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一、试题呈现
如图1，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦.过点B作BC∥AD，交⊙O于点C，连结AC，过点C作CD∥AB，交AD于点D.连结AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD.
(1) 判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由：
(2) 若AB=9，BC=6，求PC的长.
命题者提供的一种答案：
图1图2(1)证明： 直线PC与⊙O相切.如图2，连结CO并延长，交⊙O于点N，连结BN.因为AB∥CD，所以∠BAC=∠ACD.因为∠BAC=∠BNC，所以∠BNC=∠ACD.因为∠BCP=∠ACD，所以∠BNC=∠BCP.因为CN是⊙O的直径，所以∠CBN=90°.所以∠BNC+∠BCN=90°，所以∠BCP+∠BCN=90°.所以∠PCO=90°，即PC⊥OC.又点C在⊙O上，所以直线PC与⊙O相切.
(2)解： 因为AD是⊙O的切线，所以AD⊥OA，即∠OAD=90°.因为BC∥AD，所以∠OMC=180°-∠OAD=90°，即OM⊥BC.所以MC=MB.所以AB=AC.在Rt△AMC中，∠AMC=90°，AC=AB=9，MC=12BC=3，由勾股定理，得AM=AC2-MC2 =92-32=62.
设⊙O的半径为r.在Rt△OMC中，∠OMC=90°，OM=AM-AO=62-r，MC=3，OC=r，由勾股定理，得OM2+MC2=OC2，即(62-r)2+32=r2.解得r=2782.在△OMC和△OCP中， 因为∠OMC=∠OCP，∠MOC=∠COP，则△OMC∽△OCP，得OMOC=CMPC，即62-27822782=3PC.解得PC=277.
评析：圆是初中几何的重要内容之一，此题是考查圆难得一见的好题，试题考查了圆的切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径等圆的核心知识．第（2）小题是一道计算题，题干简洁，但难度不小，是此题的一个亮点，试题考查了勾股定理、圆周角定理的推论、三角形相似的判定与性质，也涉及到根式运算及方程思想，具有很强的综合性，在考查学生合情推理和演绎推理能力的同时，考查综合运用所学知识分析并解决问题的能力和意识．但从命题者提供的标准答案看，计算量偏大：先利用勾股定理求出AM=AC2-MC2 =92-32 =62，再利用勾股定理列方程 (62-r)2+32=r2，求出r=2782，最后利用相似三角形对应边成比例列方程62-27822782=3PC，求出PC=277 .显然，求半径的过程与结果都比较复杂．能否不求半径另辟蹊径求PC呢？笔者悉心探究给出另几种解法，以飨读者．
二、解法探究
思路1：PC是△PCM与△PCA的公共边，点M在PA上，这使我们联想到构造“平行型相似三角形”求解，只需要过点M或点P或点A边作平行线，就可以得到6种较为简洁的解法．
解法1：如图3，分别延长PC、AD交于点E，则CE=AE.因为BC∥AD，所以∠ACB=∠EAC，所以△ABC∽△EAC，得ABAE=BCAC，即9AE=69，解得AE=CE=272， 又因为BC∥AD，所以△PMC∽△PAE，所以MCAE=PCPE，即327/2=PCPC+27/2，解得PC=277．
图3图4解法2：如图4，作ME∥AC交PC于点E，则∠ACB=∠EMC.又因为AB∥CD，所以∠BAC=∠ACD，因为∠BAC=∠BCP，所以∠BAC=∠BCP，则△MCE∽△BAC，所以MCAB=MEBC=ECAC，即39=ME6=EC9，所以ME=2，EC=3.因为ME∥AC，所以△PME∽△PAC，所以MEAC=PEPC，即29=PC-3PC，解得PC=277 ．
解法3：如图5，作PE∥AC交BC于点E，则△PME∽△AMC，所以PEEM=ACMC=3，设EM=x，则PE=3x，PC=EC=3+x，因为AB∥CD，所以∠BAC=∠ACD，因为∠BAC=∠BCP，所以∠BAC=∠BCP，又因为PE∥AC，所以∠PEC=∠ACB，则△PEC∽△CAB，得PEBC=ECAB，即3x6=3+x9，解得x=67，解得PC=3+67=277．
图5图6解法4：如图6，作ME∥PC交AC于点E， 则∠EMC=∠PCB=∠ACD =∠BAC，又∠MCE=∠ACB，则△MCE∽△ACB，得CEBC=MEAB=MCAC，即CE6=ME9=39，解得CE=2，ME=3，进而得AE=AC－CE=7.因为ME∥PC，所以△AME∽△APC，得MEPC=AEAC，即3PC=79，解得PC=277 ．
解法5：如图7，作PE∥MC交AC延长线于点E， 则∠EPC=∠PCB=∠ACD =∠BAC， ∠PEC=∠ACB，所以△PEC∽△ACB，所以CEBC=PCAB=PEAC，即CE6=PC9=PE9，设PC=x，则PE=x，CE=23x,AE=9+23x.因为PE∥MC，所以△AMC∽△APE，得MCPE=ACAE，即3x=99+23x，解得x=277，即PC= 277．
图7图8解法6：如图8，作AE∥PC交CB延长线于点E， 则∠AEC=∠PCB=∠ACD=∠BAC，又∠ACE=∠BCA，所以△ACE∽△BCA，得CEACAEAB=ACBC，即CE9=AE9=96，解得AE=CE=272，进而得EM=CE-CM=212，因为AE∥PC，所以△AME∽△PMC，得AEPC=EMMC，即27/2PC=21/23，解得PC=277．
思路2： PC在Rt△MCP中，注意到以PC为一边的∠PCB=∠BAC，可以考虑围绕∠BAC构造一个与△MCP相似的三角形，利用比例求解，构造的方法是作垂线，又得到3种较为简洁的解法．
解法7：如图9，作CE⊥AB于点E，则cosB=BEBC=BMAB，即BE6=39，所以BE=2，AE=AB－BE=9－2=7.又因为AB∥CD，所以∠BAC=∠ACD，因为∠BAC=∠BCP，所以∠BAC=∠BCP.又∠AEC=∠CMP=90°，所以△PMC∽△CEA，得PCAC=MCAE，即PC9=37，解得PC=277．
说明：此解法求AE还可以这样解：由CE⊥AB，得AC2-AE2=CE2=BC2-BE2，即92-AE2=62-(9-AE)2，解得AE=7．
图9图10图11解法8：如图10，作PE⊥AC交AC延长线于点E，则∠PCE=∠ACF=∠ABC=∠ACB.又∠PEC=∠AMC=90°，所以△PCE∽△ACM，得∠EPC=∠MAC，PCEC=ACMC=93.设EC=x，则PC=3x，所以PE2=PC2-EC2=8x2，又∠PEC=∠AEP=90°，所以△PEC∽△AEP，得PEAE=ECPE，即PE2=AE•EC，所以8x2=x(9+x)，解得x=9/7，即PC= 277.
解法9：如图11，作AE⊥PC交PC于点E，则∠ACE=∠ABC=∠ACB，所以AE=AM=AC2-MC2=62，CE=CM=3.设PC=x，PM=y，因为∠MPC=∠APE，∠PMC=∠PEA=90°，所以△PMC∽△PEA，得PCAP=MCAE=PMPE，即xy+62=362=yx+3，解得x=277，即PC=277．
1．优秀的几何题一般存在多种解法，而辅助线通常是解决问题的桥梁，巧妙的辅助线常能“柳暗花明又一村”，与标准答案不同的上述几种解法，其巧妙之处在于添加了辅助线，辅助线使未知与已知有了更紧密的联系，无需先计算出半径，计算过程
大为简洁，体现了数学方法的多样性，同时也从侧面说明这是一道难得的好题，是训练学生数学思维的好素材．
2．数学离不开解题，数学教学离不开“教解题”，波利亚在《数学的发现》中指出：中学数学教学的首要任务就在于加强解题能力的训练．学无止境，教也无涯，教师自身要具有解题、研题的意识，每年中考全国有一百多份试卷，其中不乏好题、难题，教师只有静下来、钻进去，提升了自己的解题水平，才能在指导学生解题时游刃有余，给学生更多的启迪与帮助.不以解题为先的教学解题是空谈，不以唤醒学生的讲题是走过场．
3．学生在数学学习上的成长主要是通过解题水平来体现的，《义务教育数学课程标准（2011年版）》在第三学段（7～9年级）的“学段目标”中提出：经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法．教师通过采撷典型中考题，多角度探索考题的不同解法，并且引导学生体会各种解法的特点和优劣，深入挖掘考题的解题思路，发挥考题的最大效益，使之有效服务于教学，提高教学效率，促使学生积累良好的基本活动经验，才是教师真功夫的体现．
如图1，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦.过点B作BC∥AD，交⊙O于点C，连结AC，过点C作CD∥AB，交AD于点D.连结AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD.
(1) 判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由：
(2) 若AB=9，BC=6，求PC的长.
命题者提供的一种答案：
图1图2(1)证明： 直线PC与⊙O相切.如图2，连结CO并延长，交⊙O于点N，连结BN.因为AB∥CD，所以∠BAC=∠ACD.因为∠BAC=∠BNC，所以∠BNC=∠ACD.因为∠BCP=∠ACD，所以∠BNC=∠BCP.因为CN是⊙O的直径，所以∠CBN=90°.所以∠BNC+∠BCN=90°，所以∠BCP+∠BCN=90°.所以∠PCO=90°，即PC⊥OC.又点C在⊙O上，所以直线PC与⊙O相切.
(2)解： 因为AD是⊙O的切线，所以AD⊥OA，即∠OAD=90°.因为BC∥AD，所以∠OMC=180°-∠OAD=90°，即OM⊥BC.所以MC=MB.所以AB=AC.在Rt△AMC中，∠AMC=90°，AC=AB=9，MC=12BC=3，由勾股定理，得AM=AC2-MC2 =92-32=62.
设⊙O的半径为r.在Rt△OMC中，∠OMC=90°，OM=AM-AO=62-r，MC=3，OC=r，由勾股定理，得OM2+MC2=OC2，即(62-r)2+32=r2.解得r=2782.在△OMC和△OCP中， 因为∠OMC=∠OCP，∠MOC=∠COP，则△OMC∽△OCP，得OMOC=CMPC，即62-27822782=3PC.解得PC=277.
评析：圆是初中几何的重要内容之一，此题是考查圆难得一见的好题，试题考查了圆的切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径等圆的核心知识．第（2）小题是一道计算题，题干简洁，但难度不小，是此题的一个亮点，试题考查了勾股定理、圆周角定理的推论、三角形相似的判定与性质，也涉及到根式运算及方程思想，具有很强的综合性，在考查学生合情推理和演绎推理能力的同时，考查综合运用所学知识分析并解决问题的能力和意识．但从命题者提供的标准答案看，计算量偏大：先利用勾股定理求出AM=AC2-MC2 =92-32 =62，再利用勾股定理列方程 (62-r)2+32=r2，求出r=2782，最后利用相似三角形对应边成比例列方程62-27822782=3PC，求出PC=277 .显然，求半径的过程与结果都比较复杂．能否不求半径另辟蹊径求PC呢？笔者悉心探究给出另几种解法，以飨读者．
二、解法探究
思路1：PC是△PCM与△PCA的公共边，点M在PA上，这使我们联想到构造“平行型相似三角形”求解，只需要过点M或点P或点A边作平行线，就可以得到6种较为简洁的解法．
解法1：如图3，分别延长PC、AD交于点E，则CE=AE.因为BC∥AD，所以∠ACB=∠EAC，所以△ABC∽△EAC，得ABAE=BCAC，即9AE=69，解得AE=CE=272， 又因为BC∥AD，所以△PMC∽△PAE，所以MCAE=PCPE，即327/2=PCPC+27/2，解得PC=277．
图3图4解法2：如图4，作ME∥AC交PC于点E，则∠ACB=∠EMC.又因为AB∥CD，所以∠BAC=∠ACD，因为∠BAC=∠BCP，所以∠BAC=∠BCP，则△MCE∽△BAC，所以MCAB=MEBC=ECAC，即39=ME6=EC9，所以ME=2，EC=3.因为ME∥AC，所以△PME∽△PAC，所以MEAC=PEPC，即29=PC-3PC，解得PC=277 ．
解法3：如图5，作PE∥AC交BC于点E，则△PME∽△AMC，所以PEEM=ACMC=3，设EM=x，则PE=3x，PC=EC=3+x，因为AB∥CD，所以∠BAC=∠ACD，因为∠BAC=∠BCP，所以∠BAC=∠BCP，又因为PE∥AC，所以∠PEC=∠ACB，则△PEC∽△CAB，得PEBC=ECAB，即3x6=3+x9，解得x=67，解得PC=3+67=277．
图5图6解法4：如图6，作ME∥PC交AC于点E， 则∠EMC=∠PCB=∠ACD =∠BAC，又∠MCE=∠ACB，则△MCE∽△ACB，得CEBC=MEAB=MCAC，即CE6=ME9=39，解得CE=2，ME=3，进而得AE=AC－CE=7.因为ME∥PC，所以△AME∽△APC，得MEPC=AEAC，即3PC=79，解得PC=277 ．
解法5：如图7，作PE∥MC交AC延长线于点E， 则∠EPC=∠PCB=∠ACD =∠BAC， ∠PEC=∠ACB，所以△PEC∽△ACB，所以CEBC=PCAB=PEAC，即CE6=PC9=PE9，设PC=x，则PE=x，CE=23x,AE=9+23x.因为PE∥MC，所以△AMC∽△APE，得MCPE=ACAE，即3x=99+23x，解得x=277，即PC= 277．
图7图8解法6：如图8，作AE∥PC交CB延长线于点E， 则∠AEC=∠PCB=∠ACD=∠BAC，又∠ACE=∠BCA，所以△ACE∽△BCA，得CEACAEAB=ACBC，即CE9=AE9=96，解得AE=CE=272，进而得EM=CE-CM=212，因为AE∥PC，所以△AME∽△PMC，得AEPC=EMMC，即27/2PC=21/23，解得PC=277．
思路2： PC在Rt△MCP中，注意到以PC为一边的∠PCB=∠BAC，可以考虑围绕∠BAC构造一个与△MCP相似的三角形，利用比例求解，构造的方法是作垂线，又得到3种较为简洁的解法．
解法7：如图9，作CE⊥AB于点E，则cosB=BEBC=BMAB，即BE6=39，所以BE=2，AE=AB－BE=9－2=7.又因为AB∥CD，所以∠BAC=∠ACD，因为∠BAC=∠BCP，所以∠BAC=∠BCP.又∠AEC=∠CMP=90°，所以△PMC∽△CEA，得PCAC=MCAE，即PC9=37，解得PC=277．
说明：此解法求AE还可以这样解：由CE⊥AB，得AC2-AE2=CE2=BC2-BE2，即92-AE2=62-(9-AE)2，解得AE=7．
图9图10图11解法8：如图10，作PE⊥AC交AC延长线于点E，则∠PCE=∠ACF=∠ABC=∠ACB.又∠PEC=∠AMC=90°，所以△PCE∽△ACM，得∠EPC=∠MAC，PCEC=ACMC=93.设EC=x，则PC=3x，所以PE2=PC2-EC2=8x2，又∠PEC=∠AEP=90°，所以△PEC∽△AEP，得PEAE=ECPE，即PE2=AE•EC，所以8x2=x(9+x)，解得x=9/7，即PC= 277.
解法9：如图11，作AE⊥PC交PC于点E，则∠ACE=∠ABC=∠ACB，所以AE=AM=AC2-MC2=62，CE=CM=3.设PC=x，PM=y，因为∠MPC=∠APE，∠PMC=∠PEA=90°，所以△PMC∽△PEA，得PCAP=MCAE=PMPE，即xy+62=362=yx+3，解得x=277，即PC=277．
1．优秀的几何题一般存在多种解法，而辅助线通常是解决问题的桥梁，巧妙的辅助线常能“柳暗花明又一村”，与标准答案不同的上述几种解法，其巧妙之处在于添加了辅助线，辅助线使未知与已知有了更紧密的联系，无需先计算出半径，计算过程
大为简洁，体现了数学方法的多样性，同时也从侧面说明这是一道难得的好题，是训练学生数学思维的好素材．
2．数学离不开解题，数学教学离不开“教解题”，波利亚在《数学的发现》中指出：中学数学教学的首要任务就在于加强解题能力的训练．学无止境，教也无涯，教师自身要具有解题、研题的意识，每年中考全国有一百多份试卷，其中不乏好题、难题，教师只有静下来、钻进去，提升了自己的解题水平，才能在指导学生解题时游刃有余，给学生更多的启迪与帮助.不以解题为先的教学解题是空谈，不以唤醒学生的讲题是走过场．
3．学生在数学学习上的成长主要是通过解题水平来体现的，《义务教育数学课程标准（2011年版）》在第三学段（7～9年级）的“学段目标”中提出：经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法．教师通过采撷典型中考题，多角度探索考题的不同解法，并且引导学生体会各种解法的特点和优劣，深入挖掘考题的解题思路，发挥考题的最大效益，使之有效服务于教学，提高教学效率，促使学生积累良好的基本活动经验，才是教师真功夫的体现．