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摘 要：数学概念是对现实形象的抽象概括。学好基本概念能为学生后续理解掌握各种理论技能奠定根基，加强培养他们在实际问题中量化建模的能力，为未来就业打下坚实的基础。文章以公开课“微分方程的基本概念”为例，从备课预习、课题导入、主题教学、小结辅导四个方面试论高数概念课的教学。
关键词：高等数学；技工院校；微分方程；概念教学
中图分类号：G642 文献标识码：A 收稿日期：2017-10-11
作者简介：洪丽颖（1982—），女，数学组教研组长，讲师，硕士，研究方向：数学与应用数学、概率统计、时间序列分析。
一、做好备课预习的充分准备
（1）立足实际备课教学。教材章节编排遵循由浅入深、层层递进的特点，重点、难点一般居于中部、后部的章节。以微分方程一章为例，第1节讲述“微分方程的一般概念”；后续第2～5節介绍“可分离变量微分方程”“一阶线性微分方程”和“二阶常系数线性微分方程”等几类典型的微分方程解法；第6节介绍“微分方程数学建模应用”。全章只有第1节介绍微分方程的概念，承上——一元函数微积分知识，启下——多元函数内容，统领前后知识，是基础中的基础。因此，教师备课时应结合内容做出适当改编和设计。比如，第1节教材编排顺序是先给出微分方程定义、阶、n阶形式、解、通解、初始条件、特解、图像等众多概念后再进行例题解析。教师可以设计提前讲述两个案例，引导学生参与相关概念的概括，同时培养他们微分方程建模能力。
（2）科学指导课前预习。教学相长，只有教师做好备课远远不够，为了更有效地实施教学、促进学生融入课堂，课前教师应指导班级分组进行预习。以微分方程为例，预习指导分为三部分：一是针对性地复习旧知，知道本章节的知识生长点是微分与不定积分；二是教师设置如“微分方程与一元二次方程的区别”“微分方程的阶是什么”“如何判断方程通解”“如何求特解”等问题让学生思考；三是各组完成分配的学习任务，如“搜集并了解微分方程的起源发展史”“尝试写出n阶微分方程及初值问题的形式”“写出例题中各式蕴含的概念”。
二、采用温故知新的课题导入
传统的概念课一般会在授课伊始就平铺直叙抽象概念，之后辅以练习强化。如此单纯直白的概念罗列，只会让学生在前半节课里就失去兴趣，而后迫于考试的压力机械地应付学习。这样的开端是我们所不愿看到的，也与最初的教学目的背道而驰。事实上，作为承前启后、开启全章的概念课在导入时更应注重针对性地温故知新、设趣激趣，激发学生求知欲。
以微分方程为例，承前复习一元函数微积分后的导入可设计三部分：①播放微课视频介绍微分方程的起源、创立意义和发展史，铺陈一个工程技术应用背景，激发求知欲，培养数学素养，进行热爱科学的人文教育。②举例一元二次方程ax2 bx c=0，其解是求一两个数值，提问设疑，在科学研究和生产实践中往往不是简单求数值，而是求解未知函数方程，如寻求自由落体、火箭飞行轨道等物体运动规律，而微分方程就是其中重要的一种；类比得出微分方程的概念内涵：其解是（若干个）未知函数、方程是含有未知函数导数或微分（若干阶）的关系式；并将“已知，y=f（x），求原函数y”这个积分问题转变为微分方程求解，培养学生联系、类比、概括的数学思维。③各组学生代表完成课前任务，当众演讲，介绍常微分方程的形成、发展与应用，简述微分方程是关于导数微分的关系式，常应用于解决诸如生长率、速度、经济增长率、气体排放等函数变化率问题，其中涉及的“三体问题、摆的运动、弹性理论”都引起了学生极大的学习兴趣，使学生在轻松愉快氛围中进入新课。
三、落实概念形成的主题教学
本节中笔者采用“实例考察—抽象概括—形成概念—类比建模—应用拓展”教学方法，还原数学本质起源。
（1）创设情境考察实例。以微分方程为例，笔者创设情境，设计实例1（几何问题）：一平面曲线通过点（1，3），且在该曲线上任一点M（x，y）处的切线的斜率为2x，求此曲线方程；实例2（物理问题）：列车在平面线路上以20m/s的速度行驶，当制动时获得加速度-0.4m/s2，求制动时间内列车行驶的路程函数。学生小组讨论，将实际问题数学量化，建立模型，归纳步骤：①读懂题意；②假设变量及未知函数；③量化已知条件，建立含未知函数的导数或微分的方程模型（含特殊值或初值条件）；④由微积分知识求出通解；⑤根据初值条件求出特定解。
（2）抽象概括形成概念。第二阶段教学实施：①学生先独立阅读教材，分组讨论是否理解概念；②各组举例，强化判断，深化理解，如y 2y′-3y=ex，（t2 s）dt sds=0分别为含二阶导数与含一阶微分的方程；③学生指出实例中式子所对应的概念，淡化特殊性，抽象概括出微分方程的确切定义，得出概念列表（见下表），一目了然；④学生完成典型练习，教师指导、概括题型。如验证y=C1x C2ex是微分方程（1-x）y xy-y=0的通解，并求出满足初始条件yx=0=-1及y x=0=1的特解（初等积分法）。对于抽象概念的教学还应数形结合，适当采用寓意说明，例如，解释“通解”与“特解”就是那“弱水三千，我只取一瓢饮”。
（3）类比归纳应用迁移。第三阶段教师“趁热打铁”，提问示例，引导学生类比归纳出更加深刻的结论，培养数学意识，拓展至一个新的高度。如本节中，教师设问“微分方程及其初值问题的一般形式是什么”，示范写出一阶与二阶的情况，各组学生代表上台板演归纳出n阶的形式，即将一阶微分方程的初值问题 通解y=（x，C）
推广至n阶
通解为y=f（x，C1，C2，…，Cn）。概念形成后，教师设置一道与实例首尾呼应的应用题“建立垂直上抛物体的速度模型”，让学生能使用概念、量化建模，达到真正的内化迁移。各组讨论，提交解答，即得一阶微分方程的初值问题：
。
（4）模型推广拓展学习。拓展阶段教师可设置活动实践环节，如本节中向班级分发“经典微分方程模型”材料，分组学习并介绍指数模型、人口增长、宇宙膨胀等微分方程模型，拓展学习视野。
四、重视课末小结与教学辅导
概念课末课后应做好全面小结画龙点睛、作业布置重质控量、尊重差异辅导答疑。如本节小结：①核心概念、实例建模、结论归纳、应用题型（对应知识技能目标）；②教学实施方法、数学思维方法、职业核心能力（对应过程与方法目标）；③数学素养、学习态度、动机激励（对应情感、态度与价值观目标）。作业布置涵盖基础题、提高题和探索实践题。
参考文献：
[1]滕桂兰，郭洪芝，郑光华，等. 高等数学（下册）（第二版）[M].天津：天津大学出版社，2004.
[2]李建华，余任亮.新编高等数学[M].北京：北京理工大学出版社，2009.
关键词：高等数学；技工院校；微分方程；概念教学
中图分类号：G642 文献标识码：A 收稿日期：2017-10-11
作者简介：洪丽颖（1982—），女，数学组教研组长，讲师，硕士，研究方向：数学与应用数学、概率统计、时间序列分析。
一、做好备课预习的充分准备
（1）立足实际备课教学。教材章节编排遵循由浅入深、层层递进的特点，重点、难点一般居于中部、后部的章节。以微分方程一章为例，第1节讲述“微分方程的一般概念”；后续第2～5節介绍“可分离变量微分方程”“一阶线性微分方程”和“二阶常系数线性微分方程”等几类典型的微分方程解法；第6节介绍“微分方程数学建模应用”。全章只有第1节介绍微分方程的概念，承上——一元函数微积分知识，启下——多元函数内容，统领前后知识，是基础中的基础。因此，教师备课时应结合内容做出适当改编和设计。比如，第1节教材编排顺序是先给出微分方程定义、阶、n阶形式、解、通解、初始条件、特解、图像等众多概念后再进行例题解析。教师可以设计提前讲述两个案例，引导学生参与相关概念的概括，同时培养他们微分方程建模能力。
（2）科学指导课前预习。教学相长，只有教师做好备课远远不够，为了更有效地实施教学、促进学生融入课堂，课前教师应指导班级分组进行预习。以微分方程为例，预习指导分为三部分：一是针对性地复习旧知，知道本章节的知识生长点是微分与不定积分；二是教师设置如“微分方程与一元二次方程的区别”“微分方程的阶是什么”“如何判断方程通解”“如何求特解”等问题让学生思考；三是各组完成分配的学习任务，如“搜集并了解微分方程的起源发展史”“尝试写出n阶微分方程及初值问题的形式”“写出例题中各式蕴含的概念”。
二、采用温故知新的课题导入
传统的概念课一般会在授课伊始就平铺直叙抽象概念，之后辅以练习强化。如此单纯直白的概念罗列，只会让学生在前半节课里就失去兴趣，而后迫于考试的压力机械地应付学习。这样的开端是我们所不愿看到的，也与最初的教学目的背道而驰。事实上，作为承前启后、开启全章的概念课在导入时更应注重针对性地温故知新、设趣激趣，激发学生求知欲。
以微分方程为例，承前复习一元函数微积分后的导入可设计三部分：①播放微课视频介绍微分方程的起源、创立意义和发展史，铺陈一个工程技术应用背景，激发求知欲，培养数学素养，进行热爱科学的人文教育。②举例一元二次方程ax2 bx c=0，其解是求一两个数值，提问设疑，在科学研究和生产实践中往往不是简单求数值，而是求解未知函数方程，如寻求自由落体、火箭飞行轨道等物体运动规律，而微分方程就是其中重要的一种；类比得出微分方程的概念内涵：其解是（若干个）未知函数、方程是含有未知函数导数或微分（若干阶）的关系式；并将“已知，y=f（x），求原函数y”这个积分问题转变为微分方程求解，培养学生联系、类比、概括的数学思维。③各组学生代表完成课前任务，当众演讲，介绍常微分方程的形成、发展与应用，简述微分方程是关于导数微分的关系式，常应用于解决诸如生长率、速度、经济增长率、气体排放等函数变化率问题，其中涉及的“三体问题、摆的运动、弹性理论”都引起了学生极大的学习兴趣，使学生在轻松愉快氛围中进入新课。
三、落实概念形成的主题教学
本节中笔者采用“实例考察—抽象概括—形成概念—类比建模—应用拓展”教学方法，还原数学本质起源。
（1）创设情境考察实例。以微分方程为例，笔者创设情境，设计实例1（几何问题）：一平面曲线通过点（1，3），且在该曲线上任一点M（x，y）处的切线的斜率为2x，求此曲线方程；实例2（物理问题）：列车在平面线路上以20m/s的速度行驶，当制动时获得加速度-0.4m/s2，求制动时间内列车行驶的路程函数。学生小组讨论，将实际问题数学量化，建立模型，归纳步骤：①读懂题意；②假设变量及未知函数；③量化已知条件，建立含未知函数的导数或微分的方程模型（含特殊值或初值条件）；④由微积分知识求出通解；⑤根据初值条件求出特定解。
（2）抽象概括形成概念。第二阶段教学实施：①学生先独立阅读教材，分组讨论是否理解概念；②各组举例，强化判断，深化理解，如y 2y′-3y=ex，（t2 s）dt sds=0分别为含二阶导数与含一阶微分的方程；③学生指出实例中式子所对应的概念，淡化特殊性，抽象概括出微分方程的确切定义，得出概念列表（见下表），一目了然；④学生完成典型练习，教师指导、概括题型。如验证y=C1x C2ex是微分方程（1-x）y xy-y=0的通解，并求出满足初始条件yx=0=-1及y x=0=1的特解（初等积分法）。对于抽象概念的教学还应数形结合，适当采用寓意说明，例如，解释“通解”与“特解”就是那“弱水三千，我只取一瓢饮”。
（3）类比归纳应用迁移。第三阶段教师“趁热打铁”，提问示例，引导学生类比归纳出更加深刻的结论，培养数学意识，拓展至一个新的高度。如本节中，教师设问“微分方程及其初值问题的一般形式是什么”，示范写出一阶与二阶的情况，各组学生代表上台板演归纳出n阶的形式，即将一阶微分方程的初值问题 通解y=（x，C）
推广至n阶
通解为y=f（x，C1，C2，…，Cn）。概念形成后，教师设置一道与实例首尾呼应的应用题“建立垂直上抛物体的速度模型”，让学生能使用概念、量化建模，达到真正的内化迁移。各组讨论，提交解答，即得一阶微分方程的初值问题：
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（4）模型推广拓展学习。拓展阶段教师可设置活动实践环节，如本节中向班级分发“经典微分方程模型”材料，分组学习并介绍指数模型、人口增长、宇宙膨胀等微分方程模型，拓展学习视野。
四、重视课末小结与教学辅导
概念课末课后应做好全面小结画龙点睛、作业布置重质控量、尊重差异辅导答疑。如本节小结：①核心概念、实例建模、结论归纳、应用题型（对应知识技能目标）；②教学实施方法、数学思维方法、职业核心能力（对应过程与方法目标）；③数学素养、学习态度、动机激励（对应情感、态度与价值观目标）。作业布置涵盖基础题、提高题和探索实践题。
参考文献：
[1]滕桂兰，郭洪芝，郑光华，等. 高等数学（下册）（第二版）[M].天津：天津大学出版社，2004.
[2]李建华，余任亮.新编高等数学[M].北京：北京理工大学出版社，2009.