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【摘 要】“鸡兔同笼”问题是中国古代的数学名题之一。它不仅是小学应用题和初中二元一次方程组的一个范例，也是渗透数学文化、感悟数学素养和获得数学活动经验的一次机会。研究者将“尝试与猜测——鸡兔同笼”一节公开课的听课札记与教师分享，对提高学生思维能力，生成数学素养等问题进行了探究。
【关键词】鸡兔同笼;数学文化;数学模型;关键能力
【作者简介】罗增儒，陕西师范大学教授，课程与教学论（数学）博士研究生导师，曾担任陕西师范大学数学教育研究所所长、陕西师范大学教务处处长，2011年入选“国培计划”首批国培专家。
“鸡兔同笼”问题是中国古代的数学名题之一，大约在1500年前的《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。它不仅是小学应用题和初中二元一次方程组的一个范例，也是渗透数学文化、感悟数学素养和获得数学活动经验的一次机会。笔者将某位教师的一节“尝试与猜测——鸡兔同笼”公开课的听课札记与大家分享。这节课既有值得肯定的“两个精彩”，也有值得研讨的“两件事情”，还有引向深入的“三点建议”，教学过程体现综合实践活动的教学性质，贴近核心素养教学的教育导向。
一、教学重现
本次公开课的内容主要有以下五个教学环节。
1.调节气氛，文化渗透（8：30—8：35，共5分钟，7人次发言）
教学伊始，教师先和学生从拉家常引入（内容涉及西安名胜和古诗），接着向学生提问“我是谁？”并提示了两行字（如图1），引发学生猜教师的姓。学生从上下两行字的“立”“里”进行联想和组合，最后得出答案是“童”字。
2.创设情境，引出问题（8：35—8：40，共5分钟，4人次发言）
教师从古代数学名著《孙子算经》引出“鸡兔同笼”问题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉兔各几何。以此激发学生的学习兴趣。为降低学习难度以及让学生更好地理解题目的意思，教师将题目简化并改编为：鸡兔同笼，一共有8个头，20条腿，鸡和兔各有多少只？
3.自主探究，解决问题（8：40—8：45，共5分钟，6人次发言）
在分析完题目后，教师引导学生自行解题，有的学生用假设法、列表法（枚举法）等得出以下答案：6只鸡，2只兔子。
4.展示交流，深化提升（8：40—9：15，共35分钟，19人次发言）
在教师的组织和引导下，学生积极思考，说出该题有假设法、列表法、逐一列举法等多种解法，并说明算理。在对多种解法进行分析后，学生讨论得出逐一列举法的关键是有序。最后，师生总结出逐一列举法的解题规律是：将1只鸡（兔）换成1只兔（鸡）时，总腿数增加（减少）2条。因此，我们可以将逐一列举法简化为跳跃列举或取中列举，有的学生只通过跳跃列举2次就得出答案，有的学生提到在跳跃列举时要注意会不会遗漏，体现了学生思维的深度。学生还对比了假设法与列表法的相同点与不同点，找出不同解法之间的联系。
5.迁移类推，反思升华（9：15—9：20，共5分钟，4人次发言）
通过以上的学习，教师引导学生再回到课始“鸡兔同笼”问题的处理上来。学生用同样的方法得出问题的答案：23只鸡，12只兔子。为培养学生的知识迁移思维能力，教师给出“龟鹤同游”等类似问题，落实学生的核心素养。
二、教学反思
这节课的教学活动设计精心，学生探究欲强，体现了综合实践活动的教学性质，笔者主要从以下三个方面谈谈自己的看法。
1.值得肯定的“两个精彩”
（1）学生活动很精彩
学生活动很精彩，主要体现在以下几个方面。①学生发言积极。据统计，这节课学生的发言不少于40人次，且分布在四列课桌的前后左右，较为均衡。②学生思维活跃。学生提出了假设法、列表法、逐一列举法、跳跃列举法、取中列举法等多种解法，对每种解法不仅能说出其中的道理，还能找出一题多解的内在联系，体现出较好的逻辑推理水平。③学生善于总结规律。学生能总结出逐一列举法的规律：将1只鸡（兔）换成1只兔（鸡）时，总腿数增加（减少）2条，并且能用这个规律解释跳跃列举法和取中列举法的合理性和完备性。④学生见解深刻。比如，有的学生只跳跃列举2次就得出答案（当中有推理），而有的学生提出跳跃列举是否会出现遗漏的疑问，体现出学生思维的深度性。
（2）教师活动很精彩
第一，教師教学功底扎实，精心设计教学活动。例如考虑到学生的认知规律和知识接受程度，教师先从“8个头，20条腿”的较小数字的问题引入，待问题得到解决后，教师再引导学生求解《孙子算经》的“鸡兔同笼”问题，达到了“进退互化、前后照应”的教学效果。教师不满足于获得题目的答案（部分学生一见题目就表示曾“学过”“见过”），还注重学生思维能力、分析问题和解决问题能力的提升以及数学活动经验的积累，体现了综合实践活动的教学性质，紧扣了“尝试与猜测”的教学主题。
第二，教师完成了课前预设的三个教学目标，这三个教学目标体现了数学课程目标的四个维度：知识技能、数学思考、问题解决、情感态度。课前预设的三个教学目标如下。
目标1：结合解决“鸡兔同笼”问题，体验借助列表进行尝试与猜测的解题策略。
目标2：经历不断猜测、验证、调整及优化的探究过程，培养学生的思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
目标3：初步了解与“鸡兔同笼”有关的数学史，感受数学文化的博大精深，逐步树立学好数学的信心。
2.可进行研讨的“两件事情”
（1）关于公开课的“猜谜”情境
教学伊始猜“我是谁”的教学情境主要有调节气氛、拉近感情的作用，但与本课解决“鸡兔同笼”问题既没能构成实质性的逻辑联系，也不具有假设法或列表法的必要因素与必要形式。这反映了教师把本课题“尝试与猜测”（包含假设、列举、推理）等数学方法有意或无意地想象为生活中的猜谜问题。 这个拉近感情的作用也有双重性，它恰好表明这不是教师在原班上的常态课（因为若是原班学生早就知道是童老师了），而是一节为了公开课而安排的借班课。如果时间允许，通过猜谜调节课堂气氛，拉近师生的感情并无不可，但是既然本节课已超时，那就应该考虑将猜谜环节取消。
（2）关于公开课拖堂
公开课拖堂几乎是一个“潮流”，本节公开课拖堂同样也给人留下深刻的印象。这节课从8：30上到9：20共50分钟，即使从“起立”算起，也有45分钟了。如果课题不是太艰深，教学内容不是太繁杂，教师是完全可以不拖堂的。因此，为避免拖堂，本节课的解决办法有：①从猜谜环节压缩时间，教师如果删去该环节，可节省4～5分钟;②从35分钟的“展示交流，深化提升”教学环节中节省出10分钟，其中5分钟用于抵消课堂超时，5分钟分配给“课堂小结”环节，以加强数学活动经验的感悟;③“迁移类推，反思升华”教学环节中的“龟鹤同游”等例子也可以压缩或删去，可节省1～2分钟。
3.关于引向深入的“三点建议”
（1）关于学生“学过”“会做”问题处理的建议
该授课教师在教学设计的“课前思考”中曾指出：“很多学生在课外辅导班已学习该问题，但大部分学生仅限于套用模板，不求甚解者居多。”于是，授课教师意识到在教学中，应重在提高学生的解法基础。下面笔者结合综合实践活动课的教学性质，再提三个途径供大家参考（教师应结合学生实际做出选择，并不需要全部采用）。
途径1：开阔思路，提供直观形象
在教授假设法时，教师可先假设8只都是鸡（如图2，教师可以画8个圆圈），因为鸡有2条腿，所以一共有16条腿（教师可在每个圆圈下加2条线段，一共有16条线段），但是已知一共有20条腿，所以还应添加4条腿（20-16=4）。因为每只兔子有4条腿，所以应添加的4条腿可以认为是增加了2只兔子。这样一来，兔子有2只，鸡有6只（教师给2个圆圈各加上2条线段，则2个圆圈各有4条线段，6个圆圈各有2条线段）。这就把假设法的运算推理过程呈现得更显浅、直观了，培养了学生直观想象的核心素养。
途径2：变式练习，转换为几何题
教师可以把“鸡兔同笼”问题转换为一道几何题：如图3，两个矩形AHEF和HBCD拼成一个组合图形。在六边形ABCDEF中，两个矩形面积之和为94（表示鸡兔共94条腿），AB=35（表示鸡兔共有35个头），BC=2（表示鸡有2条腿），AF=4（表示兔有4条腿），求AH和HB的长（即求兔、鸡各有多少只）。在“鸡兔同笼”问题的求解时，可假设35只都是鸡，延长CD交AF于点G，得到矩形ABCG的面积为70，即此时有70条腿，比实际94条腿少24条腿，也就是矩形DEFG的面积为24。由于该矩形的宽为2（即每只兔子比每只鸡多2条腿），因此矩形DEFG的长为12，又AH=12（已得知兔有12只），从而HB=35-12=23，即鸡有23只。
途径3：抽象提炼，建立模型
根据学生表现出来的逻辑推理水平和思维深度，教师可以将学生解法中的数字提炼为文字或字母，从而得出公式（模型）。比如，由上面的假设法，可得兔的只数=（鸡兔总腿数-鸡兔总只数×2）÷2，鸡的只数=鸡兔总只数-兔总只数。也可以整理为兔的只数=鸡兔总腿数÷2-鸡兔总头数（半足法），鸡的只数=鸡兔总头数×2-鸡兔总腿数÷2。
与Tina的对话，描述自己的春节计划和过节感受，并鼓励学生为同伴的创编或改编评价、打分。（E2，T）
（8）讨论不同地方的春节活动计划，学生在对比中讨论“How to make a plan for Chinese New Year？”。（E1，R）
（9）小組选定节日，与同伴合作收集文化背景知识，并围绕“节日前—节日中—节日后”制订一份为期三天的节日计划，并附上思维导图或视频;分小组在PPT上展示节日计划，小组间相互点评，并依据其他组的评价、反馈进一步修改、完善。（E2，O）
四、结语
逆向教学设计能有效促进“教—学—评一体化”，帮助教师测评教学目标的达成度，提高英语教学实效性，促进英语学科核心素养在课堂上落地，最终落实“立德树人”的根本任务。当然，“教—学—评一体化”这一理念对于大多数小学英语教师而言，还属于新鲜事物，教学设计理念的转变不可能一蹴而就，需要我们根据实际区域差异、校情、班情、学情进一步深入探究。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.普通高中英语课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.
[2]王蔷，李亮.推动核心素养背景下英语课堂教—学—评一体化：意义、理论与方法[J].课程·教材·教法，2019（5）：114-120.
[3]威金斯，麦克泰格.追求理解的教学设计：第2版[M].闫寒冰，宋雪莲，赖平，译.上海：华东师范大学出版社，2017.
（责任编辑：周彩珍）
【关键词】鸡兔同笼;数学文化;数学模型;关键能力
【作者简介】罗增儒，陕西师范大学教授，课程与教学论（数学）博士研究生导师，曾担任陕西师范大学数学教育研究所所长、陕西师范大学教务处处长，2011年入选“国培计划”首批国培专家。
“鸡兔同笼”问题是中国古代的数学名题之一，大约在1500年前的《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。它不仅是小学应用题和初中二元一次方程组的一个范例，也是渗透数学文化、感悟数学素养和获得数学活动经验的一次机会。笔者将某位教师的一节“尝试与猜测——鸡兔同笼”公开课的听课札记与大家分享。这节课既有值得肯定的“两个精彩”，也有值得研讨的“两件事情”，还有引向深入的“三点建议”，教学过程体现综合实践活动的教学性质，贴近核心素养教学的教育导向。
一、教学重现
本次公开课的内容主要有以下五个教学环节。
1.调节气氛，文化渗透（8：30—8：35，共5分钟，7人次发言）
教学伊始，教师先和学生从拉家常引入（内容涉及西安名胜和古诗），接着向学生提问“我是谁？”并提示了两行字（如图1），引发学生猜教师的姓。学生从上下两行字的“立”“里”进行联想和组合，最后得出答案是“童”字。
2.创设情境，引出问题（8：35—8：40，共5分钟，4人次发言）
教师从古代数学名著《孙子算经》引出“鸡兔同笼”问题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉兔各几何。以此激发学生的学习兴趣。为降低学习难度以及让学生更好地理解题目的意思，教师将题目简化并改编为：鸡兔同笼，一共有8个头，20条腿，鸡和兔各有多少只？
3.自主探究，解决问题（8：40—8：45，共5分钟，6人次发言）
在分析完题目后，教师引导学生自行解题，有的学生用假设法、列表法（枚举法）等得出以下答案：6只鸡，2只兔子。
4.展示交流，深化提升（8：40—9：15，共35分钟，19人次发言）
在教师的组织和引导下，学生积极思考，说出该题有假设法、列表法、逐一列举法等多种解法，并说明算理。在对多种解法进行分析后，学生讨论得出逐一列举法的关键是有序。最后，师生总结出逐一列举法的解题规律是：将1只鸡（兔）换成1只兔（鸡）时，总腿数增加（减少）2条。因此，我们可以将逐一列举法简化为跳跃列举或取中列举，有的学生只通过跳跃列举2次就得出答案，有的学生提到在跳跃列举时要注意会不会遗漏，体现了学生思维的深度。学生还对比了假设法与列表法的相同点与不同点，找出不同解法之间的联系。
5.迁移类推，反思升华（9：15—9：20，共5分钟，4人次发言）
通过以上的学习，教师引导学生再回到课始“鸡兔同笼”问题的处理上来。学生用同样的方法得出问题的答案：23只鸡，12只兔子。为培养学生的知识迁移思维能力，教师给出“龟鹤同游”等类似问题，落实学生的核心素养。
二、教学反思
这节课的教学活动设计精心，学生探究欲强，体现了综合实践活动的教学性质，笔者主要从以下三个方面谈谈自己的看法。
1.值得肯定的“两个精彩”
（1）学生活动很精彩
学生活动很精彩，主要体现在以下几个方面。①学生发言积极。据统计，这节课学生的发言不少于40人次，且分布在四列课桌的前后左右，较为均衡。②学生思维活跃。学生提出了假设法、列表法、逐一列举法、跳跃列举法、取中列举法等多种解法，对每种解法不仅能说出其中的道理，还能找出一题多解的内在联系，体现出较好的逻辑推理水平。③学生善于总结规律。学生能总结出逐一列举法的规律：将1只鸡（兔）换成1只兔（鸡）时，总腿数增加（减少）2条，并且能用这个规律解释跳跃列举法和取中列举法的合理性和完备性。④学生见解深刻。比如，有的学生只跳跃列举2次就得出答案（当中有推理），而有的学生提出跳跃列举是否会出现遗漏的疑问，体现出学生思维的深度性。
（2）教师活动很精彩
第一，教師教学功底扎实，精心设计教学活动。例如考虑到学生的认知规律和知识接受程度，教师先从“8个头，20条腿”的较小数字的问题引入，待问题得到解决后，教师再引导学生求解《孙子算经》的“鸡兔同笼”问题，达到了“进退互化、前后照应”的教学效果。教师不满足于获得题目的答案（部分学生一见题目就表示曾“学过”“见过”），还注重学生思维能力、分析问题和解决问题能力的提升以及数学活动经验的积累，体现了综合实践活动的教学性质，紧扣了“尝试与猜测”的教学主题。
第二，教师完成了课前预设的三个教学目标，这三个教学目标体现了数学课程目标的四个维度：知识技能、数学思考、问题解决、情感态度。课前预设的三个教学目标如下。
目标1：结合解决“鸡兔同笼”问题，体验借助列表进行尝试与猜测的解题策略。
目标2：经历不断猜测、验证、调整及优化的探究过程，培养学生的思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
目标3：初步了解与“鸡兔同笼”有关的数学史，感受数学文化的博大精深，逐步树立学好数学的信心。
2.可进行研讨的“两件事情”
（1）关于公开课的“猜谜”情境
教学伊始猜“我是谁”的教学情境主要有调节气氛、拉近感情的作用，但与本课解决“鸡兔同笼”问题既没能构成实质性的逻辑联系，也不具有假设法或列表法的必要因素与必要形式。这反映了教师把本课题“尝试与猜测”（包含假设、列举、推理）等数学方法有意或无意地想象为生活中的猜谜问题。 这个拉近感情的作用也有双重性，它恰好表明这不是教师在原班上的常态课（因为若是原班学生早就知道是童老师了），而是一节为了公开课而安排的借班课。如果时间允许，通过猜谜调节课堂气氛，拉近师生的感情并无不可，但是既然本节课已超时，那就应该考虑将猜谜环节取消。
（2）关于公开课拖堂
公开课拖堂几乎是一个“潮流”，本节公开课拖堂同样也给人留下深刻的印象。这节课从8：30上到9：20共50分钟，即使从“起立”算起，也有45分钟了。如果课题不是太艰深，教学内容不是太繁杂，教师是完全可以不拖堂的。因此，为避免拖堂，本节课的解决办法有：①从猜谜环节压缩时间，教师如果删去该环节，可节省4～5分钟;②从35分钟的“展示交流，深化提升”教学环节中节省出10分钟，其中5分钟用于抵消课堂超时，5分钟分配给“课堂小结”环节，以加强数学活动经验的感悟;③“迁移类推，反思升华”教学环节中的“龟鹤同游”等例子也可以压缩或删去，可节省1～2分钟。
3.关于引向深入的“三点建议”
（1）关于学生“学过”“会做”问题处理的建议
该授课教师在教学设计的“课前思考”中曾指出：“很多学生在课外辅导班已学习该问题，但大部分学生仅限于套用模板，不求甚解者居多。”于是，授课教师意识到在教学中，应重在提高学生的解法基础。下面笔者结合综合实践活动课的教学性质，再提三个途径供大家参考（教师应结合学生实际做出选择，并不需要全部采用）。
途径1：开阔思路，提供直观形象
在教授假设法时，教师可先假设8只都是鸡（如图2，教师可以画8个圆圈），因为鸡有2条腿，所以一共有16条腿（教师可在每个圆圈下加2条线段，一共有16条线段），但是已知一共有20条腿，所以还应添加4条腿（20-16=4）。因为每只兔子有4条腿，所以应添加的4条腿可以认为是增加了2只兔子。这样一来，兔子有2只，鸡有6只（教师给2个圆圈各加上2条线段，则2个圆圈各有4条线段，6个圆圈各有2条线段）。这就把假设法的运算推理过程呈现得更显浅、直观了，培养了学生直观想象的核心素养。
途径2：变式练习，转换为几何题
教师可以把“鸡兔同笼”问题转换为一道几何题：如图3，两个矩形AHEF和HBCD拼成一个组合图形。在六边形ABCDEF中，两个矩形面积之和为94（表示鸡兔共94条腿），AB=35（表示鸡兔共有35个头），BC=2（表示鸡有2条腿），AF=4（表示兔有4条腿），求AH和HB的长（即求兔、鸡各有多少只）。在“鸡兔同笼”问题的求解时，可假设35只都是鸡，延长CD交AF于点G，得到矩形ABCG的面积为70，即此时有70条腿，比实际94条腿少24条腿，也就是矩形DEFG的面积为24。由于该矩形的宽为2（即每只兔子比每只鸡多2条腿），因此矩形DEFG的长为12，又AH=12（已得知兔有12只），从而HB=35-12=23，即鸡有23只。
途径3：抽象提炼，建立模型
根据学生表现出来的逻辑推理水平和思维深度，教师可以将学生解法中的数字提炼为文字或字母，从而得出公式（模型）。比如，由上面的假设法，可得兔的只数=（鸡兔总腿数-鸡兔总只数×2）÷2，鸡的只数=鸡兔总只数-兔总只数。也可以整理为兔的只数=鸡兔总腿数÷2-鸡兔总头数（半足法），鸡的只数=鸡兔总头数×2-鸡兔总腿数÷2。
与Tina的对话，描述自己的春节计划和过节感受，并鼓励学生为同伴的创编或改编评价、打分。（E2，T）
（8）讨论不同地方的春节活动计划，学生在对比中讨论“How to make a plan for Chinese New Year？”。（E1，R）
（9）小組选定节日，与同伴合作收集文化背景知识，并围绕“节日前—节日中—节日后”制订一份为期三天的节日计划，并附上思维导图或视频;分小组在PPT上展示节日计划，小组间相互点评，并依据其他组的评价、反馈进一步修改、完善。（E2，O）
四、结语
逆向教学设计能有效促进“教—学—评一体化”，帮助教师测评教学目标的达成度，提高英语教学实效性，促进英语学科核心素养在课堂上落地，最终落实“立德树人”的根本任务。当然，“教—学—评一体化”这一理念对于大多数小学英语教师而言，还属于新鲜事物，教学设计理念的转变不可能一蹴而就，需要我们根据实际区域差异、校情、班情、学情进一步深入探究。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.普通高中英语课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.
[2]王蔷，李亮.推动核心素养背景下英语课堂教—学—评一体化：意义、理论与方法[J].课程·教材·教法，2019（5）：114-120.
[3]威金斯，麦克泰格.追求理解的教学设计：第2版[M].闫寒冰，宋雪莲，赖平，译.上海：华东师范大学出版社，2017.
（责任编辑：周彩珍）