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【摘 要】 本文从微分代数精度概念出发，通过引入数值微分的紧致性概念，利用线性方程组的理论，构造了具有四阶精度的四个等距节点的数值微分格式。最后，通过数值实验证实了该格式的精度。所建立的数值微分紧致格式，仅用四个点就达到了四阶精度，使得计算大大简化。
【关键词】 数值微分 精度 紧致性
引言
数值微分是数值计算中最基本的方法之一。现有的数值微分方法[1]主要有差商型数值微分、插值型数值微分、样条插值型数值微分。一些常用的数值微分公式，如两点公式、三点公式等就是在等距步长情形下用插值多项式的导数作为近似值的。此外，还可以采用待定系数法建立各阶导数的数值微分公式，并且用外推技术来提高所求近似值的精确度。当函数可微性不太好时，利用样条插值进行数值微分要比多项式插值更适宜。我们知道由于Runge现象的原因，多项式插值型微分不能保证其收敛性，而样条插值型数值微分虽然具有较好的收敛性，却需要两个额外边界条件，以及事先计算样条函数，所以应用起来很烦琐。本文利用新引入的紧致微分概念，仅仅用四个点就达到了四阶精度，使得计算大大简化。
定义f（x）设是定义在区间[a，b]上的连续可微函数，并且在[a，b]上给定n个节点x1，x1，…xn，记f（x）在x0的一阶导数为D（f（x0）），则
D（f（x0））=■|x=x0（1）
同时，我们定义由节点x1，x1，…xn构造的数值微分公式：
Dn（ f ）=■ai f（xi） （2）
若Dn（ f ）满足： En（xsk）=D（xsk）-Dn（xsk）=0，k=0，1，2…m（3）
且： En（xsm+1）≠0
我们称格式Dn（ f ） 在xs点具有m阶代数精度。一般而言，总是m≤n，特别地，当m=n时，我们称xs点是Dn（ f ）的m阶紧致点[3]。特别地，对于n=4时，我们称xs为四阶紧致点。
1. 四点四阶紧致微分格式的建立
由定义我们可以构造四点四阶紧致微分格式。设四个等距节点为xi-1，xi，xi+1，xi+2等步长为h，hs=xs-xi。设紧致微分格式为：
D4（f）=ai-1f（xi-1）+aif（xi）+ai+1f（xi+1）+ai+2f（xi+2）（4）
则紧致微分格式的系数满足：
E4（xsk）=D4（xsk）-D4（xsk）=0，k=0.1.2.3.4（5）
ai-1+ai+ai+1+ai+2=0
xi-1ai-1+xiai+xi+1ai+1+xi+2ai+2=1
即 xi-12ai-1+xi2ai+xi+12ai+1+xi+22ai+2=2xs（6）
xi-13ai-1+xi3ai+xi+13ai+1+xi+23ai+2=3xs2
xi-14ai-1+xi4ai+xi+14ai+1+xi+24ai+2=4xs3
该方程组的增广矩阵为
1 1 1 1 0
xi-1 xi xi+1 xi+2 1
B～ xi-12 xi2 xi+12 xi+22 2xs （7）
xi-13 xi3 xi+13 xi+23 3xs2
xi-14 xi4 xi+14 xi+24 4xs3
由于方程组（6）未知数的个数为4，而方程的个数为5，所以方程组超定。我们将增广矩阵进行初等行变换，即
的时候，方程组（6）的增广矩阵与系数矩阵秩相等，方程（6）的解存在，而且解唯一。从（6）我们可以解出： hs
定理 形如（14）、（15）、（16）的数值微分公式，是具有四阶精度的紧致微分格式。
证明 由于我们假设D4（f）=ai-1 f（xi-1）+ai f（xi）+ai+1 f（xi+1）+ai+2 f（xi+2）满足E4（xsk）=D（xsk）-D4（xsk）=0，k=0，1，2，3，4并以此建立数值微分公式（14）、（15）、（16），但当f（x）=x5时，E4（xs5）=D（xs5）-D4（xs5）≠0因而数值微分公式（14）、（15）、（16）具有四阶精度。
又由定义知m=n=4，故xs是四阶紧致点，因而数值微分公式（14）、（15）、（16）是紧致微分格式。
2. 数值实验
设f '（x）=ex x∈[-1，1]则f '（x）=ex。为了考察数值微分精度，定义：
其中，e1，e2，e3分别表示利用数值微分紧致格式（14）、（15）、（16）计算节点的数值微分误差，数值实验的结果如表所示：
结束语
本文从微分代数精度概念出发，通过新引入的紧致性概念，利用线性方程组的理论，构造了三种具有四阶精度的四个等距节点的数值微分格式，仅仅用了四个点就达到了四阶精度，使得计算大大简化，因而对数值微分的计算具有一定的应用价值。
参考文献：
[1] 李庆扬 王能超 易大义.数值分析[M].华中科技大学出版社，2001.
[2] 关治， 陆金甫 .数值分析基础2000.
[3] 孙亮. 数学的实践与认识[J].第33卷第3期.2003
[4] 同济大学应用数学系. 线性代数[M].高等教育出版社，2004.
（作者单位：辽宁工程职业学院 基础部）
【关键词】 数值微分 精度 紧致性
引言
数值微分是数值计算中最基本的方法之一。现有的数值微分方法[1]主要有差商型数值微分、插值型数值微分、样条插值型数值微分。一些常用的数值微分公式，如两点公式、三点公式等就是在等距步长情形下用插值多项式的导数作为近似值的。此外，还可以采用待定系数法建立各阶导数的数值微分公式，并且用外推技术来提高所求近似值的精确度。当函数可微性不太好时，利用样条插值进行数值微分要比多项式插值更适宜。我们知道由于Runge现象的原因，多项式插值型微分不能保证其收敛性，而样条插值型数值微分虽然具有较好的收敛性，却需要两个额外边界条件，以及事先计算样条函数，所以应用起来很烦琐。本文利用新引入的紧致微分概念，仅仅用四个点就达到了四阶精度，使得计算大大简化。
定义f（x）设是定义在区间[a，b]上的连续可微函数，并且在[a，b]上给定n个节点x1，x1，…xn，记f（x）在x0的一阶导数为D（f（x0）），则
D（f（x0））=■|x=x0（1）
同时，我们定义由节点x1，x1，…xn构造的数值微分公式：
Dn（ f ）=■ai f（xi） （2）
若Dn（ f ）满足： En（xsk）=D（xsk）-Dn（xsk）=0，k=0，1，2…m（3）
且： En（xsm+1）≠0
我们称格式Dn（ f ） 在xs点具有m阶代数精度。一般而言，总是m≤n，特别地，当m=n时，我们称xs点是Dn（ f ）的m阶紧致点[3]。特别地，对于n=4时，我们称xs为四阶紧致点。
1. 四点四阶紧致微分格式的建立
由定义我们可以构造四点四阶紧致微分格式。设四个等距节点为xi-1，xi，xi+1，xi+2等步长为h，hs=xs-xi。设紧致微分格式为：
D4（f）=ai-1f（xi-1）+aif（xi）+ai+1f（xi+1）+ai+2f（xi+2）（4）
则紧致微分格式的系数满足：
E4（xsk）=D4（xsk）-D4（xsk）=0，k=0.1.2.3.4（5）
ai-1+ai+ai+1+ai+2=0
xi-1ai-1+xiai+xi+1ai+1+xi+2ai+2=1
即 xi-12ai-1+xi2ai+xi+12ai+1+xi+22ai+2=2xs（6）
xi-13ai-1+xi3ai+xi+13ai+1+xi+23ai+2=3xs2
xi-14ai-1+xi4ai+xi+14ai+1+xi+24ai+2=4xs3
该方程组的增广矩阵为
1 1 1 1 0
xi-1 xi xi+1 xi+2 1
B～ xi-12 xi2 xi+12 xi+22 2xs （7）
xi-13 xi3 xi+13 xi+23 3xs2
xi-14 xi4 xi+14 xi+24 4xs3
由于方程组（6）未知数的个数为4，而方程的个数为5，所以方程组超定。我们将增广矩阵进行初等行变换，即
的时候，方程组（6）的增广矩阵与系数矩阵秩相等，方程（6）的解存在，而且解唯一。从（6）我们可以解出： hs
定理 形如（14）、（15）、（16）的数值微分公式，是具有四阶精度的紧致微分格式。
证明 由于我们假设D4（f）=ai-1 f（xi-1）+ai f（xi）+ai+1 f（xi+1）+ai+2 f（xi+2）满足E4（xsk）=D（xsk）-D4（xsk）=0，k=0，1，2，3，4并以此建立数值微分公式（14）、（15）、（16），但当f（x）=x5时，E4（xs5）=D（xs5）-D4（xs5）≠0因而数值微分公式（14）、（15）、（16）具有四阶精度。
又由定义知m=n=4，故xs是四阶紧致点，因而数值微分公式（14）、（15）、（16）是紧致微分格式。
2. 数值实验
设f '（x）=ex x∈[-1，1]则f '（x）=ex。为了考察数值微分精度，定义：
其中，e1，e2，e3分别表示利用数值微分紧致格式（14）、（15）、（16）计算节点的数值微分误差，数值实验的结果如表所示：
结束语
本文从微分代数精度概念出发，通过新引入的紧致性概念，利用线性方程组的理论，构造了三种具有四阶精度的四个等距节点的数值微分格式，仅仅用了四个点就达到了四阶精度，使得计算大大简化，因而对数值微分的计算具有一定的应用价值。
参考文献：
[1] 李庆扬 王能超 易大义.数值分析[M].华中科技大学出版社，2001.
[2] 关治， 陆金甫 .数值分析基础2000.
[3] 孙亮. 数学的实践与认识[J].第33卷第3期.2003
[4] 同济大学应用数学系. 线性代数[M].高等教育出版社，2004.
（作者单位：辽宁工程职业学院 基础部）