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摘 要：本文以1978年～2013年36个年度的江西省GDP为研究对象，主要借助于SAS等统计软件，通过对原始数据的预处理，模型的识别、检验和优化，从而最终确定了ARIMA（3，1，0）模型，利用该模型对江西省的GDP进行短期的误差相对较小的预测和分析。
关键词：时间序列；ARIMA；GDP；预测
引言
GDP是衡量一个国家综合国力的重要指标，具有相当重要的研究价值和经济意义。本文基于数学建模的思想，用时间序列的分析方法，并借助统计软件SAS对江西省近35年的GDP数据进行了实证分析与预测，对江西省经济的研究，规律的探寻和方案的制定起到了一定的借鉴意义和现实价值。
1.时间序列分析法中的ARIMA模型
1.1ARIMA模型的简介
求和自回归移动平均模型，简记ARIMA模型（p，d，q），其结构如下：
φ（B）dxt=Θ（B）εtE（εT）=0，Var（εt）=σ2ε，E（εtεs）=0，s≠tEεSεt=0，s ARIMA模型的实质是差分运算与ARMA模型的组合，这说明任何非平稳序列如果能通过适当的阶数的差分实现差分后平稳，就可以对差分后的序列进行ARMA模型的拟合。
2.江西省GDP数据的实证分析
数据来源于《江西省统计年鉴》，本文主要采集了1978年～2013年江西省的生产总值（按当年价格计算的GDP），共36个数据，单位是百万元，根据该时间序列进行建模预测，全程计算过程主要借助于软件SAS9.1。
2.1数据的平稳性检验
2.1.1时序图与差分运算
首先借助SAS软件做出原始数据的时序图，时序图是一条相对规则的上升曲线，由此可以大致得出该组序列并非平稳序列，我们可以初步判定数据的非平稳性。对原始数据取对数（将取对数后的序列记为LGDP），通过取对数可消除数据的异方差性，取对数后仍然无法满足数据的平稳，需进一步对数据做差分来消除非平稳性。一阶差分时序图显示出序列的平稳性，可以初步定性地判断对数序列经过一阶差分后转换成为一个平稳序列，将该序列记为DLGDP。
2.1.2对序列做单位根的检验
单位根的检验方法有多种，本例中采用ADF检验方法，结果如表1：
表1 江西省GDP数值的平稳性检验
ADF统计量显著性水平检验临界值t统计量P值平稳性
LGDP
1%-4262734896
5%-3552972849
10%-3209642375-338003438200715非平稳
D（LGDP）
1%-3412614288
5%-3646342448
10%-2954021498-341261428800176平稳
检验结果显示，LGDP序列单位根检验后t统计量的值为-33800，大于1%和5%显著性水平下的检验临界值，且P值为00715，大于005的显著性水平，应接受存在单位根的原假设，即对数序列LGDP非平稳。一阶差分对数序列DLGDP的参数估计量的t统计量值小于5%和10%显著性水平下的临界值，P值小于005，所以一阶差分后的序列不存在单位根，即序列平稳。
2.2对平稳的一阶差分序列进行白噪声检验
在检验的显著水平005的条件下，延迟6阶和12阶的卡方检验统计量的P值分别为00107，00474，均小于005，所以该差分序列可以看做非白噪声序列，仍具有提取相关信息的价值，进而可以进行模型的拟合。
2.3拟合ARIMA（p，d，q）模型
模型中的d是指序列经过差分变换后变为平稳单整序列的阶数，通过单位根的检验可以确定，前文已对DLGDP做出了相关检验，确定其为平稳非白噪声序列，通过了一阶差分序列的单位根检验，确定d=1。根据DLGDP序列的自相关图呈现拖尾，偏自相关图呈现结尾的情况，可以确定模型定价为AR（P）模型，自相关图显示，在延迟3阶之后相关系数都在2倍标准差之内，可以初步确定p=3，偏自相关系数的结尾性确定q=0。另外，还可以根据SAS软件输出的信息，依据衡量统计模型拟合优良性标准的AIC准则，p=1时，AIC的绝对值最小是在p=3的时候，即可确定p=3，最终确定ARIMA（3，1，0）模型，也即AR（3）模型。实际上，可以用AR（3）模型拟合一阶差分后的对数序列，用ARIMA（3，1，0）模型对原始序列进行拟合。
2.4参数估计与模型的检验
模型的检验主要通过残差的白噪声检验来验证，如果模型通过了白噪声檢验，说明模型拟合的较为成功，否则，需要对模型重新进行拟合和识别。
检验结果是拟合统计量的P值都显著大于显著性水平005，可以认为该残差序列为白噪声序列，已没有可以提取的信息，且待估参数均是显著的，说明ARIMA（3，1，0）模型，即AR（3）模型拟合的较成功。
2.5ARIMA（3，1，0）模型对江西省GDP的预测
ARIMA模型的预测结果如表2，该模型预测出2014年～2017年的GDP，从预测值来看，江西省的GDP有不断增长的趋势，说明江西的经济发展势头比较好，经济的增长应该会带动GDP的增长。
表2 GDP预测值
年份预测GDP值95%的置信区间下限95%的置信区间上限
2014146899947132747718161052177
2015152206263131696731172715794
2016156037553129404413182670693
2017158839964126339307191340620
3.结语
本文主要通过对江西省GDP时间序列模型的拟合，过程包括平稳性的判别、白噪声的判别、参数估计及模型的检验，并利用拟合的模型对GDP的未来发展趋向做出预测，当然拟合的模型不可能做到百分之百精确，拟合的数据不能与真实的数据完全吻合，也就不能完全反应现实，但是模型相对精准并且预测的结果在一定意义上还是能提供一些有用的信息，不过数据的补充，模型的修正会不断完善拟合的模型，使之预测更加准确。ARIMA模型既考虑了现象在时间序列上的依存性，又考虑了它的随机波动性，因此在短期预测上，它的优势就可以体现出来。因此，本文对GDP做短期预测选择ARIMA模型是最佳的，它从从定量的角度反应出经济的某些问题，对将来的预测和解决方案的提出，风险的降低以及相应损失的减少等都提供了借鉴的意义。（作者单位：华东交通大学）
参考文献：
[1] Dong Zhen-guo.Study on the Time-series Modeling of Chinas per Capita GDP[J].Contemporary Manager（The Last Ten-Day of a Month），2006，（11）：15.
[2] 中华人民共和国国家统计局.中国统计年鉴（中文光盘版）[M].北京：中国统计出版社，2012.
[3] 赵盈.我国GDP时间序列模型的建立与实证分析[J].西安财经学院学报，2006.
[4] 漆莉莉.国内生产总值预测模型与经济分析[J].当代财经，2005（10）.
关键词：时间序列；ARIMA；GDP；预测
引言
GDP是衡量一个国家综合国力的重要指标，具有相当重要的研究价值和经济意义。本文基于数学建模的思想，用时间序列的分析方法，并借助统计软件SAS对江西省近35年的GDP数据进行了实证分析与预测，对江西省经济的研究，规律的探寻和方案的制定起到了一定的借鉴意义和现实价值。
1.时间序列分析法中的ARIMA模型
1.1ARIMA模型的简介
求和自回归移动平均模型，简记ARIMA模型（p，d，q），其结构如下：
φ（B）dxt=Θ（B）εtE（εT）=0，Var（εt）=σ2ε，E（εtεs）=0，s≠tEεSεt=0，s
2.江西省GDP数据的实证分析
数据来源于《江西省统计年鉴》，本文主要采集了1978年～2013年江西省的生产总值（按当年价格计算的GDP），共36个数据，单位是百万元，根据该时间序列进行建模预测，全程计算过程主要借助于软件SAS9.1。
2.1数据的平稳性检验
2.1.1时序图与差分运算
首先借助SAS软件做出原始数据的时序图，时序图是一条相对规则的上升曲线，由此可以大致得出该组序列并非平稳序列，我们可以初步判定数据的非平稳性。对原始数据取对数（将取对数后的序列记为LGDP），通过取对数可消除数据的异方差性，取对数后仍然无法满足数据的平稳，需进一步对数据做差分来消除非平稳性。一阶差分时序图显示出序列的平稳性，可以初步定性地判断对数序列经过一阶差分后转换成为一个平稳序列，将该序列记为DLGDP。
2.1.2对序列做单位根的检验
单位根的检验方法有多种，本例中采用ADF检验方法，结果如表1：
表1 江西省GDP数值的平稳性检验
ADF统计量显著性水平检验临界值t统计量P值平稳性
LGDP
1%-4262734896
5%-3552972849
10%-3209642375-338003438200715非平稳
D（LGDP）
1%-3412614288
5%-3646342448
10%-2954021498-341261428800176平稳
检验结果显示，LGDP序列单位根检验后t统计量的值为-33800，大于1%和5%显著性水平下的检验临界值，且P值为00715，大于005的显著性水平，应接受存在单位根的原假设，即对数序列LGDP非平稳。一阶差分对数序列DLGDP的参数估计量的t统计量值小于5%和10%显著性水平下的临界值，P值小于005，所以一阶差分后的序列不存在单位根，即序列平稳。
2.2对平稳的一阶差分序列进行白噪声检验
在检验的显著水平005的条件下，延迟6阶和12阶的卡方检验统计量的P值分别为00107，00474，均小于005，所以该差分序列可以看做非白噪声序列，仍具有提取相关信息的价值，进而可以进行模型的拟合。
2.3拟合ARIMA（p，d，q）模型
模型中的d是指序列经过差分变换后变为平稳单整序列的阶数，通过单位根的检验可以确定，前文已对DLGDP做出了相关检验，确定其为平稳非白噪声序列，通过了一阶差分序列的单位根检验，确定d=1。根据DLGDP序列的自相关图呈现拖尾，偏自相关图呈现结尾的情况，可以确定模型定价为AR（P）模型，自相关图显示，在延迟3阶之后相关系数都在2倍标准差之内，可以初步确定p=3，偏自相关系数的结尾性确定q=0。另外，还可以根据SAS软件输出的信息，依据衡量统计模型拟合优良性标准的AIC准则，p=1时，AIC的绝对值最小是在p=3的时候，即可确定p=3，最终确定ARIMA（3，1，0）模型，也即AR（3）模型。实际上，可以用AR（3）模型拟合一阶差分后的对数序列，用ARIMA（3，1，0）模型对原始序列进行拟合。
2.4参数估计与模型的检验
模型的检验主要通过残差的白噪声检验来验证，如果模型通过了白噪声檢验，说明模型拟合的较为成功，否则，需要对模型重新进行拟合和识别。
检验结果是拟合统计量的P值都显著大于显著性水平005，可以认为该残差序列为白噪声序列，已没有可以提取的信息，且待估参数均是显著的，说明ARIMA（3，1，0）模型，即AR（3）模型拟合的较成功。
2.5ARIMA（3，1，0）模型对江西省GDP的预测
ARIMA模型的预测结果如表2，该模型预测出2014年～2017年的GDP，从预测值来看，江西省的GDP有不断增长的趋势，说明江西的经济发展势头比较好，经济的增长应该会带动GDP的增长。
表2 GDP预测值
年份预测GDP值95%的置信区间下限95%的置信区间上限
2014146899947132747718161052177
2015152206263131696731172715794
2016156037553129404413182670693
2017158839964126339307191340620
3.结语
本文主要通过对江西省GDP时间序列模型的拟合，过程包括平稳性的判别、白噪声的判别、参数估计及模型的检验，并利用拟合的模型对GDP的未来发展趋向做出预测，当然拟合的模型不可能做到百分之百精确，拟合的数据不能与真实的数据完全吻合，也就不能完全反应现实，但是模型相对精准并且预测的结果在一定意义上还是能提供一些有用的信息，不过数据的补充，模型的修正会不断完善拟合的模型，使之预测更加准确。ARIMA模型既考虑了现象在时间序列上的依存性，又考虑了它的随机波动性，因此在短期预测上，它的优势就可以体现出来。因此，本文对GDP做短期预测选择ARIMA模型是最佳的，它从从定量的角度反应出经济的某些问题，对将来的预测和解决方案的提出，风险的降低以及相应损失的减少等都提供了借鉴的意义。（作者单位：华东交通大学）
参考文献：
[1] Dong Zhen-guo.Study on the Time-series Modeling of Chinas per Capita GDP[J].Contemporary Manager（The Last Ten-Day of a Month），2006，（11）：15.
[2] 中华人民共和国国家统计局.中国统计年鉴（中文光盘版）[M].北京：中国统计出版社，2012.
[3] 赵盈.我国GDP时间序列模型的建立与实证分析[J].西安财经学院学报，2006.
[4] 漆莉莉.国内生产总值预测模型与经济分析[J].当代财经，2005（10）.