三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一,因此,在高考复习中为学生总结解题的规律和途径,掌握技巧,优化解题效果,很有必要。在长期的教学实践中,笔者认为,为了更有效地解决三角函数式的化简求值问题,须做到“三看三凑”,即:“看角——凑同角;看三角函数名称——凑同名;看式子结构——凑公式”。下面谈几点体会,以求教于同仁。
　　一、看角——凑同角
　　三角函数式中常常有多个互异角或非特殊角,要看清角与角的关系和特殊性,化互异角为同角,化非特殊角为特殊角,以达到化简的目的。
　　例1、化简-2cos(A+B)。
　　分析:解答本题要注意对题中角间的关系进行分析,只要抓住题中2A+B=(A+B)+A这个关系后,再恰当地运用公式,问题便不难解决。
　　
　　
　　
　　
　　
　　评注:本题中三角函数均为弦函数,所以变换的问题只涉及角。一般来说,三角函数式的化简问题首先考虑角,其次是函数名,再次是代数式的结构特点。
　　例2、已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,求sin2α的值。
　　解法一:∵<β<α<,∴0<α-β<,π<α+β<;
　　∴sin(α-β)=1-cos2(α-β)=,
　　cos(α+β)=-1-sin2(α+β)=-;
　　∴sin2α=sin[(α-β)+(α+β)]
　　=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)
　　=×(-)+×(-)=-
　　解法二:∵sin(α-β)=,cos(α+β)=-;
　　∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α-β)=-
　　sin2α-sin2β=2cos(α+β)sin(α-β)=-
　　∴sin2α=(--)=-。
　　评注:上例两种不同的解法有相同的思路,就是从角与角的关系入手进行凑角。
　　例3、设f(x)=6cos2x-3sin2x。(Ⅰ)求f(x)的最大值及最小正周期;(Ⅱ)若锐角α满足f(α)=3-23,求tanα的值。
　　解:(Ⅰ)f(x)=6-3sin2x
　　=3cos2x-3sin2x+3
　　=23cos2x-sin2x)+3
　　=23cos(2x+)+3。
　　故f(x)的最大值为23+3;最小正周期T==π。
　　(Ⅱ)由f(α)=3-23得23cos(2α+)+3=3-23,故cos(2α+)=-1。
　　又由0<α<得<2α+<π+,故2α+=π,解得α=π。
　　从而tanα=tan=3。
　　评注:在三角化简、求值、证明中,表达式往往会出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中的差异,使问题获解。
　　二、看三角函数名称——凑同名
　　看到一个三角函数式中若名称多而杂时,往往需要把不同的名称化为同名才可使式子得以化简。
　　例4、已知tanα=-3,求4sin2α-3sinα·cosα的值。
　　分析:已知正切值,要求弦的值,当然得凑出正切值来。
　　解析:因为sin2α+cos2α=1,
　　所以4sin2α-3sinα·cosα
　　
　　
　　
　　
　　评注:本题通过“弦化切”将所求的三角式中的“弦函数”化为已知条件中的“切函数”,达到了统一函数名称的目的,这是一种值得重视的方法。
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　评注:本题通过“切化弦”将所求的三角式化为统一的函数名称。
　　三、看式子结构——凑公式
　　看清式子的结构特点,进行恰当的恒等变形和配凑公式是解题突破口,应熟练掌握三角公式的直接应用、逆用以及变形使用,以达到运用自如的效果。
　　例6、已知:-　　(1)求sinx-cosx的值;
　　
　　
　　分析:(1)看到sinx+cosx与sinx-cosx,如能想到二倍角的正弦公式与同角三角函数平方关系式,就会得出解题的思路。
　　(2)看到角度和名称不同,想到凑同角和同名后,自然会凑出倍角公式的变形使用,从而使问题得解。
　　解:(1)sinx+cosx==>2sinxcosx=-1=-,
　　(sinx-cosx)2=1+=;
　　又:-sinx-cosx<0,
　　∴sinx-cosx=-。
　　
　　
　　
　　=[2-(cosx+sinx)]sinxcosx
　　=×(-)=-
　　评注:本题通过看清式子的结构,恰当地运用公式及公式的变形使用,使问题得以轻松解决。
　　以上所谈,仅是本人在教学实践中的点滴体会。对三角函数式的化简求值问题的处理方法,还有很多地方值得我们在分析问题和解决问题的过程中去思考、去感悟、去反思、去总结。只要我们积极探索、善于总结,就会不断提高自己的解题能力、优化解题方法,从而收到事半功倍的效果。