我们知道，角的平分线有两个重要的性质：（1）角的平分线上的点到角的两边的距离相等；（2）到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
　　下面就举例说明角的平分线的性质在解某些探索型问题时的应用.
　　例1如图1，分别以△ABC的边AB、AC为边向三角形外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，CD与BE相交于点O.试探索∠AOD与∠AOE的关系.
　　分析：若能说明AO平分∠DOE，即可知道∠AOD = ∠AOE.要证明AO平分∠DOE，由角的平分线的性质，只需证明点A到BE、DC的距离相等.为此需作AF⊥CD于点F，AG⊥BE于点G，即证AF = AG.易证△ABE≌△ADC，由全等三角形的对应高相等可知AF = AG，得证.
　　解：猜想∠AOD = ∠AOE.证明过程如下：过点A作AF⊥CD于点F，AG⊥BE于点G.
　　∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
　　∴AB = AD，AE = AC，∠CAE = ∠BAD = 60O.
　　∴∠BAE =∠DAC. ∴△ABE≌△ADC（SAS）.
　　∴AF = AG（全等三角形的对应高相等）.
　　∴AO是∠DOE的角平分线，即∠AOD = ∠AOE.
　　说明：在解答本题时，我们可以先通过观察图形，然后猜想∠AOD = ∠AOE，这样我们就有了明确的目的——证明∠AOD = ∠AOE.
　　例2如图2，EG，FG分别是∠MEF和∠NFE的角平分线，交点是G. PB，PC分别是∠MBC和∠NCB的角平分线，交点是P. F、C在AN上，B、E在AM上.试探索∠P与∠G的关系.
　　分析：已知条件中出现四条角平分线，为了能充分运用角平分线定理，我们分别过点G和点P向角的两边引垂线，这样就可先将∠G，∠P表达出来，再求∠G与∠P的关系.
　　解：过点P作PH⊥BM于H，PK⊥CN于K，PQ⊥BC于Q，过点G作GD⊥EM于D，GJ⊥FN于J，GI⊥EF于I.
　　∵PB，PC分别是∠MBC和∠NCB的角平分线，∴PH = PQ = PK.
　　∴易证得∠HPB =∠QPB，∠KPC =∠JPC. ∴∠BPC = ∠HPK.
　　又∵∠AHP =∠AKP = 90O，
　　∴∠HPK = 180O∠A，即∠BPC = ∠HPK = 90O∠A.
　　同理∠EGF = ∠DGJ = 90O ∠A.
　　∴∠BPC = ∠EGF，即∠G =∠P.
　　说明：本题的解法与例1类似.
　　例3 如图3，△ABC中，∠ABC = 100O，∠ACB = 20O，CE是∠ACB的角平分线，D是AC上一点，若∠CBD = 20O.试猜想DE与CB的位置关系，并证明你的猜想.
　　分析：显然可以猜想到DE∥CB.若能求得∠ADE的度数是20O，就可利用同位角相等，判定DE∥CB.虽然已知∠ABC = 100O，∠ACB = 20O，∠CBD = 20O，但难以充分运用.考虑CE是∠ACB的角平分线，可过点E作EN⊥CA，EP⊥CB，垂足分别为N、P.由题中条件容易求得∠ADB = 40O.若能证明DE是∠ADB的角平分线，那么∠EDB=∠ADE=∠ACB.故要证DE∥BC，只需证DE是∠ADB的角平分线.我们可求得∠ABP = 180O∠ABC = 80O =∠ABD，即BE是∠PBD的角平分线.此时可作EM⊥BD于M，则有EP = EN = EM，则有DE是∠ADB的角平分线，得证.
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”