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摘要：在解数列题的过程中，学生的错误往往看似严密，实际上却隐藏着各种知识盲点或逻辑漏洞． 如何避免学生今后再犯类似的错误？本文就数列中常见的错解进行归类剖析，并且认为，在教学及纠错过程中，教师要提供适量的补偿练习，以强化认知要点．
关键词：数列错解；补偿练习；强化要点
在解数列题的过程中，学生往往出现这样或那样的错误，一些看似严密的解题过程，究竟隐藏着怎样的知识盲点或逻辑漏洞？如何避免学生今后再犯类似的错误？本文就数列中常见的错解进行归类剖析，供同行教学时参考． 笔者认为，在教学及纠错过程中，教师要提供适量的补偿练习，以强化认知要点．
“所用公式的特点”不熟悉
例1若等差数列｛ａｎ｝和｛bｎ｝的前n项和An，Bn满足=（n∈N+），求．
典型错解 由题意设An=k（7n+1），Bn=k（4n+27），则==．
剖析与矫正 上述错解是因为对等差数列的前n项和公式理解不到位．实际上，本题中An是关于n的二次函数形式，即An=an2+bn，而不是关于n的一次函数． 正确答案为：
由题意设An=kn（7n+1），Bn=kn（4n+27），则==．
补偿练习（1）已知等比数列｛ａｎ｝的前n项和为Sn，a1=7，S3=21，求公比q．
（2）已知数列｛ａｎ｝的前n项和为Sn，Sn=a•3n-1－2，｛ａｎ｝成等比数列，求实数a．
（3）设等差数列｛ａｎ｝的前n项和为Sn，已知S=q，Sq=p（p≠q），求Sp+q的值．
评注 该组补偿练习旨在熟悉等差数列与等比数列求和公式的特点，避免由记忆或理解偏差而造成的错解或繁解．
“通项的构成规律”不清楚
例2若数列｛ａｎ｝的通项为ａｎ=1+++…+，则an+1－an=．
典型错解 an+1=1+++…++， 所以an+1－an=．
剖析与矫正 上述错解在于对数列的构成规律没有进行正确的判断． 构成通项的和式的分母为连续的正整数，从到共有2n项．
正确答案为：++…+．
补偿练习已知f（ｎ）=++…+（n∈N+），求f（n+1）－f（ｎ）．
评注 该练习旨在对和式的构成规律有进一步的认识，它也是学生探究数列的单调性和后续学习如何运用数学归纳法的基础．
“过程中n的取值范围”不重视
例3已知数列｛ａｎ｝的前n项和为Sn，a1=1，且an+1=2Sn（n∈N*），求通项an ．
典型错解 由an+1－an=2（Sn－Sn-1）=2an 得：
an+1=3an，则数列｛ａｎ｝成等比数列． 所以an=a1•qn-1=3n-1．
剖析与矫正 上述错解是由于不重视数列表达式中变量n的取值范围造成的． 如果注意到表达式Sn-1（或an-1）有意义的前提是n≥2，并且养成良好的书写习惯，就会避免类似的错误． 正确答案为：
由an+1－an=2（Sn－Sn-1）=2an（n≥2）得
an+1=3an（n≥2）． 所以数列a2，a3，…，an成等比数列，且a2=2．
所以an=a2•qn-2=2•3n-2（n≥2）.
所以 an=1，n=1，2•3n-2，n≥2.
补偿练习已知数列｛ａｎ｝的前n项和为Sn，Sn=3n－2（n∈N+），求通项an．
评注 遇到该类练习，学生基本上能利用an=S1， n=1，Sn－Sn-1， n≥2 求解，但大多数错解或不规范的解答都是由于不重视数列表达式中变量n的取值范围造成的，主要表现在没有书写取值范围的习惯．
“数列的函数特征”没理解
例4已知函数
f（ｘ）=4－x+4（x≤6），ax-5（x>6）， 数列｛ａｎ｝满足an=f（ｎ）（n∈N+），且｛ａｎ｝是单调递增数列，则实数a的取值范围是．
典型错解 由题意得函数f（ｘ）为单调增函数，则4－>0，a>1，a6-5>4－×6+4， 解得7 剖析与矫正 上述错解是因为没能准确地理解数列的函数特征． 数列（也称离散函数）是定义在正整数集N+（或其有限子集｛1，2，…，k｝）上的函数，数列的函数特征特殊在定义域上． 因此，函数an=f（ｎ），第二段的定义域应为｛7，8，…，n，…｝，并且应该用a7>a6去建立不等关系． 正确答案为4 补偿练习 （1）数列｛ａｎ｝满足：an=n2+. 求证：an+1>an．
（2）已知数列｛ａｎ｝是递增数列，且an=n2+λn（n∈N+），求实数λ的取值范围．
评注 该组练习旨在辨析数列的单调性与对应函数的单调性之间的关系：若已知数列的通项公式，并要求判断数列的单调性，则可考虑判断对应函数的单调性，如补偿练习（1）；若已知数列的单调性，则要慎用对应函数的单调性进行求解，应该用单调递增（减）数列的充要条件去转化，即数列｛ａｎ｝是递增数列等价于an+1>an恒成立，如补偿练习（2）．
“题中的隐含条件”不注意
例5已知1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则= ．
典型错解 由题意得a1=2，b=1×4?圯b2=±2． 所以=±1．
剖析与矫正上述错解忽视了b2必须大于0的隐含条件． 事实上，设数列1，b1，b2，b3，4的公比为q（q≠0），则b2=1×q2>0． 正确答案为1．
补偿练习 已知等比数列｛ａｎ｝的前n项和为Sn，若S10=10，S30=70，则S40= ．
评注 该补偿练习旨在突出等比数列中隐含条件的常见形式，提醒学生在遇到两解时要有反思的意识． 当然，此类型题目的隐含条件需要平时的积累和总结．
“转化变形的过程”不等价
例6已知a，b都是正数，且a，x1，x2，…，xn，b成等比数列，求x1x2…xn的值．
典型错解 记T=x1x2…xn?摇，①
?摇T=xnxn-1…x1.?摇 ②
两式相乘，结合等比数列的性质得，T2=（x1•xn）n=（a•b）n?圯T=（a•b）．
所以x1x2…xn=（a•b）．
剖析与矫正 上述错解较难发现错因——问题出在开方上，此处不等价． 我们可以举一个反例：1，－2，4，－8，16，－32，64成等比数列，但中间五项的乘积小于0． 正确答案为±（a•b）．
补偿练习设a，b，c为非零的实数，则b=是a，b，c成等比数列的条件．
评注 该补偿练习旨在突出平方与算术平方根的关系，诸如此类的不等价关系经常被学生忽视． 当然，有时也不乏教辅资料上的错误．
关键词：数列错解；补偿练习；强化要点
在解数列题的过程中，学生往往出现这样或那样的错误，一些看似严密的解题过程，究竟隐藏着怎样的知识盲点或逻辑漏洞？如何避免学生今后再犯类似的错误？本文就数列中常见的错解进行归类剖析，供同行教学时参考． 笔者认为，在教学及纠错过程中，教师要提供适量的补偿练习，以强化认知要点．
“所用公式的特点”不熟悉
例1若等差数列｛ａｎ｝和｛bｎ｝的前n项和An，Bn满足=（n∈N+），求．
典型错解 由题意设An=k（7n+1），Bn=k（4n+27），则==．
剖析与矫正 上述错解是因为对等差数列的前n项和公式理解不到位．实际上，本题中An是关于n的二次函数形式，即An=an2+bn，而不是关于n的一次函数． 正确答案为：
由题意设An=kn（7n+1），Bn=kn（4n+27），则==．
补偿练习（1）已知等比数列｛ａｎ｝的前n项和为Sn，a1=7，S3=21，求公比q．
（2）已知数列｛ａｎ｝的前n项和为Sn，Sn=a•3n-1－2，｛ａｎ｝成等比数列，求实数a．
（3）设等差数列｛ａｎ｝的前n项和为Sn，已知S=q，Sq=p（p≠q），求Sp+q的值．
评注 该组补偿练习旨在熟悉等差数列与等比数列求和公式的特点，避免由记忆或理解偏差而造成的错解或繁解．
“通项的构成规律”不清楚
例2若数列｛ａｎ｝的通项为ａｎ=1+++…+，则an+1－an=．
典型错解 an+1=1+++…++， 所以an+1－an=．
剖析与矫正 上述错解在于对数列的构成规律没有进行正确的判断． 构成通项的和式的分母为连续的正整数，从到共有2n项．
正确答案为：++…+．
补偿练习已知f（ｎ）=++…+（n∈N+），求f（n+1）－f（ｎ）．
评注 该练习旨在对和式的构成规律有进一步的认识，它也是学生探究数列的单调性和后续学习如何运用数学归纳法的基础．
“过程中n的取值范围”不重视
例3已知数列｛ａｎ｝的前n项和为Sn，a1=1，且an+1=2Sn（n∈N*），求通项an ．
典型错解 由an+1－an=2（Sn－Sn-1）=2an 得：
an+1=3an，则数列｛ａｎ｝成等比数列． 所以an=a1•qn-1=3n-1．
剖析与矫正 上述错解是由于不重视数列表达式中变量n的取值范围造成的． 如果注意到表达式Sn-1（或an-1）有意义的前提是n≥2，并且养成良好的书写习惯，就会避免类似的错误． 正确答案为：
由an+1－an=2（Sn－Sn-1）=2an（n≥2）得
an+1=3an（n≥2）． 所以数列a2，a3，…，an成等比数列，且a2=2．
所以an=a2•qn-2=2•3n-2（n≥2）.
所以 an=1，n=1，2•3n-2，n≥2.
补偿练习已知数列｛ａｎ｝的前n项和为Sn，Sn=3n－2（n∈N+），求通项an．
评注 遇到该类练习，学生基本上能利用an=S1， n=1，Sn－Sn-1， n≥2 求解，但大多数错解或不规范的解答都是由于不重视数列表达式中变量n的取值范围造成的，主要表现在没有书写取值范围的习惯．
“数列的函数特征”没理解
例4已知函数
f（ｘ）=4－x+4（x≤6），ax-5（x>6）， 数列｛ａｎ｝满足an=f（ｎ）（n∈N+），且｛ａｎ｝是单调递增数列，则实数a的取值范围是．
典型错解 由题意得函数f（ｘ）为单调增函数，则4－>0，a>1，a6-5>4－×6+4， 解得7
（2）已知数列｛ａｎ｝是递增数列，且an=n2+λn（n∈N+），求实数λ的取值范围．
评注 该组练习旨在辨析数列的单调性与对应函数的单调性之间的关系：若已知数列的通项公式，并要求判断数列的单调性，则可考虑判断对应函数的单调性，如补偿练习（1）；若已知数列的单调性，则要慎用对应函数的单调性进行求解，应该用单调递增（减）数列的充要条件去转化，即数列｛ａｎ｝是递增数列等价于an+1>an恒成立，如补偿练习（2）．
“题中的隐含条件”不注意
例5已知1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则= ．
典型错解 由题意得a1=2，b=1×4?圯b2=±2． 所以=±1．
剖析与矫正上述错解忽视了b2必须大于0的隐含条件． 事实上，设数列1，b1，b2，b3，4的公比为q（q≠0），则b2=1×q2>0． 正确答案为1．
补偿练习 已知等比数列｛ａｎ｝的前n项和为Sn，若S10=10，S30=70，则S40= ．
评注 该补偿练习旨在突出等比数列中隐含条件的常见形式，提醒学生在遇到两解时要有反思的意识． 当然，此类型题目的隐含条件需要平时的积累和总结．
“转化变形的过程”不等价
例6已知a，b都是正数，且a，x1，x2，…，xn，b成等比数列，求x1x2…xn的值．
典型错解 记T=x1x2…xn?摇，①
?摇T=xnxn-1…x1.?摇 ②
两式相乘，结合等比数列的性质得，T2=（x1•xn）n=（a•b）n?圯T=（a•b）．
所以x1x2…xn=（a•b）．
剖析与矫正 上述错解较难发现错因——问题出在开方上，此处不等价． 我们可以举一个反例：1，－2，4，－8，16，－32，64成等比数列，但中间五项的乘积小于0． 正确答案为±（a•b）．
补偿练习设a，b，c为非零的实数，则b=是a，b，c成等比数列的条件．
评注 该补偿练习旨在突出平方与算术平方根的关系，诸如此类的不等价关系经常被学生忽视． 当然，有时也不乏教辅资料上的错误．