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摘 要：三角换元是一种常用的换元方法，在解决某些数学问题时，若能巧用三角换元，化特殊为一般，化复杂为简单，化难题为简单题，不仅有利于提高学生的解题能力，更有利于培养学生的创造性思维能力.
关键词：换元；定义；三角恒等关系；公式
在解题时为了将复杂问题简单化，将非标准问题标准化，常需将一个式子看成一个整体，用另一变量去替换，这就是换元法. 三角换元是一种常用的换元方法，在解决某些数学问题时，若能巧用三角换元，将变难为易，化繁为简.
[?] 借用定义巧换元
例1 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为60°，如图1所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动，若=x y，其中x，y∈R，求x-y的最大值.
[C][O][x][y][A][B]
图1
分析：C在弧AB上运动时，C到O的距离始终不变，C的位置随着∠COA的变化而变化，借助三角函数的定义，可将C点坐标用∠COA的三角函数来表示.
解：以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A（1，0），B
，. 设∠AOC=θ， 有C（cosθ，sinθ），其中θ∈0
，.
因为=x y，所以x=cosθ-sinθ ，y=sinθ，所以x-y=cosθ-sinθ=2cosθ
，
所以，当θ=0时，x-y取得最大值1.
变式：如图2：在半径为1的扇形OAB中，∠AOB=60°，C为弧AB上且与A，B不重合的一个动点，=x y，若u=x λy（λ>0）存在最大值，则λ的取值范围为________.
[C][O][x][y][A][B]
图2
解：以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B（1，0），A
，，
设∠BOC=θ，有C（cosθ，sinθ），其中θ∈0
， 则，=（cosθ，sinθ），
所以=x y=
x y
，x
所以
x y=cosθ，
x=sinθ，
即
x=sinθ，
y=cosθ
-sinθ，
所以有μ=x λy=sinθ λcosθ
-sinθ =（2-λ）sinθ λcosθ =sin（θ φ），其中tanφ=.
因为 0<θ<，所以φ<θ φ< φ.
要使得μ存在最大值，则φ<< φ，所以<φ<，
所以tanφ>，即>，所以<λ<2.
点评：三角函数的定义体现了角α终边上任一点P（x，y）与角α的关系：cosα=，sinα=，（其中r2=x2 y2）. 在r确定或不变的条件下，借助于公式的变形式：x=rcosα ，y=rsinα可起到降元的目的.
[?] 借用恒等关系巧换元
三角恒等关系式sin2θ cos2θ=1，更好地体现了同角三角函数间的一个定值关系，若能在解题中借助于平方和为定值这一恒等关系，可以巧妙地进行换元，将化不规则为规则，化非常规题为常规题，对学生解题能力的提高将有很大的帮助.
例2 若x2 y2=1，求x y得最大值.
分析：由x2 y2=1，对比三角恒等式sin2θ cos2θ=1，联想到三角换元，水到渠成.
解：设x=cosθ，y=sinθ，
则x y=sinθ cosθ=sinθ
，
所以，当θ=2kπ （k∈Z）时，x y取得最大值.
变式1 若实数x，y满足x2 y2-2x-2y 1=0，求x2 y2的取值范围.
解：x2 y2-2x-2y 1=0可变形为（x-1）2 （y-1）2=1，设x=1 cosθ，
y=1 sinθ，
所以x2 y2=（1 cosθ）2 （1 sinθ）2
=3 2cosθ 2sinθ
=3 2sinθ
.
因为-1≤sinθ
≤1，
所以 3-2≤x2 y2≤3 2.
变式2 已知点P（x，y）是圆x2 y2-2x-2y 1=0上的动点. 且x y a≥0恒成立，求实数a的取值范围.
分析：要使x y a≥0恒成立，则a≥ -（x y）恒成立，a大于等于-（x y）的最大值，由变题1，可得x y=2 cosθ sinθ=2 sinθ
最小值为2-，所以 a≥2-.
变式3 已知函数f（x）=x2 2x-1，若a 解：由题意，因为f（a）=f（b），所以有a2 2a-1=-（b2 2b-1），即a2 b2 2a 2b-2=0，（a 1）2 （b 1）2=4.
因为a ，，
所以ab a b=（-1 2cosθ）（-1 2sinθ） （-1 2cosθ） （-1 2sinθ）=-1 2sin2θ.
因为θ∈π
，，所以0 分析：曲线方程化简后可变形为
2 y2=1，对照三角恒等式可设x=cosθ，y=sinθ，
s=cosθ-sinθ=2sin
-θ. 设P（cosθ，sinθ），因为-1≤sin
-θ≤1，所以-2≤s≤2.
变式1 若实数x，y满足3x2 4y2-18x-16y 31=0，求x y的取值范围.
分析：3x2 4y2-18x-16y 31=0可转化为3（x-3）2 4（y-2）2=12，
即
2
2=1. 可设x=3 2cosθ，y=2 sinθ，
所以x y= 2sinθ
，
所以≤x y≤.
变式2 若实数x，y满足x2 y2 xy=1，求x y得最大值.
分析：x2 y2 xy=1可变形为
x 2
y2=1，可设
x =cosθ，
y=sinθ，
有x=cosθ
-sinθ，
y=sinθ，
所以x y=cosθ sinθ，进而求得x y的最大值.
例4 （2014南通二模14）设实数a，b，c满足a2 b2≤c≤1，则a b c的最小值为________.
分析：本题的涉及三个变量，如何消元，减少变量，化繁为简，成为重中之重. 考虑到x2 y2≤c中涉及平方关系，想到利用三角换元.
解：因为a2 b2≤c≤1，不妨设a=rcosθ，b=rsinθ，其中0≤r≤，
所以a b c=rcosθ rsinθ c=r·sinθ
c≥c-r≥c-c=
-2-≥-.
点评：同角三角函数的恒等关系：sin2α cos2α=1，体现了两个变量间的一个定值关系，在解题中若能巧借此桥梁，巧妙替换，将起到化繁为简，化难为易的效果，真可谓柳暗花明又一村！但在解题过程中要注意中间元的取值范围.
[?] 借用公式巧换元
例5 （2013徐州模考14）已知a，b，c是正实数，且abc a c=b，设p=- ，则p的最大值为________.
分析：由已知条件abc a c=b，通过变形有b=，结合两角和的正切公式tan（α β）=，可对a，b，c进行三角换元.
解：设a=tanα ，b=tanβ， c=tanγ，其中α，β，γ∈0
，，则
p=-
=2cos2α-2cos2β 3cos2γ
=cos2α-cos2β 3cos2γ
=cos[（α β）-（β-α）]-cos[（α β） （β-α）] 3cos2γ
=2sin（α β）sin（β-α） 3cos2γ.
因为abc a c=b，
所以b=，即tanβ==tan（α γ）.
因为α，β，γ∈0
， ，
所以β=α γ，
所以p=2sin（α β）sin（β-α） 3cos2γ
=2sin（α β）sinγ 3cos2γ
≤2sinγ 3cos2γ
=2sinγ 3（1-sin2γ）
=-3sinγ
-2 ≤.
当α β=，sinγ=时取“=”.
所以p的最大值为.
换元法的目的旨在化繁为简，化难为易，若在解题中掌握规律，巧妙运用，将会化腐朽为神奇，不仅有助于学习成绩的提高，更有助于学习兴趣的培养.
关键词：换元；定义；三角恒等关系；公式
在解题时为了将复杂问题简单化，将非标准问题标准化，常需将一个式子看成一个整体，用另一变量去替换，这就是换元法. 三角换元是一种常用的换元方法，在解决某些数学问题时，若能巧用三角换元，将变难为易，化繁为简.
[?] 借用定义巧换元
例1 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为60°，如图1所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动，若=x y，其中x，y∈R，求x-y的最大值.
图1
分析：C在弧AB上运动时，C到O的距离始终不变，C的位置随着∠COA的变化而变化，借助三角函数的定义，可将C点坐标用∠COA的三角函数来表示.
解：以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A（1，0），B
，. 设∠AOC=θ， 有C（cosθ，sinθ），其中θ∈0
，.
因为=x y，所以x=cosθ-sinθ ，y=sinθ，所以x-y=cosθ-sinθ=2cosθ
，
所以，当θ=0时，x-y取得最大值1.
变式：如图2：在半径为1的扇形OAB中，∠AOB=60°，C为弧AB上且与A，B不重合的一个动点，=x y，若u=x λy（λ>0）存在最大值，则λ的取值范围为________.
图2
解：以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B（1，0），A
，，
设∠BOC=θ，有C（cosθ，sinθ），其中θ∈0
， 则，=（cosθ，sinθ），
所以=x y=
x y
，x
所以
x y=cosθ，
x=sinθ，
即
x=sinθ，
y=cosθ
-sinθ，
所以有μ=x λy=sinθ λcosθ
-sinθ =（2-λ）sinθ λcosθ =sin（θ φ），其中tanφ=.
因为 0<θ<，所以φ<θ φ< φ.
要使得μ存在最大值，则φ<< φ，所以<φ<，
所以tanφ>，即>，所以<λ<2.
点评：三角函数的定义体现了角α终边上任一点P（x，y）与角α的关系：cosα=，sinα=，（其中r2=x2 y2）. 在r确定或不变的条件下，借助于公式的变形式：x=rcosα ，y=rsinα可起到降元的目的.
[?] 借用恒等关系巧换元
三角恒等关系式sin2θ cos2θ=1，更好地体现了同角三角函数间的一个定值关系，若能在解题中借助于平方和为定值这一恒等关系，可以巧妙地进行换元，将化不规则为规则，化非常规题为常规题，对学生解题能力的提高将有很大的帮助.
例2 若x2 y2=1，求x y得最大值.
分析：由x2 y2=1，对比三角恒等式sin2θ cos2θ=1，联想到三角换元，水到渠成.
解：设x=cosθ，y=sinθ，
则x y=sinθ cosθ=sinθ
，
所以，当θ=2kπ （k∈Z）时，x y取得最大值.
变式1 若实数x，y满足x2 y2-2x-2y 1=0，求x2 y2的取值范围.
解：x2 y2-2x-2y 1=0可变形为（x-1）2 （y-1）2=1，设x=1 cosθ，
y=1 sinθ，
所以x2 y2=（1 cosθ）2 （1 sinθ）2
=3 2cosθ 2sinθ
=3 2sinθ
.
因为-1≤sinθ
≤1，
所以 3-2≤x2 y2≤3 2.
变式2 已知点P（x，y）是圆x2 y2-2x-2y 1=0上的动点. 且x y a≥0恒成立，求实数a的取值范围.
分析：要使x y a≥0恒成立，则a≥ -（x y）恒成立，a大于等于-（x y）的最大值，由变题1，可得x y=2 cosθ sinθ=2 sinθ
最小值为2-，所以 a≥2-.
变式3 已知函数f（x）=x2 2x-1，若a
因为a
所以ab a b=（-1 2cosθ）（-1 2sinθ） （-1 2cosθ） （-1 2sinθ）=-1 2sin2θ.
因为θ∈π
，，所以0
2 y2=1，对照三角恒等式可设x=cosθ，y=sinθ，
s=cosθ-sinθ=2sin
-θ. 设P（cosθ，sinθ），因为-1≤sin
-θ≤1，所以-2≤s≤2.
变式1 若实数x，y满足3x2 4y2-18x-16y 31=0，求x y的取值范围.
分析：3x2 4y2-18x-16y 31=0可转化为3（x-3）2 4（y-2）2=12，
即
2
2=1. 可设x=3 2cosθ，y=2 sinθ，
所以x y= 2sinθ
，
所以≤x y≤.
变式2 若实数x，y满足x2 y2 xy=1，求x y得最大值.
分析：x2 y2 xy=1可变形为
x 2
y2=1，可设
x =cosθ，
y=sinθ，
有x=cosθ
-sinθ，
y=sinθ，
所以x y=cosθ sinθ，进而求得x y的最大值.
例4 （2014南通二模14）设实数a，b，c满足a2 b2≤c≤1，则a b c的最小值为________.
分析：本题的涉及三个变量，如何消元，减少变量，化繁为简，成为重中之重. 考虑到x2 y2≤c中涉及平方关系，想到利用三角换元.
解：因为a2 b2≤c≤1，不妨设a=rcosθ，b=rsinθ，其中0≤r≤，
所以a b c=rcosθ rsinθ c=r·sinθ
c≥c-r≥c-c=
-2-≥-.
点评：同角三角函数的恒等关系：sin2α cos2α=1，体现了两个变量间的一个定值关系，在解题中若能巧借此桥梁，巧妙替换，将起到化繁为简，化难为易的效果，真可谓柳暗花明又一村！但在解题过程中要注意中间元的取值范围.
[?] 借用公式巧换元
例5 （2013徐州模考14）已知a，b，c是正实数，且abc a c=b，设p=- ，则p的最大值为________.
分析：由已知条件abc a c=b，通过变形有b=，结合两角和的正切公式tan（α β）=，可对a，b，c进行三角换元.
解：设a=tanα ，b=tanβ， c=tanγ，其中α，β，γ∈0
，，则
p=-
=2cos2α-2cos2β 3cos2γ
=cos2α-cos2β 3cos2γ
=cos[（α β）-（β-α）]-cos[（α β） （β-α）] 3cos2γ
=2sin（α β）sin（β-α） 3cos2γ.
因为abc a c=b，
所以b=，即tanβ==tan（α γ）.
因为α，β，γ∈0
， ，
所以β=α γ，
所以p=2sin（α β）sin（β-α） 3cos2γ
=2sin（α β）sinγ 3cos2γ
≤2sinγ 3cos2γ
=2sinγ 3（1-sin2γ）
=-3sinγ
-2 ≤.
当α β=，sinγ=时取“=”.
所以p的最大值为.
换元法的目的旨在化繁为简，化难为易，若在解题中掌握规律，巧妙运用，将会化腐朽为神奇，不仅有助于学习成绩的提高，更有助于学习兴趣的培养.