函数是高中数学的核心内容之一，单调性是函数的一个极其重要的性质，下面拟结合一道高考试题对单调性问题做一浅析。
　　题目：已知函数
　　（1）讨论函数的单调区间
　　（2）设函数在区间内是减函数，求的取值范围。
　　解：（1）
　　当时，得所以在上单调递增。
　　当时，设的两根为则
　　
　　由或,由得
　　所以的单调增区间是；递减区间是。
　　下面针对（2）给出几种常用的解决方法
　　
　　方法一.子区间法
　　因为函数在区间内是减函数，由（1）得知
　　且
　　又解得。所以的取值范围是
　　（注：上述（2）解答计算过于繁琐，当不等式好解时不失为一种较好的选择，也是常用的一种方法）
　　
　　方法二.分离参数法
　　因为函数在区间内是减函数，
　　所以在上恒成立。
　　故有
　　令。则。
　　由的图象与单调性得
　　所以所以的取值范围是
　　（注：分离参数法是解决恒成立问题最常用的方法之一）
　　
　　方法三.最值法
　　因为函数在区间内是减函数，
　　所以在上恒成立。
　　即在上恒成立。
　　即：或或
　　解得。所以的取值范围是
　　（注：最值法是解决恒成立问题最常用的方法之一）
　　
　　方法四.图象法
　　因为函数在区间内是减函数，
　　所以在上恒成立。由的图象得
　　解得。所以的取值范围是
　　
　　（注：利用函数的图象有时也是一种非常不错的选择）
　　
　　用放缩法证明与数列和有关的不等式
　　杨重庆甘肃省靖远县第二中学
　　数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力。下面介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常要用到放缩法，而求解途径一般有两条，一是先求和再放缩，二是先放缩再求和。
　　一、先求和再放缩
　　例1.（2005.湖南）已知数列为等差数列，且
　　（1)求数列的通项公式
　　（2）证明:
　　解：（1）设数列的公差为
　　由得，即
　　所以即
　　（2）证明：
　　=
　　二．先放缩再求和
　　1.放缩后成等差数列，再求和
　　例2.（2009.重庆改编）已知，，
　　（1）求的值
　　（2）设为数列{}的前n项和，求证：
　　解：（1）
　　
　　（2）证明：由，得，即
　　所以当时，，于是
　　所以
　　2.放缩后成等比数列，再求和
　　例3.（2009.四川改编）设数列的前n项和为，对任意的正整数，都有成立，记
　　（1）求数列{}与数列的通项公式
　　（2）记，设数列的前n项和为，求证：对任意正整数，都有
　　解：（1）当时，，
　　又，即
　　数列{}成等比数列，且首项公比。
　　3.放缩后裂项相消，再求和
　　例4.已知，数列满足
　　（1）求数列的通项公式
　　（2）求证：数列的前n项和
　　解：（1）
　　即是首项为，公差为1的等差数列。
　　即
　　（2）证明：由（1）知，
　　虽然证明与数列和有关的不等式问题是高中数学比较困难的问题，但是我们通过仔细分析它的条件与要证明的结论之间的内在关系，先确定能不能直接求和。若不能直接求和，则要考虑把通项朝什么方向进行放缩。如果我们平时能多观察要证明的结论与数列求和之间的关系，则仍然容易找到解决这类问题的突破口。
　　
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文