形的过程，表示合起来，直观表征加法的意义；可以借助于从一个长方形里去掉一部分的过程，表示去掉的意义，借助形象表征减法的意义。通过这种自创示意图表示抽象概念的方式，让学生借助于直观的示意图去表征抽象概念的意义，把抽象的意义依附于具体的图形而存在，培养学生的推理能力。
（二） 利用线段图，把握数量之间的关系
有些数与代数的问题，题目里数量之间的关系比较隐蔽，借助于线段图可以让问题之间的关系更加明晰，让学生借助于直观思考问题，培养学生的形象思维。例如，在苏教版小学数学四年级下册《解决问题策略》教学过程中，可以通过这样几个层次的教学，培养学生的推理能力：首先，在例题教学过程中，让学生借助于图形完整表征图中的和差问题的数量关系；其次，在练习过程，可以把线段图进行简化，只要借助于简单的示意图表征其中的关系；最后，在后续练习过程中，只要在头脑里想象出示意图。通过从规范的画图，到压缩图形的细节，运用示意图表示了题中数量之间的关系，最后到在头脑里想象示意图，让学生逐步学会运用示意图表征问题之间的数量关系，逐步提升学生的推理能力。
三、 以形辅数，用直观表征数的意义
在数学学科中培养学生的形象思维，最重要的一个载体也就是以形辅数，通过图形把握数的意义以及数与数之间的关系，从而培养学生的推理能力，具体可以从这样几个方面进行：
（一） 在数的认识过程中，借助于图形把握数的本质
数是抽象的产物，特别是对分数与小数的认识，如果仅仅停留于机械的意义表述，那么学生就不会深度理解数的本质意义。所以，在分数的认识过程中，借助于各种不同的图形，通过平均分的过程，形成对分数意义的图形表达，然后抽象出分数的意义。用同样的方法形成对小数意义的认识。学生在后续描述分数与小数意义的过程中，可以再让学生想象一下，如何借助于具体的图形表述分数与小数的意义。通过这样的认数过程，让学生借助于图形把抽象的意义形象化，有效培养学生的推理能力。
（二） 借助图形，把握数自身特征
学生理解了一类数的意义后，可以通过图形去研究一个数自身的特征，形成与这个数相似数的特征的认识，发展学生的形象思维。例如，在整数中有1、4、9、16这些平方数（如图1），可以通过具体的图形让学生去把握这些平方数的实际形状。通过图形的特征去理解数的特征，形成对数的形象化认识，理解数的实际意义。当然，除了平方数，还可以通过“三角数”等数的认识，让学生学会借助于图形去把握数的自身特征的意义，体会数与形之间的联系，培养学生的推理能力。
（三） 利用示意图，理解数与数之间的关系
学生在理解数的意义的过程中，借助于具体的图形，可以加深学生对数的意义的把握，在描述数与数之间关系的过程中，同样也可以借助于图形让学生直观把握数与数之间的关联。例如，在整数教学的过程中，借助于数轴，让学生理解4离0近一些，还是离10近一些？让学生凭借数轴体会到数的大小关系。后续过程中，学生进一步摆脱数轴的限制，超越数轴，能够凭着前面积累的直观经验去判断两个数之间的距离。通过图形对数与数之间的关系形成直观体验，后续学习过程中直接利用直观经验判断，培养学生的推理能力。
在小学数学教学的过程中，基于几何直观，培养学生的推理能力，需要基于图形教学，但是不能仅仅拘于图形教学，只有在充分挖掘多种素材，一方面让抽象的数、数量以及它们之间的关系形象化，另一方面让学生学会借助于直观思考，这样才能够有效培养学生的推理能力。
参考文献：
[1]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.
[2]张奠宙，孔凡哲，黄建弘，黄荣良，唐采斌.小学数学研究[M].北京：高等教育出版社，2009.
[3]（美）罗莎琳德·查尔斯沃斯.3～8岁儿童的数学学习经验[M].潘月娟，译.北京：人民教育出版社，2007.
作者简介：
潘龙和，福建省龙岩市，古田县第二小学。
关键词：图形特征；示意图；以形辅数
华罗庚说：“数无形少直观，形无数难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。”从数学学科本身来说，运用数与形结合可以让学生直观理解抽象的数学知识。从儿童心理发展来说，几何直观可以让儿童借助于图形去直观地思考问题，培养儿童的推理能力。在小学，儿童学习数学的过程中，可以从这样几个方面去关注几何直观，培养儿童的推理能力。
一、 理解图形特征，把握图形本质
在几何直观视域下学生的推理学习，图形教学是一个关键。所以要依附图形教学，让学生在认识图形，研究图形特征，思考与图形有关问题的过程中，以图形为载体进行学习与思考，培养学生的推理能力。具体可以从这样几个方面进行：
（一） 初步认识，根据名称作图形
在初步认识图形的过程中，学生看到图形的形状，能够说出图形的名称，在学生建立了图形的形状与名称之间的联系后，在后续学习的过程中，可以进一步转换学习的方式，让学生根据名称作图形，培养学生的推理能力。例如，在苏教版小学数学一年级下册《认图形（二）》的教学过程中，在学生能够根据图形的形状判断出是长方形还是正方形后，可以通过下面的活动，巩固对图形的认识，培养学生的推理能力：围一围，根据要求在钉子板上围出长方形、正方形和三角形；选一选，从袋子里的积木中找到上面有长方形、正方形、三角形和圆的积木；找一找，从生活中找到有哪些物体的面是长方形、正方形、三角形和圆。上述三个过程，学生在围、找和选的过程中，都是先在大脑中想象出长方形、正方形、三角形和圆的形状，然后依据形状进行操作，培养了学生的推理能力。
（二） 研究特征，灵活转换图形
学生在后续学习过程中，需要进一步研究图形的特征。在学生认识了图形的特征后，可以进行不同图形之间的转换，借助想象打通不同图形之间的关联。例如，在认识了长方形和正方形的特征后，给学生一个正方形，想一想，如何把它变成长方形？再给一个长方形，想一想：如何把长方形变成正方形？在学生想象后，进行操作验证。学生在想象的过程中，首先在头脑里想象图形的形状，然后在头脑里根据图形的特征合理调整，最后通过操作，进一步验证调整的合理性。根据图形特征让学生对不同图形进行转换，学生的思维在想象与操作之间进行转换，有效培养学生的推理能力。
（三） 解决问题，学会想象图形
学生认识了图形的特征后，在解决有关于图形的问题时，可以通过不同层次的要求去培养学生的形象思维。例如，在蘇教版小学数学六年级上册《认识长方体和正方体》的学习过程中，有这样一道例题：做一个无盖的长4分米，宽3分米和高3分米的鱼缸，需要玻璃多少平方分米？在学生学习的过程中，可以通过这样几个层次逐步培养学生的推理能力：首先在题目出示后，给题目配上规范的示意图，让学生在图上标上数据，根据图形去解决问题；其次，在学生能够看图解决问题后，撤除示意图，让学生自己画出示意图，然后解决问题；最后，在学生能够画出示意图解决问题后，直接让学生在头脑里想象出图形去解决问题。通过上述从有图到画图，最后到无图解决问题的过程中，学生逐步学会在大脑里想象图形，并且在大脑里对图形进行适当的操作，培养学生的推理能力。
二、 画好示意图形，把握问题本质
学生在认识图形，研究图形特征以及解决与图形有关的问题过程中，通过让学生借助于图形思考问题，培养学生的形象思维。学生在解决一些关于数与代数的问题过程中，同样也可以运用相关示意图去描述问题之间的关系，把问题之间的隐性联系直观化，让学生更加直观地把握问题之间的联系，培养学生的推理能力。
（一） 自创示意图，把意义直观化
有些数学概念相对而言比较抽象，学生理解这些抽象的数学概念的时候，可以把这些抽象的概念直观化，让抽象的意义依附于基本的示意图而存在，培养学生的推理能力。例如，学生在理解加法和减法意义的过程中，可以让学生自创示意图，表示“合起来”和“去掉”两个意义。学生可以借助于两个长方形合并成一个长方形的过程，表示合起来，直观表征加法的意义；可以借助于从一个长方形里去掉一部分的过程，表示去掉的意义，借助形象表征减法的意义。通过这种自创示意图表示抽象概念的方式，让学生借助于直观的示意图去表征抽象概念的意义，把抽象的意义依附于具体的图形而存在，培养学生的推理能力。
（二） 利用线段图，把握数量之间的关系
有些数与代数的问题，题目里数量之间的关系比较隐蔽，借助于线段图可以让问题之间的关系更加明晰，让学生借助于直观思考问题，培养学生的形象思维。例如，在苏教版小学数学四年级下册《解决问题策略》教学过程中，可以通过这样几个层次的教学，培养学生的推理能力：首先，在例题教学过程中，让学生借助于图形完整表征图中的和差问题的数量关系；其次，在练习过程，可以把线段图进行简化，只要借助于简单的示意图表征其中的关系；最后，在后续练习过程中，只要在头脑里想象出示意图。通过从规范的画图，到压缩图形的细节，运用示意图表示了题中数量之间的关系，最后到在头脑里想象示意图，让学生逐步学会运用示意图表征问题之间的数量关系，逐步提升学生的推理能力。
三、 以形辅数，用直观表征数的意义
在数学学科中培养学生的形象思维，最重要的一个载体也就是以形辅数，通过图形把握数的意义以及数与数之间的关系，从而培养学生的推理能力，具体可以从这样几个方面进行：
（一） 在数的认识过程中，借助于图形把握数的本质
数是抽象的产物，特别是对分数与小数的认识，如果仅仅停留于机械的意义表述，那么学生就不会深度理解数的本质意义。所以，在分数的认识过程中，借助于各种不同的图形，通过平均分的过程，形成对分数意义的图形表达，然后抽象出分数的意义。用同样的方法形成对小数意义的认识。学生在后续描述分数与小数意义的过程中，可以再让学生想象一下，如何借助于具体的图形表述分数与小数的意义。通过这样的认数过程，让学生借助于图形把抽象的意义形象化，有效培养学生的推理能力。
（二） 借助图形，把握数自身特征
学生理解了一类数的意义后，可以通过图形去研究一个数自身的特征，形成与这个数相似数的特征的认识，发展学生的形象思维。例如，在整数中有1、4、9、16这些平方数（如图1），可以通过具体的图形让学生去把握这些平方数的实际形状。通过图形的特征去理解数的特征，形成对数的形象化认识，理解数的实际意义。当然，除了平方数，还可以通过“三角数”等数的认识，让学生学会借助于图形去把握数的自身特征的意义，体会数与形之间的联系，培养学生的推理能力。
（三） 利用示意图，理解数与数之间的关系
学生在理解数的意义的过程中，借助于具体的图形，可以加深学生对数的意义的把握，在描述数与数之间关系的过程中，同样也可以借助于图形让学生直观把握数与数之间的关联。例如，在整数教学的过程中，借助于数轴，让学生理解4离0近一些，还是离10近一些？让学生凭借数轴体会到数的大小关系。后续过程中，学生进一步摆脱数轴的限制，超越数轴，能够凭着前面积累的直观经验去判断两个数之间的距离。通过图形对数与数之间的关系形成直观体验，后续学习过程中直接利用直观经验判断，培养学生的推理能力。
在小学数学教学的过程中，基于几何直观，培养学生的推理能力，需要基于图形教学，但是不能仅仅拘于图形教学，只有在充分挖掘多种素材，一方面让抽象的数、数量以及它们之间的关系形象化，另一方面让学生学会借助于直观思考，这样才能够有效培养学生的推理能力。
参考文献：
[1]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.
[2]张奠宙，孔凡哲，黄建弘，黄荣良，唐采斌.小学数学研究[M].北京：高等教育出版社，2009.
[3]（美）罗莎琳德·查尔斯沃斯.3～8岁儿童的数学学习经验[M].潘月娟，译.北京：人民教育出版社，2007.
作者简介：
潘龙和，福建省龙岩市，古田县第二小学。