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摘 要：初中生数学思维广阔性的培养，要设置开放的问题情境，让学生从不同角度去探究，形成多样结论;要重视归纳概括，从局部到整体，从特殊到一般，总结方法;要多元联系，在不同知识领域中探究，形成各自解法;在开放、概括和关联中创新方法，发展思维的广阔性。
关键词：数学思维;思维广阔性;开放探究;一般概括;多元联系
数学思维的广阔性，要求人们在思维过程中，充分运用积累的知识和经验，举一反三，触类旁通，进行有效的思维。在思维过程中，教师要引导学生从基本概念、基本原理出发，对数学对象及数学对象之间的关系开展多角度、多层次的探究活动，通过归纳、类比、演绎等各种思维方式发现概念的多元联系，深化对数学问题的认识，在探寻问题的不同解决方法中拓宽思路，将思维引向广阔。
一、在开放探究中发展思维的广阔性
初中数学题目大多数是定向问题，学生根据问题展开定向分析，思维局限在狭小的空间内。要打破这种局面，就要适当进行开放探究，鼓励不同的学生呈现不同的思维，在交流中展开思维的碰撞，取长补短，让思维从狭窄到广阔。
例如，将人教版《义务教育教科书·数学》九年级上册习题中的问题去掉，只呈现条件。如图1，AB是[⊙O]的直径，C为[⊙O]上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为点D。在中考第一轮复习时，以问题串的形式呈现给学生。
问题1：根据题目条件，添加一条辅助线，你可以得到什么结论？
问题2：根据题目条件，添加两条辅助线，你可以得到什么结论？
问题3：若DE = 2，DC = 4，求圆的半径。
问题4：除了可以求出圆的半径，你还能求出其他线段的长度吗？或者求出哪些角度的三角函数值？尝试算一算。
问题5：若[sin∠BAC=35]，你能求出[tan∠BDC]的值吗？
问题6：为什么可以进行如此多的线段转化，题目条件给了我们什么帮助？根据对这道题的探究，你能总结出解决这类问题的基本结论吗？
此处采用开放问答式教学，教师提问，引导学生思考，有些问题没有固定答案，有些问题没有方向。学生根据已有的知识和经验得出不同结论，从全等到相似，再到三角函数，实现了多角度、多层次的拓展，由点到线，由线到面，形成图形的全局。
二、在一般概括中发展思维的广阔性
思维是人脑对客观事物的间接的、概括的反映。概括是思维的特性，教师要充分运用积累的知识和经验，举一反三，触类旁通，进行一般结论的概括，实现有效思维。
例如，无刻度直尺作图中对正六边形的探究。如图2，已知正六边形ABCDEF，试仅用无刻度的直尺按要求画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题，并简要说明画法及原理。
问题1：画出正六边形ABCDEF的中心O。
问题2：画出正六边形任意一边的中点。
问题3：图2中M为AB上一点，以点B为端点在正六边形的边上画线段BN = BM。
问题4：将问题3中的方法运用到以点C为端点在正六邊形的边上画线段CG = BM。
问题5：将问题3中的方法运用到其他顶点上。
问题6：将问题3中的方法运用到在六条边的延长线上，取线段与BM相等。
此处将问题延伸，将方法延续，将一个点的对称方法类比到六个点的作法，将边上的作法迁移到线段的延长线上，从特例开始，循序渐进，最后归纳了一般化的结论，一般化的结论又可以推广到n边形的研究，学生的思路打开，思维引向广阔。
三、在多元联系中发展思维的广阔性
对问题的探究要善于多方探索，这样不仅能研究问题本身，联系相关的其他问题，还能跨领域关联，在多元联系中探究不同的解法，发展思维的广阔性。
例如，无刻度直尺作图中对作垂直的探究。如图3，在正方形网格中，线段AB交网格线于点F，过点F作FG⊥AB。
方法1：以AB为边，在AB上方作正方形ABCD，取CD边上F的对应点G，连接FG即可。
方法2：将AB边下移三个单位长度，再左移2个单位长度，找到F的对应点G，连接FG即可。
方法4：将点F下移1.5个单位长度，再左移1个单位长度，得到点G，连接FG即可。
此处由此及彼，横向关联，不断转化，从几何、平移、解析、相似四个不同角度进行了探究，从一般到特殊，数形结合，呈现了不同领域不同的精彩解法，让学生对作垂直的方法有了全面的认识，让思维从单一走向多元。
从以上各例可以看出，教师在解题与讲题时，要摆脱只为解题而解题的束缚，要以题为载体发展学生思维，着眼思维的广阔性。通过设置开放的情境与问题，让不同的学生有不同层次的思考;通过一题多变进行广泛研究;通过一法多用，展开推广，在用中升华;从特殊到一般，展开关联，多元联系，积极鼓励学生勤于思考，敢于求异，全面促进学生思维广阔性的发展。
参考文献：
[1]曹才翰，章建跃. 中学数学教学概论[M]. 北京：北京师范大学出版社，2008.
关键词：数学思维;思维广阔性;开放探究;一般概括;多元联系
数学思维的广阔性，要求人们在思维过程中，充分运用积累的知识和经验，举一反三，触类旁通，进行有效的思维。在思维过程中，教师要引导学生从基本概念、基本原理出发，对数学对象及数学对象之间的关系开展多角度、多层次的探究活动，通过归纳、类比、演绎等各种思维方式发现概念的多元联系，深化对数学问题的认识，在探寻问题的不同解决方法中拓宽思路，将思维引向广阔。
一、在开放探究中发展思维的广阔性
初中数学题目大多数是定向问题，学生根据问题展开定向分析，思维局限在狭小的空间内。要打破这种局面，就要适当进行开放探究，鼓励不同的学生呈现不同的思维，在交流中展开思维的碰撞，取长补短，让思维从狭窄到广阔。
例如，将人教版《义务教育教科书·数学》九年级上册习题中的问题去掉，只呈现条件。如图1，AB是[⊙O]的直径，C为[⊙O]上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为点D。在中考第一轮复习时，以问题串的形式呈现给学生。
问题1：根据题目条件，添加一条辅助线，你可以得到什么结论？
问题2：根据题目条件，添加两条辅助线，你可以得到什么结论？
问题3：若DE = 2，DC = 4，求圆的半径。
问题4：除了可以求出圆的半径，你还能求出其他线段的长度吗？或者求出哪些角度的三角函数值？尝试算一算。
问题5：若[sin∠BAC=35]，你能求出[tan∠BDC]的值吗？
问题6：为什么可以进行如此多的线段转化，题目条件给了我们什么帮助？根据对这道题的探究，你能总结出解决这类问题的基本结论吗？
此处采用开放问答式教学，教师提问，引导学生思考，有些问题没有固定答案，有些问题没有方向。学生根据已有的知识和经验得出不同结论，从全等到相似，再到三角函数，实现了多角度、多层次的拓展，由点到线，由线到面，形成图形的全局。
二、在一般概括中发展思维的广阔性
思维是人脑对客观事物的间接的、概括的反映。概括是思维的特性，教师要充分运用积累的知识和经验，举一反三，触类旁通，进行一般结论的概括，实现有效思维。
例如，无刻度直尺作图中对正六边形的探究。如图2，已知正六边形ABCDEF，试仅用无刻度的直尺按要求画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题，并简要说明画法及原理。
问题1：画出正六边形ABCDEF的中心O。
问题2：画出正六边形任意一边的中点。
问题3：图2中M为AB上一点，以点B为端点在正六边形的边上画线段BN = BM。
问题4：将问题3中的方法运用到以点C为端点在正六邊形的边上画线段CG = BM。
问题5：将问题3中的方法运用到其他顶点上。
问题6：将问题3中的方法运用到在六条边的延长线上，取线段与BM相等。
此处将问题延伸，将方法延续，将一个点的对称方法类比到六个点的作法，将边上的作法迁移到线段的延长线上，从特例开始，循序渐进，最后归纳了一般化的结论，一般化的结论又可以推广到n边形的研究，学生的思路打开，思维引向广阔。
三、在多元联系中发展思维的广阔性
对问题的探究要善于多方探索，这样不仅能研究问题本身，联系相关的其他问题，还能跨领域关联，在多元联系中探究不同的解法，发展思维的广阔性。
例如，无刻度直尺作图中对作垂直的探究。如图3，在正方形网格中，线段AB交网格线于点F，过点F作FG⊥AB。
方法1：以AB为边，在AB上方作正方形ABCD，取CD边上F的对应点G，连接FG即可。
方法2：将AB边下移三个单位长度，再左移2个单位长度，找到F的对应点G，连接FG即可。
方法4：将点F下移1.5个单位长度，再左移1个单位长度，得到点G，连接FG即可。
此处由此及彼，横向关联，不断转化，从几何、平移、解析、相似四个不同角度进行了探究，从一般到特殊，数形结合，呈现了不同领域不同的精彩解法，让学生对作垂直的方法有了全面的认识，让思维从单一走向多元。
从以上各例可以看出，教师在解题与讲题时，要摆脱只为解题而解题的束缚，要以题为载体发展学生思维，着眼思维的广阔性。通过设置开放的情境与问题，让不同的学生有不同层次的思考;通过一题多变进行广泛研究;通过一法多用，展开推广，在用中升华;从特殊到一般，展开关联，多元联系，积极鼓励学生勤于思考，敢于求异，全面促进学生思维广阔性的发展。
参考文献：
[1]曹才翰，章建跃. 中学数学教学概论[M]. 北京：北京师范大学出版社，2008.